Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 80
Текст из файла (страница 80)
Отсюда, принимая во внимание, что любая непрерывная функция может быть сколь угодно точно аппрокснмирована функцией из М е~ (при достаточно большом и), мы убеждаемся з полноте нашей системы. Рассмотрим еше один пример ортонормальной системы функций на отрезке [О, 1[, прикадлежащий Радемахеру. Положим Ф =( — 1)[' "[. Очевидно, что расширенная таким образом система, называемая системой Радемахера — Уолша, останется ортонормальной. Кроме того, она уже будет полной доказательство этого проводнтся аналогично доказательству полноты сисгемы Хаара. Иными словами, функция Ф получается следующим образом: сеглгент [О, 1[ целится на 2п равных частей Ль причем на интервалах Л, (г = 1, ..., 2 ) функция гр принимает попеременно значения +1 и — 1. Ортонормальность системы Фе ф! Фп (14) очевидна.
Эта система не полна. Это следует хотя бы из того, что, например, функция 1, если 0 < х < 1/4 или 3/4<х<1, — 1, если 1/4 < х < 3/4, пртогональна ко всем функциям системы (!4). Однако последнюю можно рас- ширить до полной ортонормальной системы, добавив х ней функции вида %,,м,...т = Ь,,Фю Ф, (0<ш,<шх« " гпа) (13). ГЛАВА У!!! ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ $1. Условия сходимости ряда Фурье образуют в нем полную ортогональную систему, поэтому для каждой функции ) ен Ц[ — л, 4 ряд Фурье \» — '+ ~ он сових+ Ь„з!и лх, л (2) где а„= — ~ )(х)созлхНх, Ь„= — ~ [(х)а(плхс(х, (3) 1 Г 1 сходится к ! в среднем квадратичном, т. е. в метрике пространства Г.а[ — л, и).
Однако в связи с применением рядов Фурье к задачам математической физики и другим вопросам будет существенно установить условия, гарантирующие сходимость ряда Фурье к ! не только в среднем, но и в данной точке, всюду, илн даже равномерно. Мы установим сейчас условия, достаточные для сходимости тригонометрического ряда в данной точке. Сделаем некоторые предварительные замечания. Вместо функций, заданных на отрезке [ — л, л), мы можем говорить о периодических функциях с периодом 2л на всей прямой, поскольку каждую функцию, заданную на отрезке, можно периодически продолжить ').
Далее, функции, образующие тригонометрическую систему, ограничены, поэтому формулы (3), определяющие коэффициенты Фурье по этой системе, имеют ') Заменив, если нуткно, 1[х) эквивалентной функцней, мм можем считать, что!( — л) =1(н). 1. Достаточные условия сходимости ряда Фурье в точке. Рассмотрим снова пространство 1.а[ — л, л) функций с суммируемым квадратом на отрезке [ — л,л]. Это, как было показано в гл. И1, — полное бесконечномерное евклидово пространство, т.е. гильбертово пространство. Функции 1, созлх, з)плх (л=!, 2, ...) УСЛОВИЯ СХОДИМОСТИ РЯДА ФУРЬЕ 40Т смысл для любой с у м м и р у е м о й функции ') (а не только длп рункций с суммируемым квадратом).
Таким образом, каждой функции ~ ~ Е~( — и, и) отвечают совокупность ее коэффициентов Фурье и ее ряд Фурье ((х) — '+ ~ а„соз их + Ь„з)п пх. л ! Перейдем теперь к вопросу о сходимости этого ряда в данной точке х к значению функции ! в этой точке. Положим л 5„(х) = 2' + ) аз сов йх+Ь„з)пйх. (4р А=! Преобразуем сначала 5 (х), подставив в (4) вместо коэффициентов аа и Ьа их интегральные выражения (3). Обозначив переменную интегрирования через (, мы получим л Г л ьл)- — ! !М(те) е *.и~- ььл л)л= -и а=! л л — —, ! !Я(ге 2, .ее — *~) п. — и Лем Воспользовавшись хорошо известной формулой') 2л+ ! ! мп — и — +соим+соэ2и+ ... +созпи= 2 2 и 2 з)ив 2 будем иметь и 2п+! Ми — (! — Х) .Ч„(х) = ! г(() 2,( 2 5)п ') При атом, нонечно, для произвольной суммируемой функции иияаиих Гтвепждений о сходимости ряда (2) мм не делаем, ) Для получения втой формулм достаточно просуммировать равенства и 1 .
