Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 73

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 73)

Кроме того, мы определили интеграл Стилтьеса по полу- интервалу [а, Ь). Лпалогично можно определить интеграл по (а, Ь), а также интегралы по [а, Ь] и (а, Ь). В случае интеграла Стилтьсса, в отличие от обычного риманова интеграла, значения интеграла по интервалу (а, Ь), отрезку [а, Ь] и полуинтервалам (а, Ь] и [а, Ь), вообще говоря, ие совпадают между собой. Например, если а — точка разрыва функции Ф, то интеграл по [а, Ь] равен интегралу, взятому по (а, Ь] плюс член вида [(а)Ь, где Й = Ф(а+ О) — Ф(а). Приведенные свойства 1 и 2 выполнены для любой функции [, для которой входящие в их формулировки выраженйя имеют смысл.

Если предположить, что [(х) н е и р е р ы в н а па отрезке [а, Ь], то соответствующий интеграл обладает еще следующими существеннымп свойствами (при этом интеграл можно понимать как интеграл по отрезку [а, Ь] или по любому из полуинтервалов (а, Ь] и [а, Ь)), 3.

Если Ф, и Фэ — две функции с ограниченным изменениеи на [а, Ь), совпадающие всюду, кроме конечного или счетного числа внутренних точек этого промежутка, то ь ь ~ [(х)дФ,(х) = ~ [(х)аФ (х) а й для любой непрерывной на [а, Ь] функции [. Для доказательства рассмотрим сперва случай, когда Фь =— О, т. е, установим справедливость следующего утверждения. 3'.

Если ф — функция с ограниченным изменением, отличная от нуля лишь в конечном или счетном числе точек, лежащих внутри (а, Ь), то ь ~ [ (х) дф (х) = 0 а для любой непрерывной на [а, Ь] функции [. Действительно, это очевидно для функции, отличной от нуля в одной точке хь (если брать сколь угодно мелкие разбиения промежутка [а, Ь), ие включая хь в число точек деления, то будут получаться интегральные суммы, равные нулю), следовательно, по аддитивности это верно и для любой функции, отличной от нуля в конечном числе точек.

Пусть теперь ф отлична от нуля в точках г„гм ..., г„„... и уп ум ..., у„,... — ее зна- 366 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА чсиия в этих точках. Поскольку ф имеет ограниченное изменение, то ~~' 1у„~ < со. Выберем номер Ь1 так, что ~ 1у„1; е, и л л»н представим ф и виде суммы $ =ч'ьт+Ф где фн принимает значения уь ..., ун в точках гь ..., гн и равна 0 во всех остальных, а ф отлична от 0 только в точках гн+ь гн+ъ .. В силу свойства 2 ' ь ь ь ~1(х) йф(х) = ~1(х)йфн (х)+ ~1(х) йф (х), Первый из этих интегралов по уже доказанному равен нулю, а второй, по свойству 1, допускает оценку ~ ~(х)гьф(х) < Гпах11(х) ! 2е а ь ~ ~ (х) йФ (х) = ~~ ~ (х;) йь если Ф вЂ” функция скачков, и ь ь ~ ) (х) с1Ф (х) = ~ 1(х) Ф' (х) с(х, (10) (поскольку, очевидно, )г,Я)=2 ~ ~у„~<2е).

В силу произл) М вольности е отсюда вытекает наше утверждение. Теперь для доказательства свойства 3 рассмотрим разность ф = Ф~ — Фь Она отлична от нуля лишь в конечном или счетном числе точек, принадлежащих (а, Ь). Остается применить 2 и 3'. В частности, поскольку функция с ограниченным изменением имеет не более чем счетное число точек разрыва, получаем следующее свойство. 4, Если функция 1 непрерывна, то интеграл Римана— ь Стилтьеса ~ ) (х) йФ (х) не зависит от значений, принимаемелх а функцией Ф в ее точках разрыва, лежащих внутри (а, Ь).

Поскольку интеграл Римана — Стилтьеса от непрерывной функции совпадает с соответствуюшим интегралом Лебега— Стилтьеса, для интеграла Римана — Стилтьеса от непрерывной функции 1(х) справедливы равенства пеопгвдвлвнныл интегплл леввгл [гл тч ~ [(х) с(Фп (х) а возможен предельный переход? Здесь имев~ место следующая теорема. Теорема 2 (первая теорема Хелли). Пусть функции Ф„с ограниченным из,иенением на отрезке [а, Ь) сходятся в каждой точке этого отрезка к некоторой функции Ф, причем полные изменения функций Ф„ограничены в совокупности: )та [Фл[~ (С (и = 1, 2, ...). Тогда предельная функция Ф тоже имеет ограниченное изменение и для любой непрергявной функции [ справедливо ра- венство ! пп ~ [ (х) аФ„(х) = ~ ! (х) НФ(х).

