Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 83
Текст из файла (страница 83)
конец 5 2), имеет место следующее: если для функции ~ 1.,( — оо, оо) )'(х)в """Ых =О, то !'(х) = О почти всюду. чч ПРеОБРА30ВАние ФуРье, ОВОиствА и пРименения 425 Действительно, из написанного выше равенства вытекает. первых, что для всех действительных 1 и Л О 3 ((х+ Г~е-'А*Их=О. Положим теперь ~р(х) = ~)(х+ ~)~й, а тде $ — произвольное фиксированное действительное число. Применяя теорему Фубини и используя условие, наложенное на функцию г, легко усмотреть, что функция ~р (которая как и ), принадлежит к (.~( — ОО, ОО)) удовлетворяет тому же условию, т.
е. М Ч (х) е 'А" а(х=О нри всех действительных Л. Но, как легко видеть, функция у абсолютно непрерывна на каждом конечном отрезке и, следо. вательно, почти всюду обладает конечной производной. В частности, эта функция почти всюду удовлетворяет условию Дйни. Поэтому в силу теоремы ! $ 3 она почти всюду обращается в О, так как ее преобразование Фурье есть тождественный О. Но ф непрерывна, так что ~р(х) = — О.
Из этого вытекает, в частности, что при всех действительных $ $ ~ 1(г) И=О и, следовательно, ) (х) = О почти всюду. Рассмотрим теперь некоторые примеры. 1. Пусть ~(х) = е линзу ) О. Найдем преобразование Фурье этой функции. Имеем ОО ~Ю д(Л)= ~ е-т'*~е-" г(х= ~ е-т~'1(созЛх — аз!ПЛх)а1х= О =2 ~ е-т'сов Лхох. а С помощью двукратного интегрирования по частям находим 425 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ /ГЛ У!!Г 2. Пусть 1 при! х)(а, 1(х) = О при ) х)> а. Тогда а д(Л) = ~ !'(Х) Е " дХ = ~ Е-!Ахдк= е! а — е ""а 2ыпха !Л Л (Следует обратить внимание на то, что функция а здесь пе п р и н а д л е ж и т Ь1( — ао, сю) ), 3. Пусть 1(х) =,, Тогда ~ е-!Ах х'+а' ' Этот интеграл проще всего вычислить с помощью теории вычетов.
Пусть сначала Л ) О. Дополнив действительную ось, по которой берется интеграл (3), полуокружностью бесконечно большого радиуса, лежащей в нижней полуплоскости (т. е. в той, ГдЕ ЭКСПОПЕНта Е /ах СтрЕМИтСя К НУЛЮ), ПОЛУЧИМ, Чта ИНтЕГраЛ (3) равен сумме вычетов подынтегральной функции в нижней полуплоскости, умноженной на ( — 2п!). В нижней полуплоское -!Ах сти функция, +, имеет один полюс первого порядка в точке х' + а' х = — а!'. Вычет в этой точке находится по известной формуле." если 1(2) = — и Ф(а) ~ О, а /р(х) имеет в точке г = а нуль Ф (2) Р (2) первого порядка, то вычет функции !' в точке а равен —,.
ПоФ (а) Ф' (а) этому в нашем случае получаем е аь й(Л) = — 2я! — = — е ах при Л > О. При Л( О аналогично (рассматривая только верхнюю полу- плоскость вместо нижней) получаем л(Л) = — е'~. Таким образом, окончательно а(Л)= — Е /А/( — <Л<, ) а Впрочем, этот результат можно получить сразу по формуле об- ращения, используя пример 1 и теорему 1 5 3. 4. Положим 1(») = е-ах'. Имеем у (А) = ~ Е ' *Е-'Ах д». а (4) 'Здесь под интегралом стоит аналитическая функция, не имеющая особенностей в конечной части плоскости и стремящаяся к нулю вдоль каждой прямой, параллельной действительной оси. Поэтому в силу теоремы Коши интеграл (4) не изменит своего значения, если его взять не по действительной оси, а вдоль любой прямой г = »+ гу (у = сопз(), параллельной этой оси.
Таким образом, о(2) ~ е- 44+гад, е-гл44+гу]41» Ф вЂ” Еад'+Ад ~ Е-ак'-2а!ку-жк41» Еау'+Ад ~ Е-ах' — Гх(242+А>42» Выберем теперь постоянное значение у так, чтобы в показателе подынтегральной экспоненты исчезла мнимая часть, т. е. положим у = — Ч(2а). Тогда АЯ М у (4„) — Е 44' 2а ~ Е-ах1,4» Е 4а / ~ АГ а поскольку Е-ак' Г(»вЂ” В частности, если положить а = 1(2 то мы получим г (») —,-хед у(4) — 42 е-Ачд т. е. функция е-к" переводится преобразованием Фурье сама в себя (с точностью до постоянного множителя).
2. Основные свойства преобразования Фурье. Из формулы (1), определяющей преобразование Фурье, Вытекает ряд свойств этого преобразования. Рассмотрим эти свойства. Для сокращения записи будем преобразование Фурье функции 1" обозначать символом ЕЯ. Иначе говоря, мы обозначим через г линейныл оператор, определенный на пространстве 1.,( — оо, оо) и ставящий в соответствие каждой функции из этого пространства ее преобразование Фурье' ). ') Вообще говоря, не принадлежащее Ео Ч 41 пРеОБРА30ВАние ФуРье. ОВОЙОТВА и пРименБния 427 лгв тРиГОнОметРические РЯДЫ.
