Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 90
Текст из файла (страница 90)
11 (альтернатива Фредгольма). Либо уравнение Т~р = Г имеет при любом 1'адН одно и только одно решение, либо однородное уравнение Тгрь = 0 имеет ненулевое решение. 111. Однородные уравнения (18) и (20) имеют одно и то же, и притом конечное, число линейно независимьгх решений. Прежде чем приступать к доказательству этих теорем, заметим, что оии справедливы (в силу сказанного в п. 2) для уравнений с симметрическим ядром. При этом в силу совпадения А и А" теорема 111 становится тривиальной. С другой стороны, если А — вырожденный внтегральный оператор, то соответствующие уравнения сводятся, как мы видели выше, к системам линейных алгебраических уравнений; при интеГРАльиые углвнения ФРелгольмА этом теоремы Фредгольма автоматически переходят в теоремы о линейных системах, приведенные в предыдугцем пункте.
Поскольку всякий компактный оператор есть предел сходящейся последовательности вырожденных, т. е. конечномерных, операторов, мы могли бы доказать теоремы Фредгольма с помощью соответствующего предельного перехода (от вырожденных ядер к невырожденным). Мы, однако, пойдем по другому' пути и дадим доказательство этих теорем, не связанное с рассмотрением вырожденных уравнений.
Доказательство теорем Ф ред голь ма. Напомним, что Кег В есть совокупность нулей линейного непрерывного оператора В (т. е. множество всех тех хе= Н, для которых Вх = О), а !Рп  — область значений оператора В, т. е. совокупность векторов вида у = Вх. Ясно, что Кег В всегда есть замкнутое линейное подпространство. Множество !гп В также представляет собой линейное многообразие, однако, вообще говоря, не замкнутое. Мы сейчас покажем, что для оператора Т =! — А, где А — комплексный оператор, замкнутость соответствующего многообразия имеет место.
Л е м м а 1. Многообразие !Рп Т замкнуто. Дока з а тель ство. Пусть у, ец!гп Т и у»-+у. По предположению существуют такие векторы х ец П, что у„= Тх„= х„— Ах„. Мы можем считать, что векторы х„ортогональны к Кег Т, вы. читая, если необходимо, из х» его проекцию на Кег Т. Далее, можно считать, что 11х,Д ограничены в совокупности. Действи- тельно, в противном случае, переходя к подпоследовательности, мы бы имели 1!х„1)-» РФ и, разделив на 11х„11, получили бы из (21), что, " — А — "-»О. Но так как оператор А компактен, (х„( (хн 11 то, снова переходя к подпоследовательности, можно считать по- следовательность ( А .
", 1 сходящейся. Поэтому и —" у-б (х„( дет сходиться, скажем, к вектору ге= Н, Ясно, что !1Е11 =! и Тг = О, т. е. ге= Кег Т. Однако мы считаем векторы х ортого- нальными к Кег Т и, следовательно, вектор г обязан быть орто- гональным к Кег Т. Полученное противоречие и позволяет счи- тать, что 1(х»11 ограничены в совокупности. Вместе с тем в этом случае последовательность (Ах,) можно считать сходящейся, а тогда, как это следует из (2!), будет сходящейся и последова- тельность (х~). Если через х обозначить предел этой последова- тельности, то из (2!) следует, что у = Тх.
Лемма доказана. Л е м м а 2. Пространство Н является прямой ортогональной суммой замкнутгях поднростронсгв Кег Т и !гп Т', т. в. Кег ТЬ!гп Т'= Н, (22). 47о лпнгпные ннтегглльные УРАансния !Гл. 1х и аналогично, Кег Т' со! т Т = Н. г23) Д о к а з а т с л ь с т в о. Мы уже знаем, что оба подпространства, фигурирующие в левой части равенства (22), замкнуты. Кроме того, они ортогональны, поскольку если Ь ~ Кег Т, то (й, Т*х) =(Тл, х) = 0 для всех хан Н. Остается доказать, что никакой ненулевой вектор не может быть одновременно ортогональным к Кег Т и !гп Т'.
Но если вектор х ортогонален к 1гп Т', то для любого х ен Н имеем (Тг, х) = (г, Т'х) = О, т. е. г ен Кег Т. Равенство (23) доказывается аналогично. Лемма доказана. Из леммы 2 сразу вытекает первая теорема Фредгольма. Действительно, ) 1 Кег Т' в том и только том случае, если ) ен 1гп Т, т. е. если существует такое гр, что Тр = ).
Далее, для каждого целого й положим Н" =!гп(Т"), так что, в частности, Н' = 1гп Т. Ясно, что подпространства Н" образуют цепочку вложенных подпространств, Н~Н':эН'~ ..., (24) а в силу леммы ! все эти подпространства замкнуты. При этом Т(Н") = Н"+'. Л е м м а 3. Существует такое 1, что Нк+' = Н~ лри всех й)1. Дока з а те лье тв о.