и 5|п — — ' 2 з)ив 2 2 2' Зи . и и з)п — — Мп — соз и ° 2 з)ив 2 2 2' 2п+! . 2п — ! и пп — и — з!п — и соз пи ° 2 з)п —. 2 2 лов тгнгонометгические Ряды. пРеОБРАЭОВАние ФуРье [гл. у[И Это представление 5„(х) и различные его модификации называются интегралом Дирихле. Сделаем замену, положив 1 — х = е, Поскольку под интегра.лом в (6) стоит периодическая функция с периодом 2п, интеграл от иее по любому отрезку длины 2п имеет одну и ту же ве.личину.
Поэтому и при интегрировании по е мы можем сохранить прежние пределы — и и и. Получаем и 2л+ 1 5[п — г 5„(х) = — 1(х + е) Ые. 25!П— -л 2 Функция 2П +! ! 2 мп — г 0 (г)=— л 2П 5 5!П— 2 пазывается ядром Дирихле. Из равенства (5) сразу видно, что при любом и ~ 0„(е) [(а=1. Используя это равенство, запишем разность 5„(х) — 1(х) в виде и 25+ ! 5[П вЂ” 2 5„(х) — !'(х) = †„ [) (х + е) — [ (х)] [(е. (7) 5Ю— -и 2 Таким образом, мы свели вопрос о сходимости 5„(х) к !'(х) к вопросу о стремлении к нулю интеграла (7).
Исследование лтого интеграла опирается на следующую лемму. Л е м м а 1. Если 4ункция [р суммируема на отрезке (а, Ь], то ь 1[гп ~ [р (х) з! и рх Нх = О. Р 'и а Дока з а тельство. Есин ~Р— непрерывно дифференцируеыая функции, то с помощью интегрирования по частям получаем, что при р-ь-оо ь ь [р(х)з[прхах= — [р(х) Р ~ + ~[р'(х) ~~~~~ дх- [)„(8) а а Пусть теперь [р — произвольная суммируемая на ]а, Ь] функция. Поскольку непрерывно дифференцируемые функции всюду плот- 403' тсловия сходимости яядя отвьв ны в ь, [а, 6], для любого е ) О найдется такая непрерывно дифференцируемая функция !р„что ь ! !р(х) — <р,(х) 1~1х < —.
О (97 Далее, имеем ! ь ь ь ~ф(х)21пРхдх «» ~[Ч>(х)-ф,(х)]з!пРхдх + ~~рь(х)з!прхдх а х а Первое слагаемое справа меньше, чем е/2, в силу (9), а второе — стремится к нулю при р-~ оо согласно (8). Лемма доказана. Теперь мы легко можем доказать следующий достаточный признак сходимости ряда Фурье. Теор е м а 1. Если [ — суммируемая функция и при фиксированном х и некотором 6, О интеграл (! О). Если функция г(х+ х) — 1(х) интегрируема (по г) в пределах от — 6 до 6, то она интегрируема и на всем отрезке [ — и, и] (поскольку )вне~[ — и, и]).
Но тогда интегрируема и функция !(х+ х) — 1(х) х х 2 мя (х/2) поэтому к интегралу (!1) можно применить лемму 1, и мы получаем, что этот интеграл стремится к нулю, когда и -ь оо, 3 а меч а ни я. 1. Сходимость интеграла (!0) называется условием Дани. Оно, в частности, выполнено, если в данной точке х функция ) непрерывна и имеет конечную производную, нли хотя бы правую и левую производные. существует, то частичные суммы Е„ряда Фурье функции [ сходятся в этой точке х к ('(х). До к аз а тельство. Перепишем интеграл (7) в виде 1 ( 1(х+ х) — !(х) х . 2я+1 з!п 2 г дз.
(!11 2 5!П— 4!О тРиГОнОметРические РЯДЫ. пРеОБРАзОВАние ФуРье !Гл. Чп! Рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 1, Останутся в силе, если вместо условия Дйни потребовать сходи- мости следую!цих двух интегралов: 1(х + х) — 1(х — О) г(2 и з! д2, (12) ! 1(х+ х) — 1(и+ О) -о о где 1(х — О) и 1(х+ О) суть левый и правый пределы функции 1 в точке х (предполагается, что х есть точка разрыва первого рода для 1).
