Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 87
Текст из файла (страница 87)
(р-. 1~!ь!~х ). о, ";,.„..„.„„ (1) имеет смысл не только для функций вида (2), но и для любых функций с ограниченным изменением на всей прямой. Ин- теграл О д(Ц ~ Е-!Лка!Г (Х), Второе слагаемое справа можно сделать сколь угодно малым (сразу при любых Х! и Ак), взяв !У достаточно большим, а первое при фиксированном г! стремится к нулю при Х! — Хз-+О. Однако не все свойства преобразования Фурье переносятся на преобразование Фурье — Стилтьеса. Так, оно не стремится, вообще говоря, к нулю при ~ Х(-ь оо. Пусть, например, О при х.- О, г (х) = 1 при х> О. Тогда и (А) — ~ а-!Лх С(Г (Х) где г' — произвольная функция с ограниченным изменением на прямой, мы будем называть преобразованием Фирье — Стилтьеса функции г.
Для преобразования Фурье — Стилтьеса сохраняется ряд свойств, установленных нами ранее для обычного преобразования Фурье, например, следующее: функция д, определенная интегралом (1), непрерывна и ограничена на всей прямой. Действительно, 1 а (д ) — а (л,) 1- ~ ) е-!! ~к е-!л к 1!(й'(х) 1 ~ ( а-!л,к е-!л к (!(р (х) -л !х!>л 45О ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГАЬ Ч!и Аналогично, преобразование Фурье — Стилтьеса функции, равной О при х ~ хч и ! при х ~ хм есть е'"'А, т. е.
периодическая функция от Л. Если Р— функция скачков, для которой точки п=О, =Е1, .+2,... служат точками разрыва, а числа ...,а иач а„...,а„,... (Где ~~'~а„!<с к — величинами скачков в этих точках, то Е-"к 4(Г (Х) = ~ а„Е-'кА есть периодическая функция с периодом 2я. Если же г" имеет скачки ак в точках х„, образующих произвольную последовательность чисел (вообще говоря, несоизмеримых), то ее преобразование Фурье — Стилтьеса имеет вид ~~', а„е Функции такого типа относятся к так называемым почти периодическим функциям. 2. Применения преобразования Фурье — Стилтьеса в теории вероятностей.
Для суммируемых на ( — ОО, ОО) функций мы ввели в $ 4 понятие свертки: ) (х) = ), к (, (х) = ~ ~, (х — $) (, ($) а . (3) Положим к Ю к г" (х)= ~ г'(1)ТО, Р,(х)= ~ ~,(1)Ж и гк(х)= ~ ~к(1)с(г. Проинтегрировав равенство (3), перепишем его следующим об- разом: (изменение порядка интегрирования здесь возможно в силу теоремы Фубини и абсолютной интегрируемости функции (). 451 пРЯОБРА30ВАние ФуРье — стилтьесА Полученное нами соотношение Р (х) = ~ Р1 (х — 4) ирз К) сопоставляет функциям Р~ н Рз функцию Р. Но интеграл, стоящий здесь справа, существует как интеграл Лебега — Стилтьеса не только для абсолютно непрерывных функций, но и для любых двух функций с ограниченным изменением на всей прямой.
Назовем выражение Р( )= 1 Р,(х — $)ЫР ($), (4) где Р1 и Рз — произвольные функции с ограниченным изменением на прямой, сверткой этих двух функций и обозначим его Р,«Р,, Покажем, что выражение (4) представляет собой функцию, определенную при всех значениях х и имеющую ограниченное изменение на всей прямой '). Действительно, Р, — функция с ограниченным изменением, следовательно, она измерима по Борелю, а потому интеграл (4) существует при всех х. Далее, ) Р (х,) — Р (хз) ( = ~ (Р~ (х, — $) — Р~ (хз — В)) арз $) ~( ( ~ ~ Р, (х — $) — Р1 (х, — б) | д (Уаг Рз Я)), откуда и (А) = в1(А) и (А). Доказательство. Пусть Р =- Р~«Рз и а=ха хи ..., х„=о ') В книге В.
И. Гл явен к о «Интеграл Стнлтьеса»; Госте»палат, 193б, дана злементарная конструкция, позволяющая придать смысл формуле (4) без использования меры, т. е. Р— функция с ограниченным изменением, Теорем а 1. Если Р есть свертка функций с ограниченньзм изменением Рз и Рз, и д, д~ и дз — их преобразования Фурье— Стилтьеса, то лб2 ТРиГОПОмРТРические Ряды преОЕРАзОЕАние ФУРье !Гл Уп! — некоторое разбиение отрезка (а, Ь!. Тогда при каждом А ь а -мкь(Р ( ) Р( )) '"ах ака-+с ь, а ь ! н !!пт ~ ~ е 'А("а !)(Р,(ха — й) — Р,(х„,— 5))е ' йааРт(й), пах акь.+о т. е. ь >( ь-! ).— ° аг<,>= (( (,- аг,!,!);час<!!. а а-! Переходя здесь к пределу при а -э — оо и Ь -а.
