Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 95
Текст из файла (страница 95)
(5) Полагая ((х) = у, и заменив ((хо) на уо, а оператор Л вЂ” его выражением (4), имеем Т(х) — )(хо) — Л(х — х,)=У вЂ” У,+[У'(хо, У)1 Р„'(хо, У,)(х — х)= = [Рд (хо Уо)1 (г (хо Уо) (х хо) + г о (хо Уо) (У Уо))' Яо т" (х, у)=г" (хо, у,)=0, поэтому с помощью формулы конечных приращений получаем такую оценку: (!((х) — ~(хо) — Л(х — хо) (!-=Ц(Ро (х„уо)! '3Х )(((т (х, у) — с (х,, у,) — с„(хо, у,)(х — х ) — г (х, у,)(у — у,))~(~ <)~[Р'„( Уо)1 11~ зпп (/Е'(хо+8(х — х,), у,+О,(у — у,))— — Р'(х, Уо)!! ° /!х — х !(+ зцР !!Р'„(хо+ О(х — х ), у + 6,(у — уо)) — Е'„(хо, у )Д. $$У вЂ” у Ц1(т![Цт — х)!+)!у — уоЦ1, ТЕОРЕМА О НЕЯВНОН ФУНКЦИИ где величина с1 может быть сделана сколь угодно малой в силу непрерывности производных г'„ и Ед, если величина 6 достаточно мала, Таким образом, мы получили, что ]]сс(х) — [(хсс) — Л(х — хе) ~] а с1 [~~ х — хсс (]+ е [(х) — [(хе) ([] ( ( с1 [ ~] х — х, ]] + [~ Л (х — хсс) ]~ + ~] [ (х) — [ (х,) — Л (х — х,) ~~ ].
Отсюда при достаточно малом т1 получаем ~][(х) — )(хе) — Л(х — хе)]):=:т1(1 — с1) (1+[]Л][)][х — хе][, и для доказательства неравенства (5) остается лишь выбра.гь с) так, что т1(! — с1)-с(1+]]Л]]) =. е. Теорема доказана. Рассмотрим теперь некоторые применения теоремы о неявной функции. 2. Теорема о зависимости решения дифференциального уравнения от начальных данных. Рассмотрим задачу Коши для дифференциального уравнения с(«се = 1(6 х) «(1е) = хр, (6) где 1(1, х) и х — элементы некоторого банахова пространства Е. Задача (6) равносильна интегральному уравнению х (1) — «А — ~ 1' (т, х (т)) с(т = О.
Запишем это уравнение как Е(хм х(1)) = О. Таким образом, Š— это оператор, отображаюший прямую сумму пространства Е и пространстваСе[1сс,1с] непрерывно дифференцируемых функций с с со значениями в Е в пространство Се [йь 1с]. Если функция [(1, х) непрерывна и имеет непрерывную по (1, х) производную, то выражение х(1) — ~ [(т, х(т)) с(т ср определяет дифференцируемое отображение пространства с Се [см 1с] в себя.
Следовательно, и Е(хм х(1)) есть дифференцируемый по х(г) оператор, а так как хсс входит в Е(хо, х(1)) аддитивно, то Е есть днфференцируемая функцчя на Е Х СмЧсс,1с]. Дифференциал этой фуакции по х имеет вид с Е;й= (1)-~[„'(, ())й(.)(., (8) элементы диеоегвнцихльного исчисления ~гл. х Правая часть этого равенства определяет оператор, отображаю- щий Св]1м й] в себя.
Этот оператор обратим. Действительно, ! 1 для любой функции у(1) ен Сз[йь й] уравнение ~„' й (() = у (~), или Ь (С) — ~ )„ (т, х (т)) й (т) с(т = у ((), равносильно дифференциальному уравнению ~ — ] (г (г)) л (г) = у (г) (9) применима теорема о неявной функции.
В силу этой теоремы решение х = х(1) данного уравнения, которое может рассматриваться как функция переменного начально~о значения хы х = = х(1,хо), диффереицируемым образом зависит от хь В частности, принимая за Е конечномерное пространство, мы получаем обычную теорему о непрерывной дифференцируемой зависимости решения системы дифференциальных уравнений от начальных условий. Лиалогичным образом с помощью теоремы о неявной функции может быть получено утверждение о дифференцируемой зависимости решения дифференциального уравнения — =-((1, х, а) от параметра а, если его правая часть дифференцируемым образом зависит от а. 3.
Касательные многообразия. Теорема Люстериика. В каче- стае еще одного применения теоремы о неявной функции рассмотрим следующий вопрос. Пусть Р(х), где х = (хь хз), — дифференцируемая функция на плоскости. Уравнение Г(х) = 0 оп ределяет на плоскости некоторую кривую С. Пусть хэ — точка, принадлежащая этой кривой.
Касательная к кривой С в данной точке может быть определена либо как совокупность векторов с начальным условием й(го) = у(го). Уравнение (9) — это линейное уравнение с непрерывными коэффициентами, поэтому в силу известных теорем (см. ]24]) существует единственное решение этого уравнения, определенное па всем отрезке ]1м ~1] и удовлетворяющее укаэанному выше начальному условию, а это и означает обратимость оператора г',. Полученный результат означает, что к уравнению Г(хо, х(~)) =О ТЕОРЕМА О НЕЯВНОП ФУНКЦИИ 437 вида хе+ гп, где й — вектор, перпендикулярный вектору с'(хь) (т. е.
