Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 68
Текст из файла (страница 68)
Поставим в соответствие каждой из этих точек х„два числа д„и Ь» так, чго Х([8.[+~8.[) <-. » Предположим, кроме того, что если х» = а, то д = О, а если х =Ь,той„=О. Положим ф(х)= 2. а.+ 2. Ьп (8) Мы будем называть теперь функ!(илми скачков любые функции вида (8). Полное изменение функции ф(х) равно, очевидно, Х() а.)+ ~ й. [). Точками разрыва функции (8) служат те х, для которых хотя бы одно из чисел д», Ь» отлично от нуля; при этом ф(х„) — ф(х„— 0) =ел„, ф(х„+ 0) — ф(х„') = Ь„, Теперь легко получается следующее утверждение, обобщающее утверждение 4 п.
1 предыдущего параграфа. Всякая функция 1 с ограниченным изменением, определенная на [а, Ь), может быть представлена и притом единственным образом в виде 1=%+ зр где ср непрерывна, а ф — функция скачков. Уира ж не н н ч. 1. Если 1 имеет на (а,б] ограниченную производную (т. е. 1'(х) сушестзует всюду н 11'(х) ) ( С), то 1 — функция с ограниченным изменениелл, причем Р',1(! <С(б — и). 1 2, Пусть 1(х) = х з1п — при х ~ 0 и 1(О) О. Показать, что изменение х функции 1 на [О, 11 бесконечно. Постоянные, и только они, представляют собой функции, полное изменение которых равно О. Положим [([[1= Р'а И. Величина )г, [Д обладает свойствами 2) и 3) нормы (см. з стр.
139), но не свойством 1), Если рассмотреть только функции, удовлетворяющие дополнительному условию 1(а) = О, то 5 3! пРОиЗВОднАя неОпРеделеннОГО интеГРАлА леБеГА ззт они также образуют линейное пространство, в котором величина ]Га Щ обладает уже всеми свойствами нормы, Пространство ь ]'о(а, Ь] функций с ограниченным изменением на [а, Ь], удовлетворяюгцих условию 1(а) = О, с обычными определениями сложения и умножения на числа и с нормой 11111=[Г.]Л, называется пространством функций с ограниченным изменение.н. (Докажите полноту этого пространства.) У и р а ж и е н н е, Докажнте, ято 11 ! ! =1 [(а) 1+ Уь [Д является нормой н ..ространстае всех функннй с огранняенным нзмененнен на отрезке [а, Ь] н докажите полноту зтото пространства.
й 3. Производная неопределенного интеграла Лебега В э ! мы показали, что интеграл Лебега ~~(!)й! а как функция от х имеет почти всюду конечную производную. Однако мы пока егце не выясняли, как связана эта производная с подынтегральиой функцией. Сейчас мы установим следуьогцнй результат, упомянутый в конце 5 1. Т е о р е м а !.
Длл всякой суммируемой функции [ понгсс всюду пмеет место равенство Доказательство. Положим Ф (х) = 1 1 (!) й!. я Покажем вначале, что почти всюду [(х) ) Ф'(х). Если 1(х) < Ф'(х), то найдутся такие рациональные числа а и [1, что ! (х) < а < б < Ф' (х). Пусть Е а — множество тех точек, в которых выполнено неравенство (!). Оио измеримо, поскольку ! и Ф' измеримы. Покажем, что мера каждого из множеств Е„а равна нулю. Так как НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~гл.
щ число этих множеств счетно, то отсюда будет следовать, что р (х . '~ (х) < Ф' (х)) = О. Пусть е ) О произвольно и пусть б ) О таково, что ! (~ил~<., е как только р(е) < б (такое б существует для любого е в силу абсолютной непрерывности интеграла; см. гл. Ч, 5 5, теорема 5). Выберем теперь открытое множество 6 с: [а, Ь) так, что 6:зЕ„Е н р(6) < р(Е„Е)+ б (см. упражнение на стр. 29! ), Если х еи Е„в, то в(.) — в( ) >„ Ь вЂ” х (2) для всех $ х, достаточно близких к х. Записав неравенство (2) в виде Ф (~) — бз > Ф (х) — рх, получаем, что точка х — невидимая справа для функции Ф(х)— — рх на любом из составляющих интервалов множества 6.
Используя лемму Ф. Рисса, мы можем поэтому указать такое открытое множество 3 = () (а„, ЬА), состоящее из непересекающихся интервалов, что Е„а с: Я с 6 и Ф(ЬА) — рЬА ~)Ф(а„) — рзм т. е. Ф(ЬА) — Ф(аь).- р(܄— аь), нли ~ ~О)а~~(ь,— а„). Суммируя такие неравенства по всем интервалам (аА, ЬА), составляющим 5, получаем ~1Я)й~й,(Я В то >ке время ~1(~)й(= ~ 1(()й+ ~ ~(()И<ар(Е„)+в< 3 ЕРВ з ~еаа ~(ар(Я)+е+~а~б.
(4) $н ВОССТАНОВЛЕНИЕ ЕУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ ззч Сравнивая (3) и (4), получаем ар (5) + в + 1 а 16 ~) )ЗИ (5), т. е. е+1а1в р — а Таким образом, множество Е„в можно заключить в открытое множество сколь угодно малой меры (мы можем считать, например, что 1а1О( е), а это и означает, что р(Е„Е) = О, Итак, мы показали, что 1(х) в Ф'(х) почти всюду. Заменив 1(х) на — 1(х), мы таким же путем получим, что почти всюду — 1(х)) — Ф'(х), т.
