Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 93
Текст из файла (страница 93)
Действительно, из анализа хорошо известно, что для числовой функции Ц (х) = Ц (хо ..., х„) при л ) 2 из существования производной — „, Ц(х+(л) 484 элементы дивэагвнцикльного исчислгния !гл. х при любом фиксированном Й = (Йь..., Й„) еще не следует дифференцируемость этой функции, т.
е. возможность представить ее приращение 1(к+Й) — 1(х) в виде суммы линейной (по Й) части и члена выше первого порядка малости относительно Й. Простейшим примером здесь может служить функция двух переменных 1(х„х,) = если (х„хг) Ф (О, 0), к, +кг (11) О, если (хь х,) =(О, 0). Эта функция непрерывна всюду на плоскости, включая точку (О, 0), В точке (О, 0) ее слабый дифференциал существует и равен О, поскольку 1(о + гь) - 1(о) т'ь",Йг 1нп г+о г4Й1+ рйг Однако если отображение Р имеет сильную производную, то оно имеет и слабую, причем сильная и слабая производные совпадают. Действительно, для сильно дифференцируемого отображения имеем Е (х + 1Ь) — Р (х) = Е' (х) (1И) + о (П) = ЕР' (х) Ь + о ((Ь) Р (к + рл) Р (к) ( ) + а (И) С Выясним условия, при которых из слабой дифференцируемости отображения Р следует его сильная дифференцируемость, Те о р ем а 1, Если слабая производная Г;(х) отображения Р существует в некоторой окрестности Сг точки хг и представляет собой в этой окрестности (операторную) функг(иго от х, непрерывную в х„то в точке хь сильная производная Р'(хь) существует и совпадает со слабой, Дока з а т е л ь с т в о.
По в ) 0 найдем 6 ) 0 так, чтобы при 1)Й11 ( 6 выполнялось неравенство: 11 Ее(хо+ Ь) — Рс(хо) 11~в. Вместе с тем этот дифференциал не является главной линей. ной частью приращения функции (11) в точке (0,0). Действительно, если положить Ьг = Ьн то х 1 (Йг Ь ) 1 (О О) Йг ! 11т ' ' = 1пп = — Ф О. 1ьг-+о 1Й1 ь,- г 2аг,/аг+ Йг й 1! диФФеренциРОВАние В линеиных пРОстРАнстВАх 485 Применив к отображению Р формулу (10), получим; || Р(хо+ Ь) — Р(хо) — Р; (хо) Ь !! ~~ зцр ||Р;(хо+ОЬ) — Р;(хо)|! ||Ы|~(в!",Ь(!. о~о<~ Тем самым имеет место (!), т. е. доказано как .существование сильной производной Р'(хо), так и ее совпадение со слабой производной. В дальнейшем мы будем, если не оговорено противное, рассматривать такие отображения, которые дифференцируемы в сильном, а значит, и в слабом смысле, 5.
Дифференцируемые функционалы. Мы ввели дифференциал отображения Р, действующего из одного нормированного пространства Х в другое нормированное пространство У. Производная Р(х) такого отображения при каждом х — это линейный оператор из Х в У, т. е. элемент пространства 2'(Х, У). В частности, если У вЂ” числовая прямая, то Р— принимающая числовые значения функция на Х„т.
е. функционал. При этом производная функционала Р в точке х, есть л и н е й н ы й функционал (зависящий от хо), т. е. элемент пространства Х'. П р и м е р. Рассмотрим в действительном гильбертовом пространстве О функционал Р(х) =||х|Р. Тогда ||х+ Ь)|а — ||х ||а=2(х, Ь)+|| Ь ||а; величина 2(х, Ь) представляет собой главную линейную (по Ь) часть этого выражения, следовательно, Р' (х) = Рс (х) = 2х. Уира мнение. Найти производную функционала )! х|! в гильбертовом пространстве. (Ответ; х!!! х )! при х вь О; при х = О не супгествует.) 6.
Абстрактные функции. Предположим теперь, что к числовой прямой сводится пространство аргументов Х. Отображение Р(х), сопоставляющее числу х элемент некоторого банахова пространства У, называется абстрактной функцией. Производная Р'(х) абстрактной функции (если она существует) представляет собой (при каждом х) элемент пространства У вЂ” касательный вектор к кривой Р(х). Для абстрактной функции (представляющей собой функцию одного числового аргумента) слабая дифференцируемость совпадает с сильной. 7. Интеграл. Пусть Р— абстрактная функция действительного аргумента г со значениями в банаховом пространстве У. Если Р задана на отрезке (а, Ь), то можно определить интеграл функции Р по отрезку (а, Ь) Этот интеграл понимается как предел интегральных сумм е — ! „Е Р($а)(~а+г — га), элементы ЛНФФеренцилльного исчисления )гл х отвечающих разбиениям а = 1о ( 11 ( ° ° .