а а (1 1) Д о к а за тел ь ство. Покажем прежде всего, что полное изменение предельной функции Ф не превосходит той же констань ты С, которой ограничены все 1',[Фп). Действительно, при любом разбиении отрезка [а, Ь) точками а=хе ( х1 (... ~ х„,=Ь имеем ! Ф(хь) — Ф(х„,) ,'= !пп ~ [ Ф„(хь) — Ф„(х„,) [(С, ь=~ л-+ ь=! следовательно, Покажем теперь, что соотношение (11) выполнено в том случае„ если 1 — ступенчатая функция. Пусть 1 принимает значения Ьь если Ф вЂ” абсолютно непрерывная функция. Если при этом Ф' интегрируема по Риману, то интеграл в (!0) справа можно понимагь в римановом смысле.

5. Предельный переход под знаком интеграла Стилтьеса. В гл. 'Ч мы доказали ряд теорем о предельном переходе под знаком интеграла Лебега. При этом вопрос ставился следующим образом: даны последовательность функций [1 ) и интегралы от ннх по некоторой фиксированной мере; нас интересует возможность предельного перехода под знаком интеграла. Однако применительно к интегралу Стилтьеса интересна и другая постановка вопроса: дана последовательность функций с ограниченным изменением (Ф ). При каких условиях для фиксированной функции [ под знаком интеграла ь 367 иытегРАЛ СтилтьесА на полуинтервалах [хх ь хь). Тогда 1 [ (х) 6/Ф„(х) = ~~~ /66 [Ф. (х6) — Ф.

(х6-~)1 а 6 ~ [(х)г(Ф(х) =~~~ ЬА [Ф(хь) — Ф(хь,)]. Ясно, что первое из этих выражений при л-ь ос переходит во второе. Пусть теперь / — непрерывная функция и е — произвольное положительное число, Выберем ступенчатую функцию [, так,что ] / (х) — [О (х) ] < е/(ЗС) Тогда 6 6 6 6 5[()" ()-1/()"Ф.(") - 1'"" (х)-1[(")'Ф() + О О О О 6 6 6 + ~ [, (х) г(Ф (х) — ~ [, (х) с(Ф„ (х) + ( ~", (х) 6/Ф„(х', -- ~ [ (х) 6И)„ (х) . О а О О В силу теоремы о среднем дл- интеграла Стилтьеса, первое и третье слагаемые здесь меньше, чем е/3, а второе — меньше е/3 при всех достаточно больших л.

Поскольку е, » 0 произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы. 3 а м е ч а н и е. Эта теорема переносится и на тот случай, когда в интегралах 6 1их)" .() а один или оба предела бесконечны. При этом, однако, функция Г должна на бесконечности стремиться к некоторому конечному пределу (это позволяет равномерно аппроксимировать ее на всем бесконечном промежутке ступенчатыми функциями, принимающими лишь конечное число значений).

Если первая теорема Хелли устанавливает условия, при которых в интеграле Римана — Стилтьеса можно переходить к пределу по некоторой последовательности (Ф„) функций с ограниченным изменением, то вторая выясняет, когда можно гарантировать само существование последовательности, удовлетворяющей условиям первой. Збв НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА (гл. ю Теорема 3 (вторая теор ем а Хелл и). Из всякого бесконечного множества М функций Ф, заданных на некотором отрезке [а, ()] и удовлетворяющих условиям щах]Ф(х) ]< С, г',[Ф] < К, (12) (С и К вЂ” постоянные, одни и те же для всех Ф е= М), можно выбрать последовательность, сходящуюся в каждой точке отрезка [а, Ь]. Доказательство.

Достаточно доказать эту теорему для монотонных функций. Действительно, пусть Ф=о — д, где о(х) — полное изменение функции Ф на отрезке [а,х]. Тогда функции о, отвечающие всем Ф~ М, удовлетворяют неравенствам щах] о (х) ]( К, 1', [о] = )г, [Ф] ~ К, т. е. удовлетворяют условиям теоремы, и монотонны. Считая, что для монотонных функций теорема доказана, выберем последовательность [Ф„) из М так, чтобы для нее о„сходились к некоторому пределу о. Далее, функции а„= о„— Ф„ тоже монотонны и удовлетворяют условиям теоремы. Поэтому из (Ф„) можно выбрать подпоследовательность [Ф„А] так, что а„ь сходятся к некоторому пределу й. Но тогда Ф„„ (х) -+ Ф (х) = о (х) — а (х).

Итак, приведем доказательство теоремы для семейства М монотонных функций. Пусть гь гь ..., г„, ... — все рациональные точки отрезка [а, й]. В силу (12) числа Ф(г)) (где Ф пробегаег все М) образуют ограниченное множество, поэтому найдется последовательность (Ф, ) сходящаяся в точке г). Далее, из нее ())) можно выбрать подпоследовател ьность [Ф„ 1, сходящуюся в (тп точке гт (и, конечно, в г)). Из (Ф„у выберем подпоследователь- )2)) ность, сходящуюся в точке гм и т.

д. Диагональная последовательность [Ф„) будет, очевидно, сходиться во всех рациональ(л)) иых точках отрезка [а, ()]. Ее предел есть неубывающая функция Ф, определенная пока лишь в точках г), гн ..., г„, ... Доопрсделим ее в остальных точках отрезка [а, 6], положив для иррациональных х Ф(х) = 11ГП Ф(г) (г рациональны).

Характеристики

Список файлов книги