пРеОБРАЭОВАние ФУРье !Гл. щгв 1, Если последовательность Щ функций из Е1( — со, оо) сходится в метрике пространства Е|( — сю, сю), то последовательность их преобразований Фурье дя = г1)„] сходится равномерно на всей прямой. Это утверждение сразу вытекает из очевидной оценки: Ю [ и„ (Л) — й (Л) [ -= ~ [ г'„ (х) — )' (х) [ дх. ы 2. Лреобразование Фурье д абсолютно интегрируемой функции у представляет собой ограниченную непрерывную функцию, которая стремится к нулго при [Л[-и со, Действительно, ограниченность функции у = г'[[) сразу видна из оценки ы [ к (Л) [ (» ~ [ ~ (х) [дх. Далее, если ) — характеристическая функция интервала (а, Ь), то для нее ь е я — е у (Л) = ~ е 'х" с(х =- ' гх Эта функция, очевидно, непрерывна н стремится к нулю прн [Л[-м со, Так как операция Р перехода От ) к д линейна, то отсюда следует, что преобразование Фурье любой ступенчатой функции (т.
е. линейной комбинации индикаторов интервалов) есть тоже непрерывная функция, стремящаяся к нулю при Л -ь. ~ оо. Наконец, ступенчатые функции всюду плотны в Е,( — со, со), поэтому если ) ~ Еь то существует последовательность [)„) ступенчатых функций, сходящаяся к [' в Е1( — со, оо). Тогда в силу свойства 1 последовательность функций дя=Р[[я[' сходится равномерно на всей прямой к функции д = Р[[[. Но тогда предельная функция у тоже непрерывна и стремится к.
нулю прн [Л[-ьсо. У п р а ж н е н и н. !. Доказать, что преобразование Фурье я абсолютно. интегрируемой функции 1 равномерно непрерывно на всей прямой Е. Пусть  — пространство равномерно непрерывных на ! — о», еь) функций, стремящихся к нулю на бесконечности. Показать, что преобразование Фурье р есть оператор из Е,( — ео, ео) в В с нормой ), удовлетворяющий. условию Кег е = О. Э. Если )' абсолютно непрерывна на каждом конечном интервале и 1'ееЕ1( — оо, оо), то имеет место равенство Р [)" [ = (Лг" [Г ). ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ. СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 429 Таким образом, дифференцированию функции (при указанных выше условиях) отвечает умножение ее преобразования Фурье на (Л. Действительно, абсолютно непрерывная на каждом конечном интервале функция может быть записана в виде ) (х) = 1 (0) + ~ 1' (1) Ж. Из абсолютной иитегрируемости )' следует, что стоящее здесь справа выражение при х-+Во и при х-+ — ОО имеет предел.
Этот предел может быть только нулем, так как иначе функция 1 не была бы интегрпруема на всей прямой. Учитывая это, получаем с помощью интегрирования частям ГЦ')(Л)= ~ )'(х)е-'А" дх= =1(х)е ' ~ + (Л ~ ((х)е " дх=(Лг()'1(Л), что и требовалось доказать. Если функция ) такова, что ~'А и абсолютно непрерывна на каждом интервале и 1, ..., ~<А~ ен с,( — Оь, СФ), то с помощью таких же рассуждений получим Ю'"'1=( Л)'Р(~). (5) 4. Связь между степенью гладкости функции и скоростью убывания на бесконечности ее преобразования Фурье. Разделив равенство (5) на (1Л)А и вспомнив, что преобразование Фурье всегда стремится к пулю на бесконечности (свойство 2), получим, что если ~<А' абголютно интегрируема, то ~Р[)11= ', -0. 1р! "!! т. е.
В згих условиях Г(Д убывает на бесконечности быстрее, чем ЦЛ(А. Итак, чем больше произвочных в С~ имеет 1, тем быстрее убывает на бесконечности ее преобразование Фурье. 5, Если 1н существует и принадлежит 1.1( — ьь, ьь), то г" ()) абсолютно интегрируема. Действительно. при указанных условиях г (Л ограничена и убывает на бесконечности быстрее, чем 1М. Отсюда следует интегрир уемость. Выше (свойство 4) мы показали, что чем больше производных имеет функция 1', тем быстрее убывает на бесконечности ее 430 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ, УПГ преобразование Фурье. Справедливо и двойственное утверждение, а именно, чем быстрее убывает [, тем глаже ее преобразование Фурье. Точнее говоря, верно следующее утверждение: б. Лусть как функция [(х), так и х[(х) абсолютно интегрируемы. Тогда функция д = Е[~] дифференцируема и й' (А) = Е [ — гх[(х)]. Действительно, продифференцнровав интеграл ) (х) е-юлкдх определяющий к, по параметру )., мы получим интеграл — 4 ~ х[(х) е '"'йх, который (в силу интегрируемости функции х[(х)) сходится равномерно по Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