Действительно, разность )(х + О) + 1(х — О) 2 можно представить в виде о 2и+ ! г Мп, х — ') [1(х+ г) — )(х — О)], . дг+ и 2п+ ! ! Г 2 + ) [1(х+ 2) 1(х+ О)! е(2; о при условии существования интегралов (12) эти выражения стремятся к нулю, когда и -з. ео, Отсюда вытекают достаточные условия «глобальной» сходи- мости ряда Фурье, обычно приводимые в курсах анализа. Пусть ! — ограниченная функция с периодом 2п, имеющая разрывы лишь первого рода, и пусть )' имеет в каждой точке левую и правую производные '). Тогда ее ряд Фурье сходится всюду, а его сумма равна 1(х) в точках непрерывности и равна 1 2 (7(х+ О) + [(х — О)) в точках разрыва, 2. ЯдрО ДнрНХЛЕ Вя(2), ИГраВШЕЕ ОСНОВНУЮ РОЛЬ В НаШИХ рассуждениях, представляет собой функцию, принимаю!цую в 2п+ 1 точке 2 = 0 значение „и при больших значениях и быстро колеблющуюся (рис.
22). В силу этого обстоятельства основной ') В точке разрыве первого рода иеввя и правая производные пони- маются иан !Вп )(х — И) — 1(х — О) 1(х + И) — 1(х + О) н Ию в +о+ — и в.»о+ и соответственно. 411 1Н условия схОдимости РядА Фуяъв вклад в интеграл и 1 1(х+ 2) В„(2) 42 при больших и дает лишь сколь угодно малая окрестность точки к. Для функций, удовлетворяющих условию Дини, этот вклад =тремнтся к 1(х) при и-Р со. Можно сказать, что ядра Дирихле Эс образуют последовательность функционалов, сходящуюся, в гекотором смысле, к б-функции ~а множестве функций 1, разтожимых в сходящийся ряд Фурье. Ясно, что в смысле обычной .ходимости последовательность (11„) не стремится ни к какому |ределу, поэтому, исследуя интеграл (7), мы не могли применить Р <акис-либо стандартные теоремы з предельном переходе под зна<ом интеграла.
3, Условие Дйнн, обеспечиваюцее сходимость ряда Фурье, мозсно заменить другими условия- Рио 22. чи, но просто отбросить его в геореме 1 нельзя. Действительно, даже среди н е п р е р ы в н ы х существуют функции с рядом Фурье, расходящимся в некоторых гочках. Среди с у м м и р у е м ы х функций существуют такие, ряд Фурье которых расходится всюду (А. Н. Колмогоров). Еще в !915 г. Н. Н. Лузин поставил следую:цую проблему: существуют ли в 7.2 функции, для которых ряд Фурье расходится па чножестве положительной меры? Как показал Л. Карлесон (1966 г.), таких функций не существует. Тот факт, что существуют непрерывные функции, для которых ряд Фурье сходится не во всех точках, легко вытекает из збщих теорем о слабой сходимости функционалов (п.
3- 5 3 гл. 1У). Заметим прежде всего, что ~ ~ О„(2) (с(2-+ со при и-+ со. (13~ Действительно, числитель дроби .4!2 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФКРЪЕ [ГЛ. Чн! обращается в 1 в точках, где — '"2+' е=(й+ —,') и, й=Ю, 1, ..., .. (14) Окружим каждую из точек, определяемых условием (14), интервалом — г — — п~< —. 2л+ ! 2й+ ! 2 2 ~ 3 ' (15) 4л Длина любого из них равна, очевидно, ( + . В каждом иэ 3(2л+ !) ' 2л+ ! этих интервалов~э(п 2 я~не меньше, чем 1(2. Оценим вели- а чину з(п — на й-м интервале (й = О, 1, ..., и). Имеем 2 Поэтому интеграл от !0,(г) ~, взятый только по промежуткам, определяемым условием (15), больше, чем сумма п и ! ~ ! ! 4л 1 ~-~ 1 2л Х.и 2 й+1 3(2л+ !) Зл ~ й+ ! 2л+ 1 йеа Эта сумма стремится к лл при л-~.лл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