е. 1(х) <Ф'(х) и, следовательно, почти всюду 1(х)=-Ф'(х)= д ~1(1)Ж, а й 4. Восстановление функции по ее производной. Абсолютно непрерывные функции Итак, мы решили первый из поставленных в начале этой главы вопросов, установив равенство к — ~ 4'(1)с(1=4(х) (почти всюду) а для любой суммируемой на [а, б) функции г'. Рассмотрим теперь второй из сформулированных там вопросов, т. е.
выясним, как обобщается на случай интеграла Лебега формула Ньютона— Лейбница Е(х) = Е(а)+ ~ Е (1)Ж, а хорошо известная в случае непрерывно дифференцируемых функций из элементарного анализа. Естественно ограничиться рассмотрением функций Е, заведомо дифференцируемых почти всюду (иначе равенство (1) просто не имеет смысла). Как мы уже знаем, такими, в частности, являются функции с ограниченным изменением. С другой стороны, интеграл, стоящий в (1) справа, есть функция с ограниченным изменением, Поэтому равенство (1) не НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА шл чг зьо может быть верно для более широкого класса функций.
Поскольку всякая функция с ограниченным изменением есть разность двух монотонно неубывающих, то именно монотонные функции и нужно рассмотреть в первую очередь. Однако для произвольных монотонных функций равенство (1), вообще говоря, не имеет места. Вместе с тем справедлива следующая теорема. Т ео р е м а 1. Производная (' монотонно неубывающей функе(ии [ суммируема и ь $ [' (х) аех ~ ( (Ь) — [ (а). а Доказательство, По определению, производная функции [ в точке х есть предел отношения ') [(х + Л) — [ (х) Ф»(х)= Ь при й-РО.
Из монотонности [ вытекает ее суммируемость, а значит, и суммируемость каждой из функций Ф». Поэтому равенство (2) можно проинтегрировать. Получаем ь ь ь Ф» (х) е[х = †„ 1 ( (х + й) е[х — †„ 1 [ (х) г[х = а ь+» а+» Стоящее справа выражение при Ь-и+0 стремится к [(Ь)— — ((а+0). (Докажите!) Поэтому, применив теорему Фату (гл. т[, $5, теорема 8), мы получаем ь ь ~ (' (х) г[х - ! Нп ~ фь (х) е[х = ( (Ь) — ( (а + 0) ~( ( (Ь) — ( (а) а а (само существование интеграла от г' также обеспечивается теоремой Фату).
Теорема доказана. Нетрудно привести пример монотонной функции, для ноторой имеет место строгое неравенство ь ~ [' (х) Ых < ((Ь) — [(а). а ') Чтобы выражение [(х+») имело смысл при любом хем[а,Ь[, можно считать, что [(х) = [(Ь) при х ) Ь и [(с) = [(а) при х ~ а ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ ЗА! Достаточно положить 0 при 0(х '1/2. ! при 1/2 (х '1.
Интересно, однако, что существуют н е п р е р ы в н ы е монотонные функции, для которых строгое неравенство к 1/ (!) (! </( )-/(.) а выполнено при всех х ) а. Вот один из простейших примеров. Рассмотрим на отрезке (О, 1] канторово множество и определим / сначала на его смежных интервалах, положив /(!) = л 2л — 1 Ел й=1,2,3,...,2"' на й-м смежном интервале и-го ранга (включая и его концы). (Интервалы нумеруются слева направо).
Следовательно, рррр — ра р ррзлрлзрз, р / (!) = 1/4 при 1/9 (~ ! ~( 2/9, /(!) = 3/4 при 7/9 ~(! В.,'8/9 н т. д. (рис. 21). Таким образом, / определена на озрезке (О, 1) всюду, кроме точек второго рода канторова множества (т, е. точек, не принадлежащих ни смежным интервалам, ни совокупности их концов). Доопределим теперь / в этих оставшихся точ. ках следующим образом. Пусть !' — одна из таких точек и пусть (1„) — сходящаяся к ней возрастающая последовательность точек первого рода (т. е. концов смежных интервалов). Тогда существует предел 1пп /(1„); (3) л'+ рр аналогично, существует и предел 1ип / (!'„), (4) если (!'„) — убывающая последовательность точек первого рода, сходящаяся к !', причем пределы (3) и (4) равны между собой.
Приняв это общее значение за /(!'), мы получим монотонную функцию, определенную и непрерывную на всем отрезке (О, !), называемую «канторовой лестницей». Ее производная равна, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~гл чь очевидно, нулю в каждой точке любого смежного интервала, т. е. почти всюду, Следовательно, для этой функции имеем О = ~ 1'(г) Ж < 1(х) — 1(О) =1(х) ь при любом х из полуннтервала О ( х 1. Отметим попутно, что в случае монотонной 1(х) равенство ь к $ 1 (г) И =1(Ь) — 1(а) влечет равенство ~ 1 (г) й= ) (х) — 1(а) при любом х из полуинтервала а ( х ( Ь. Чтобы описать класс функций, для которых имеет место равенство введем следующее определение О и р е де л е н и е 1.
функция (, заданная на некотором отрезке (а, Ь), называется абсолютно непрерывной на нем, если для любого е ) О найдется такое б ) О, что, какова бы ни была конечная система попарно непересекающихся интервалов (аы Ьь) Ь=1, 2, ..., и с суммой длин, меньшей б, х~' (Ьь — аь) < б, выполнено неравенство л 2" ~)(ЬА) — ~(аь) ! < е. Ясно, что всякая абсолютно непрерывная функция равномерно непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
