Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 77
Текст из файла (страница 77)
В силу теоремы об изоморфнзме гильбертовых пространств, это означает, что все такие ьг(Х, р) изоморфны между собой. В частности, каждое такое Ц(Х, р) изоморфно пространству !з числовых последовательностей со сходящейся суммой квадратов. Последнее можно рассматривать как Ее(Х, р), когда Х счетно, а р определена на всех его подмножествах и равна 1 для каждой точки, Ниже мы будем рассматривать только ье(Х, )А), отвечающие мерам со счетным базисом. В случаях, когда это не может вызвать недоразумений, каждое такое пространство мы будем обозначать просто Аэ, Поскольку пространство Еэ представляет собой, как мы выяснили, реализацию гильбертова пространства, на Ц можно перенестн все те понятия и факты, которые были установлены в $ 4 гл.
1П для абстрактного гильбертова пространства. В частности, согласно теореме Рисса всякий линейный функ. ционал в гильбертовом пространстве Н записывается в виде скалярного произведения г'(Ь) =(6, а), где а — фиксированный вектор из Н. Поэтому всякий линейный Функционал в Ее имеет вид р(~) = ~ ~ (х) д(х)й)А, где й — Фиксированная функция с интегрируемым квадратом на Х. ') Если п()Г) ( оо, то этот шаг отпадает. ПРОСТРАНСТВО Ср 4. Комплексное пространство л.м Мы рассматривали сейчас действительное пространство Еь Изложенные результаты легко переносятся на комплексный случай. Комплексная функция 1, определенная на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой 1», называется функциеб с интегрируемым квадратом, если интеграл ~11(х) )'др х конечен. Определив сложение таких функций и умножение их на числа обычным образом и введя скалярное произведение по формуле мы получим евклидова пространство, называемое комплексным пространством т.ь (При этом, как и в действительном случае, мы считаем эквивалентные между собой функции одним и тем же элементом пространства.) Это пространство полно, а если мера и имеет счетный базис, то и сепарабельно.
Таким образом (отбрасывая конечномерный случай), мы получаем, что комплексное пространство Ем отвечаюгцее мере со счетным базисом, есть комплексное сепарабельное гильбертово пространство. Все такие пространства изоморфны между собой, и для них справедливы результаты, изложенные в 4 4 гл. И1, 5. Сходимость в среднем квадратичном и ее связь с другими типами сходнмости функциональных последовательностей. Введя в пространстве Е» норму, мы определили тем самым для функций с интегрируемым квадратом следующее понятие сходи- мости: если 1нп ~ (~„(х) — ~ (х))'др = О.
Мы назвали такую сходимость сходимостью в среднем квадратичном. Посмотрим, как такая сходимость связана с другимп типами сходимости функциональных последовательностей. Предположим сначала, что мера пространства-«носителя» Х конечна. 1. Если последовательность (Я функций из Ез(Х, 1») сходится в метрике Ет(Х, 1х), то она сходится и в метрике Е1(Х, 1»). ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ 1гп уп Действительно, в силу неравенства (2) имеем ~1 [„(х) — [ (х) ]4ье '~1А(Х) ~ ([„(х) — [(х))е с11А~ откуда и следует наше утверждение. 2.
Если последовательность (14 сходится равномерно, то она сходится и в среднем квадратичном. Действительно, прн каждом е ) 0 при всех достаточно больших и имеем ] 1„(х) — 1 (х) ] ( е и, следовательно, ~ [1„(х) — 1(х)]'д1А < е'и (Х), откуда вытекает наше утверждение. 3. Если последовательность суммируемых функций ([4 сходится в среднем, то она сходится на Х и по мере. Это утверждение сразу же следует из неравенства Чебышева (стр. 300). Отсюда и из теоремы 8 $4 гл. 'Ч вытекает: 4. Если последовательность (14 сходится в среднем, то из нее можно выбрать подпоследовательность ([„~, сходяи1уюся почти всюду.
Заметим, что при доказательстве теоремы о полноте пространства Е, мы уже установили этот факт, не опираясь на теорему 8 5 4 гл. у'. Нетрудно убедиться в том, что из сходимости некоторой последовательности в среднем (и даже в среднем квадратичном) не вытекает, вообще говоря, ее сходимость почти всюду. Действительно, последовательность ([4, построенная в и. 6 5 4 гл.
Ъ', сходится к 1 = 0 в среднем (и даже в среднем квадратичном), но при этом, как мы видели, она не сходится к 0 ни в одной точке. Обратно, последовательность ([4 может сходиться почти всюду (и даже всюду) и не сходиться при этом в среднем. Рассмотрим, например, на отрезке [0,1] последовательность функ. ций ~ и при хеп(0, 11п], 1„(х) = 1 0 при остальных х. Очевидно, 1„(х)-+О при всех х~ [О, 1]. Но в то же время 1 ~]1„(х) ~дх=1 при всех и. о за> ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ В Ье 389 Связь между различными типами сходимости в случае )ь (Х) ( ( оо можно изобразить следующей схемой: Равномерная сходимость ~ 1 сходимость в среднем квадратичном (1.а) сходнмость почти всюду а сходимость а среднем (д ) — ь сходнмость по мере где пунктирная стрелка означает нозможпость выбора из последовательности, сходящейся по мере, подпоследовательности, сходящейся почти всюду.