оо, получаем ~ Е-~Акт(Р(Х) ~ Е-!Акт(Р (Х) ~ Е-!Ай!(Гт(га) т. е. й (Л) = а, (й) я, (Л). Теорема о том, что преобразование Фурье — Стилтьеса переводит свертку функций в умножение, широко используется в теории вероятностей (метод характеристических фун кци й). Если $ и т! — две независимые случайные величины, а Р, и Рт — их функции распределения, то величине в+ т~ отвечает функция распределения )!еобходимость рассматривать суммы независимых случайных слагаемых возникает в теории вероятностей очень часто. Переход от функций распределения к нх преобразованиям Фурье — Стилтьеса, — так называемым характеристическим функциям,— позволяет заменить операцию свертки более простой и удобной операцией умножения. У п р а ж н е и и я !.
Доказать, что преобразование Фурье — Стилтьеса обладает свойством единственности: если функиия Г непрерывна слева, а ее преобразование Фурье — Стилтьеса есть тождестнсииый нуль, то Е(к) = = сапы. 2. Доказать, что операция свертки функций с ограниченным изменением конмутативна и ассоциативна. й 8. Преобразование Фурье обобщенных функций Мы уже говорили, что применение преобразования Фурье, понимаемого в .обычном смысле, в дифференциальных уравнениях и других вопросах сильно ограничивается тем, что это преобразование определено лишь для функций, абсолютно интегри- 8 81 ПРЕОБРАЗОВАННЕ ФУРЬЕ ОБОБП1ЕННЫХ ФУНКЦИП 453 руемых на всей прямой.
Применимость преобразования Фурье можно существенно расширить, введя понятие преобразования Фурье для обобщенных функций. Изложим основные идеи такого построения. Рассмотрим снова пространство 5 функций, бесконечно дифферепцируемых на всей прямой и убывающих на бесконечности вместе со своими производными быстрее, чем любая степень 1~(х) (см. Э 4, гл. 1Ч). Приняв 5 за пространство о с н о в н ы х функций, рассмотрим соответствующее пространство о б о б щ е н н ы х функций 5' .
Определим теперь в пространстве 5" преобразование Фурье. Для этого вспомним прежде всего, что пространство 5 переводится преобразованием Фурье (понимаемым в обычном смысле) в себя: если ф я 5, то г" [8р)ен 5, причем г есть взаимно однозначное отображение 5 снова на все 5 . Исходя из этого, введем следующее определение. Преобразованием Фурье обобщенной функции 1'еп 5' называется линейный функционал д ен 5', определяемый формулой (д, ф)=2л(1, ~р), где ф=РЯ.
(1) Эту формулу можно переписать и так: Щ, ф)=2п(), ф) =2п([, Р ф) т. е. преобразование Фурье функционала ген 5' есть функционал, который на каждом элементе ф ее 5 принимает значение, равное (умноженному на 2п) значению исходного функционала 1' на элементе р=Р ф, где г" — обратное преобразование Фурье. Поскольну ф = г" [гр) пробегает все 5 „когда ~р пробегает 5, равенство (1) действительно определяет функционал на всем 5 . Линейность и непрерывность этого функционала проверяются непосредственно. Среди элементов 5:.
содержатся все абсолютно интегрируемые функции. Для них только что сформулированное определение преобразования Фурье совпадает с обычным. Действительно, если 1'еп5, ~реп 5, д = РЩ и Ар = У[4, то по теореме Планшереля получаем 2л(1, ф) =(д, ф), (2) причем, при заданной ) существует лишь одна„с точностью до эквивалентности, функция д, удовлетворяющая этому равенству при всех ~р еп 5 . С помощью соответствующего предельного перехода нетрудно показать, что равенство (2) имеет место и для любой ) ~ (и( — ОО, ОО). Таким образом, преобразование Фурье обобщенных функций представляет собой распространение классического преобразования на более широкий класс объектов.
454 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЪ!. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ !ГЛ упт П р и м е р ы. 1. Пусть |(х) = с = сонэ(. Тогда 2л(~, !р)=2л ~ с!р(х)дх=2лсф(О) (ф=Р(ф)), т. е. преобразование Фурье константы равно этой константе. умноженной на 2л и на б-функцию. 2. Пусть 1(х) = е"". Тогда 2л(~, !р) =2л ~ е ""ф(х)Г(х=2лф( — а), т. е. преобразование Фурье функции е"* есть сдвинутая 6-функция 6(х+ а), умноженная на 2л. 3. Пусть ) (х) = х~. Тогда из равенства ф р„) ~ хе, (.) -иа( положив в нем Х = О и умножив его на 2л, получаем 2л(хэ, ф(х)) = — 2лф" (О), т. е.
Преобразование Фурье функции х' есть вторая производнам от б-функции, умноженная на — 2л. Сделаем несколько заключительных замечаний. Мы определили преобразование Фурье для обобщенных функций над 5 . Но можно было бы взять и любое другое основное пространство, например, пространство К бесконечно дифференцируемых финитных функций. Для каждой функции ф ее К преобразование Фурье (в обычном смысле) существует и, как можно проверить, представляет собой целую аналитическую функцию экспоненциального роста.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