Если такого 1' не существует, то, очевидно, все Н" различны. В этом случае можно построить такую ортонормированную последовательность (хь), что хх ен Н" и ортогонально Н"+'. Пусть!) й. Тогда Ах, — Ахь = — хь + (х, + Тхь — Тх,) и, следовательно, !!Ах~ — Ахх!! '~ 1, так как х~+ Тхь — Тх, ен Н"+'. Поэтому из последовательности (Ахк) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательности, что, однако, противоречит компактности оператора А. Тем самым лемма доказана. Л е м м а 4. Если Кег У = (0), то 1гп Т = Н.
Дока з а тел ь ство. Если Кег Т=(0), то оператор Т взаимно однозначен и, следовательно, если при этом !гпТ ~ Н, то цепочка (24) состоит из различных подпространств, а это противоречит лемме 3. Поэтому 1гп Т= Н. Аналогично, !го Т*= Н, если Кег Т* = (0) Л е м м а 5. Если ! гп Т = Н, то Ке Т = (0). Д о к а з а тел ь с т в о. Так как 1гп Т = Н, то, по лемме 2, Кег Т* = (0), но тогда„по лемме 4, 1гп Т' = Н и следовательно, по лемме 2, Кег Т = (0». Совокупность лемм 4 н 5 и составляет содержание второй теоремы (альтернативы) Фредгольма.
Тем самым эта теорема доказана. Докажем, наконец, третью теорему Фредгольма. % 21 47! интеГРАльные уРАвнения ФРедгольмА Предположим, что подпространство Кег Т бесконечномсрно. Тогда в этом подпространстве найдется бесконечная ортонормнрованная система (хА). При этом АхА = хА и, следовательно, при йФ! имеем !!Ахх — Лх,!!=.Ь72 Но тогда из последовательности (Ахь) нельзя выбрать сходящейся подпоследовательпостп, что противоречит компактности оператора А.
Пусть теперь р — размерность Кег Т и у — размерность Кег Т". Предположим, что р ( У. Пусть (фн, фи) — оргонормированный базис в Кег Т и (фь ..., ф,) — ортонормироваиный базис в КегТ'. Положим 5х= Тх+ ~ (х, ф1) фн 2=! Так как оператор 5 получается из оператора Т прибавлением конечномерного оператора, то все результаты, доказанные выше для оператора Т, остаются верными и для оператора 5.
Покажем, что уравнение 5х =-О имеет только тривиальное решение. Действительно, допустим, что Р Тх+ ~ (Х, фГ) ф! —— О. (25) Так как векторы ф1 в силу леммы 2 ортогональны ко всем векторам вида Тх, то из (25) следует, что Тх=О и (х, ф!)=О при 1<!<!А. Поэтому, с одной стороны, вектор х должен быть линейной комбинацией векторов ф„а с другой, — ортогонален им. Следовательно, х = О. Итак, уравнение 5х = О имеет только тривиальное решение.
Но тогда по второй теореме существует такой вектор у, что Р Ту+ Х(д, ф;)ф,=ф„„н Умножив это равенство скалярно на фРЬИ мы получим справа 1, а слева О, поскольку Ту ен1т Т, а 1гп Т3 Кег Т*. Это противоречие возникло из предположения !А ~ у. Поэтому !А = у. Заь2еняя теперь оператор Т на Т', мы получим !А ( у и, следователь- НО, !А=У.
Теорема 1П доказана полностью. 3 а м е ч а н и я. !. В теоремах Фредгольма по существу речь идет об обратимости оператора Л вЂ” 1 и эти теоремы означают, что 7,, = 1 — или регулярная точка для А или собственное значение конечной кратности. Разумеется, все, что утверждается в этих теоремах, остается справедливым и для операторов А — 7.!, ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ [гл. ~х 472 ф(э) = ~ К(э, ОФЯй7+ 1(э), а (26) где К(э, 1) — ограниченная измеримая функция: )А(а, Г) ) М, Поскольку это уравнение можно рассматривать как частный случай уравнения Фредгольма (с ядром, равным нулю при 1 ) я), теоремы Фредгольма справедливы н для уравнения (26).
Однако для уравнений Вольтерра эти теоремы можно уточнить следующим образом. Уравнение Вольгерра (26) при любой функции ( е= Еа имеет одно и только одно решение. Действительно, дословно повторяя рассуждения п. 4 В 4 гл. П, мы видим, что некоторая степень оператора Аф= ~ К(э, 1) ф(1) аг а является сжимающим оператором и, следовательно, однородное уравнение имеет единственное (тривиальное) решение. В силу теорем Фредгольма отсюда и следует наше утверждение. У яр а ж не н и е. Пусть на отрезке задано интегральное уравнение Фредгольма второго рода с непрерывным ядром.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