ч- 1„= Ь, еь ~ [1ь, (ьт1[ при условии, что щах(1ьы — 1А) ь О. Интеграл (представляющиВ собой, очевидно, элемент из У) обозначается символом ь ~ Е(1) Л. е (12р ~ 0г (Е) с(1=0 $ Р(г)г(й е а 2. Если Е(1) имеет вид [(1)ур, где [(1) — числовая функция, а ув — фиксированный элемент из У, то ь ь („р(г) = ° ~Ма, л а ь ь 3. (~ Г (1) г)1 ( () ~[ Г (1) [[ (1. (13р Пусть снова Х и У вЂ” нормированные пространства, а ВС(Х, У) — линейное пространство всех непрерывных ограниченных') отображений Х в У. В пространстве ВС(Х, У) можить ввести топологию, принимая за окрестности нуля множества 0„, = (г": еир [[ г" (х) [[ ( в). гль~» На подпространстве ж'(Х, У)~ ВС(Х, У) всех линейных непрерывных отображений Х в У эта топология совпадает с обычной топологией в 2'(Х, У), задаваемой операторной нормой. Пусть 1 = [хо, ха+ Лх[ — какой-нибудь прямолинейный отрезок в Х.
Допустим, что задано непрерывное отображение этого отрезка ') Отображение г': Х-+ у иааывается ограниченныл, если лля всякого ограниченного множества О сХ множество гЯ) ограничено в У. Нелннейн о е неирерывиое отображение не обчаательно ограничено. Рассунсдения, в значительной мере аналогичные проводимым для функций, принимакнцих скалярные значения, показывают„ что интеграл от функции, непрерывной на отрезке, существует; при этом он обладает свойствами обычного риманова интеграла. Среди этих свойств отметим следующие. 1. Если У вЂ” фиксированное линейное непрерывное отображение пространства У в некоторое пространство Х, то ь ь :% и лифеегенцнговлнив в лнненных пгостглнствлх 487 в пространство ВС(Х, У), т.
е. что каждой точке х ~ 7 сопоставлено некоторое отображение г"(х)~ ВС(Х, У), непрерывно зависящее от векторного параметра х ~ У. Тогда можно определить интеграл от г'(х) по отрезку 7, полагая к~в лк 1 г" (х)1(х = ~ г (хе+ 1Лх)(Лх) й к, о (14) Докажем, что имеет место равенство к,ьлк г"' (х) !4х = г" (хл + Лх) — г" (х!1), к~ (15) обобщающее формулу Ньютона — Лейбница. Действительно, по определению, Хк+ Лк и-1 г"' (х) !4х = 11гп ) г"' (хл + 1л Лх) (Лх) (1„+! — 1 ) = ~~ л — л п — 1 = 11т ) г' (хл) (Лхх), л.+О л тде ха =хо+ 1Л Лх, Лхл = ((хл, — 1 ) Лх и 6 = щах(1,~! — 1л).
л Но в то же время при любом разбиении отрезка 0(1(1 имеем к-1 кк (хо, Лх) л(хо) = Х (с(хе+ 1Л+1Лх) — Р(хе+ 1х Лх)) в=о к-1 = ~„(Е(хх.!.!) — Г(х*)). (здесь Р(хк+(Лх) (Лх) при каждом 1~(0, 1) есть элемент пространства У, являющийся образом элемента Лх еи Х при отображении Е(хе+ 1Лх). Ясно, что интеграл, стоящий в правой части формулы (14), существует и является элементом пространства У. Применим эту конструкцию к восстановлению отображения по его производной. Рассмотрим отображение г", которое действует из Х в У и имеет на отрезке (хм хе+ Лх) непрерывно зависящую от х сильк,1-Лк ную производную г'(х).
Тогда существует интеграл ~ Р(х)!4х. ко 488 элементы диФФеРенциАльнОГО исчисления 1гл. и По формуле (10) получаем ! ! л-! ~ ~. [г" (хА+,) — Е(хА) — г'(хА) Лхе[ я; и-1 ~ [! Лх !! 2. (1„, — 1,) р!! Г (х, + Е„Лх,) — Р'(х,) [!. (18) А=О в Так как производная Г(х) непрерывна, а следовательно, и равномерно непрерывна на отрезке [хо, хо + Лх), правая часть неравенства (16) стремится к нулю при неограниченном измельчении разбиения отрезка [ха хо + Лх[, откуда и вытекает ранепство (15). 8. Производные высших порядков. Пусть  — дифференцируемое отображение, действующее из Х в У. Его производная г'(х) при каждом х еи Х есть элемент из Ы(Х, У), т.
е. Г есть отображение пространства Х в пространство линейных операторов 2'(Х, У). Если зто отображение дифференцируемо, то его производная называется второй производной отображения г" и обозначается символом г"". Таким образом, В" (х) есть элемент пространства Ы(Х,Ы(Х, У)) линейных операторов, действующих из Х в Ы(Х, У). Покажем, что элементы этого пространства допускают более удобную и наглядную интерпретацию в виде так называемых билинейных отображений. Мы говорим, что задано билинейное отображение пространства Х в пространство У, если каждой упорядоченной паре элементов х, х' из Х поставлен в соответствие элемент д = = В(х, х')~ У так, что выполнены следующие условия: 1) для любых хь хм х1, хг из Х и любых чисел а, [) имеют место равенства: В(ах, + рх, х',)=аВ(хн х',)+ рВ(х', х',), В (хн ах', + [1х') = аВ (хн х',) + рВ (хн хз); 2) существует такое положительное число М, что [! В (х, х') [! а- М [! х [! .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