градиенту функции т в точке хь), либо как совокупность точек хь+ гй, расстояние которых до кривой С есть бесконечно малая выше первого порядка относительно й Содержание теоремы Люстерника состоит в том, что эквивалентность двух определений касательной имеет место и для многообразий в произвольных банаховых пространствах. Введем некоторые понятия и обозначения, необходимые для точной формулировки соответствующей теоремы. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства и г" — отображение пространства Х в У.
Пусть далее Мь — совокупность точек из Х, удовлетворяющих уравнению с(х)= О, и х,епМЕ. Предположим, что отображение г" непрерывно дифференцируемо в некоторой окрестности (7 точки хь. Мы назовем отображение г" регулярным в точке хы если линейный оператор г'(х,) отображает пространство Х на все У. Обозначим через Ть совокупность элементов Д еп Х, удовлетворяющих условию с'(хь)й = О, т.
е. Ть = — Кег г"'(хо) Ясно, что Ть есть подпространство в Х. Сдвиг этого подпространства на вектор хь, т. е. многообразие хь+ Ть, обозначим через Т,, и назовем линейным многообразием, касательным к множеству М, в точке хь. Имеет место следующая теорема. Теорем а 3 (Л. А. Люстерник). При указанных выше условиях относительно г" элемент хе+ й принадлежит касательному многообразию Т, в том и только том случае, если расстояние элемента хь+ ГП от множества Мь есть величина выше первого порядка малости относительно т.
Эта теорема играет очень важную роль в задачах оптимального управления. Она служит инструментом, с помощью которого известное правило множителей Лагранжа нахождения условного экстремума может быть распространено на широкий круг экстремальных задач в банаховых пространствах. Сколько-нибудь полное изложение этих вопросов выходит за рамки настоящей книги (о них см., например, в книге: А.
Д. И оф фе и В. М. Т и хами ров, Теория экстремальных задач, М., «Наука», 1974). Мы ограничимся тем, что проведем доказательство теоремы Люстерника для так называемого «разложимого» случая, в котором теорема Люстерника почти непосредственно вытекает из теоремы о неявной функции. Именно, предположим, что пространство, на котором определено отображение г", может быть разложено в прямую сумму х= т,(()т, подпространства Ть = Кег Р'(хь) и некоторого пространства Т., (Заметим, что в банаховом пространстве, отличном от гильбертова, не всякое подпространство имеет прямое дополнение. Бо- '498 ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ !гл, х лее того, можно показать, что если в пространстве Х всякое линейное подпространство имеет прямое дополнение, то Х— гильбертово пространства) При этом предположении теорема 3 может быть сформулирована следующим более точным образом. Тео рема 4.
Если х= т,(()т, и отображение Е: Х-ь У удовлетворяет указанным вь!ше условиям, то существует такое гомеоморфное отображение окрестности точки хо в Мо на окрестность этой же точки в Т„„что расстояние между соответствующими друг другу точкими есть величина высшего порядка малости по соавнению с их расстояниями до точки хо. Доказательство. Обозначим через А оператор Г"'(хо). рассматриваемый только на подпространстве Ты т.
е. А5 = Е' (хо) й при 8 он Тм Покажем, что А отображает То на все У. Действительно, по условию каждый элемент из Х имеет вид х=й+е, йят„$ятг. Поэтому Е' (хо) х = Е' (хо) (й + 0 = Е' (хо) $ = А$, (! О) так как Е'(хо)й = О. Ио по условию Е'(хо) отображает Х на все У, а эта и означает, что Лй пробегает все У, когда 8 пробегает ть Далее отображение А: То — ЕУ взаимно однозначно, так как, если Лй,=Лво, т. е.
Е'(хо) (9,— ьл) = = О, то $! — $о ен То, откуда $! — $г = О. Итак, оператор Л обратим и по теореме Банаха обратный оператор А ' линееи и ограничен. Представив каждый элемент х ~ Х в виде х=хо+й+$, Й~Т,, йонты перепишем уравнение Е(х) = О, определяющее многообразие М, так: О!(й, 8) = Е(хо+ й+ 8) = О. Частный дифференциал этой функции в точке (О, 0), отвечающий приращению Дв второго аргумента, имеет вид Фг (О, О) ДЕ =- Е' (х ) Д! = Л Дй. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ Оператор А=ФЕ(0, 0) имеет обратный, поэтому в силу теоремы о неявной функции уравнение Ф(й, в) = 0 в некоторой окрестности точки (О, 0) равносильно уравнению вида 1= ф(й), где ф(й) — дифференцируемое отображение, удовлетворяющее условию ф(0) = О.
Мы получили, что каждая точка х еп Мм достаточно близкая к точке хо, имеет вид х=- + й+ ф(й), йе= т„ф(й) енты Тем самым построено отображение хо+ й хО+ й+ ф(й) т екоторой окрестности точки х, в тх, на окрестность той же 1очки в М,. Это отображение взаимно однозначно и непрерывно. Остается показать, что расстояние между соответствующими друг другу точками, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