В случае )А(Х) = со (например, для функций на всей числовой прямой с мерой Лебега на ней) установленные выше связи уже не имеют места. Например, последовательность 1/1/и при ~ х ~(п, 1„(х) = ~ О при ~х!) л сходится равномерно на всей прямой к функции )=в О, однако она не сходится ни в среднем, ни в среднем квадратичном. Далее, при )ь(Х) = со, как мы уже указывали, сходимость в среднем квадратичном (т. е.
в Т.а) не влечет за собой сходимости той же последовательности в среднем (т. е. в Т.1). Заметим в заключение, что из сходимости в среднем ни при р(Х) ( оо, ни тем более при р(Х) = оо не следует, вообще говоря, сходимость в среднем квадратичном. $ 3. Ортогоиальные системы функций в а.а.
ряды по ортогональным системам Общие теоремы, установленные в 9 4 гл. 111 для евклидовых пространств, говорят нам, что в Еа имеются полные ортогональные (в частности, ортогональные и нормированные) системы функций. Такие системы можно получить, например, применяя процесс ортогонализации, описанный там же, к той или иной полной системе. Если в Т,а выбрана некоторая полная ортогональная система (ф„), то, опять-таки в соответствии с общими ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦНИ 1гл.
у!г 390 результатами 9 4 гл. 111, каждый элемент 1 ~ Ьт можно представить как сумму ряда 1= ~ с„гр„ — ряда Фурье функции 1 по ортогональной системе (фп). При этом коэффициенты с — коэффициенты Фурье функции ) по си- стеме гр„— определяются формулами с„= —, ~ 1 (х) щ„(х) ср)з (!( <р„11з = ~ ~рт (х) г()ь1. 1, созлх, з!плх (л=!, 2, ...) образуют полную ортогональную систему, называемую тригоно- метрической. Ортогональность легко проверяется прямым вы- числением, например, прн л Ф гл л гп созлхсоз гихл = — ) ~соз — х+ соз — х пх =0 2 и т.
д. Полнота системы (1) следует нз теоремы Вейерштрасса об аппроксимации любой непрерывной периодической функции тригонометрическими многочленами '). Система (!) не нормирована. Соответствующая нормированная система состоит из функций 1 1/зн = = (л= 1, 2,...). соз лл з1п лл ~/н Т/й Пусть 1 — функция из 121 — н, л); ее коэффициенты Фурье, отвечающие функциям 1, соз лх, з(п лх, принято обозначать ае/2, ап и Ь . Такрм образом, в соответствии с общими формулами для ') В 5 2 гл. ЧИ1 мы докажем теорему Фейера, представлнюшую собой усиление теоремы Вейерштрасса. Тем самым будет дано и доказательство полноты тригонометрической системы (не опирающееся, конечно, на излагаемые здесь факты), В этом параграфе мы рассмотрим важнейшие примеры ортогональных систем в пространствах Ет и отвечающие им разложения.
1. Тригонометрическая система. Тригонометрический ряд Фурье. Рассыотриы пространство Еа [ — л, л) функций с интегрируемым квадратом на отрезке ( — л, л) с обычной мерой Лебега на этом отрезке. В этом пространстве функции ОРтогоихльиые системы Функций в /и коэффициентов Фурье, имеем л л — — ~~(х)/вх, т. е.
ае= — ~/(х)Ых аи= — ~)(х)сових/!х, Ьи= — ~~(х)в!пахах. Г ! Соответствующий ряд Фурье имеет внд ф + ~~ аи сов лх + Ь„в[п пх и ! н для любой функции / ен Ев сходится в среднем квадратичном именно к ней. Если 3„(х) = 2' + ~~ аА сов йх+ ЬА в!п Ьх А=! — частичная сумма ряда Фурье, то среднее квадратичное уклонение 5 от / можно найти по формуле и и и ~!~//,) -8. (,/!/=!~!~/!~/-.(-'; -«Е ч и. !,). А=! Среди всех тригонометрических многочленов и Т„(х) = — '+ ~~/ о„сов Ьх+ ()А в!пйх А ! с данным и частичная сумма ряда Фурье 5 дает наилучшую (в метрике Ц) аппроксимацию функции )'.
Неравенство Бесселя для тригонометрической системы имеет вид 9 и 2 +Х "+ «л/! и ! но поскольку тригонометрическая система полна, на самом деле для любой функции нз /.в имеет место равенство Парсеваля в и " + ~~, ав+Ьв ~ ~в(х)Ых и ! ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ 1гл Уп зал Для любой функции 1'~ Т.з квадраты ее коэффициентов Фурье образуют сходящийся ряд. Обратно, если числа ао, ал, Ь„(п = = 1, 2, ...) таковы, что ряд ~ а~ + ЬУ сходится, то ряд л ! — + ~~~~ ~Ол соз пх + Ь» 3!и лх л=! тоже сходится (в 1.«), а его сумма представляет собой функцию, имеющую ал, ал, Ь своими коэффициентами Фурье.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
