Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 65
Текст из файла (страница 65)
При этом, снова по теореме 4, В ())),) = $ 1(, у) др„. (18) л» Сопоставляя (11), (12) и (13), получаем !1(, О)Ф=!(!1(. ГИНЕ)~ ., л х ~л„ что и требовалось доказать. Общий случай сводится к разобранному при помощи ра- венств )(х, у) = ) (х, у) — ( (х, у), + 1 1 (х, у) 1 + 1 (х, е) — ) ! ( (х, у) ! — ( (х, 11) 2 2 %6 ПРЯМЫЕ ПРОИЭВЕДЕНИЯ СИСТЕМ МНОЖЕСТВ И МЕР 319 Приведем примеры функций, для которых существуют повторные интегралы (14), но равенство (10) не имеет места. 1. Пусть А = (-1, 1)', ! (х, у) — прн х'+ у' > 0 и ! (О, 0) 0; (х' + у')' тогда ~ !(х, у) !(х 0 при всех у и 1 ((х, у) лу 0 -! при всех х Поэтому )( )!ь,г!~,)ь- (~ (!<,, ! г) *-о, — ! -! †! ~ ! ! (Х, У) ) г!Х Г(У ~ ~ ог ! 1 ! а!и 0 соаф( йр 2 — оо, !!Г Г Г -1 -! о о о 2 Пусть А (О, 1)', 1 1 1 1 пРи — а««х «( — „— „С,"У к— 2 2а-1" 2 1 ! 1 ' 1 при — ~х < —; — ы;у < —, 2ае! 2" 2" 2" ((х, у) = в остальных случаяк.
Можно подсчитать, что ! ! (((!(*.а *) -а в о ! Г! (Ц1!*,ач) а о по интеграл в смысле двойного интеграла Лебега по квадрату ие существует, так как ! ! 1 ал ! гллвл тч НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА. ТЕОРИЯ ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЯ В этой главе мы будем рассматривать интеграл Лебега в основном для функций на прямой, считая, что мера, по которой этот интеграл берется, есть обычная линейная мера Лебега. Если ) — суммнруемая функция, определенная на измеримом пространстве Х с мерой р, то интеграл ~1(х) др (*) А существует для каждого измеримого А ~ Х и при фиксированной г представляет собой функцию множества, определенную для всех измеримых подмножеств А с: Х.
Такой интеграл называется неолределенныч интегралом Лебега. Пространством Х может, в частности, служить отрезок числовой прямой. Если прн этом А — тоже некоторый отрезок, то интеграл ( ) будет функцией пары точек — концов отрезка А: Будем считать, что в этом случае мерой р является обычная мера Лебега и писать И вместо др. Зафиксировав один из концов промежутка интегрирования, скажем, левый, мы можем изучать свойства интел грала ))(1)пг, взятого по отрезку [а,х), как функции одного я переменного х. Эта задача приведет нас к рассмотрению некоторых важных классов, функций на прямой. Общей задаче изучения интеграла Лебега от фиксированной функции г как функ- в,нн множества посвящен В 5.
Из элементарного курса анализа известны следующие основные равенства, дающие связь между операциями дифференцирования и интегрирования: если à — непрерывная функция, а г— функция, имеющая непрерывную производную, то к —,„~ 1(~)д~=1(~), а ~ г' (() и( = г (Ь) — г (а). я % н 321 монотонные оннкции Спрашивается: верно ли равенство 1) для функций, суммируемых в смысле Лебега? Каков класс функций (возможно, более широкий), для которого выполняется равенство 2)? Этим вопросам посвящены следующие параграфы данной главы.
й 1. Монотонные функции. Дифференцируемость интеграла но верхнему пределу монотонных функций. Изучение 1. Основные свойства свойств интеграла Лебега Ф (х) = ~ 1 (() ~й а как функции верхнего предела мы начнем со следующего очевидного, но важного замечания: если функция 1 неотрнцательна, то Ф(х) — монотонно неубывающая функция. Далее, всякая суммируемая функция есть разность двух неотрицательных суммируем ых: 1(1) =1,(1) — 1 (1) (2) Поэтому интеграл (1) разлагается в разность двух монотонно неубывающих функций. Следовательно, изучение интеграла Лебега как функции верхнего предела можно свести к изучению монотонных функций того же типа. Монотонные функции (независимо от их происхождения) обладают рядом простых и важных свойств, которые сейчас будут изложены. Напомним некоторые понятия. Всюду, где не оговорено противное, будут рассматриваться функции, заданные на некотором отрезке.
Функция 1 называется монотонно неубывающей, если из .к, ( хя следует 1(х~) мм1(хз)' аналогично определяются монотонно невозрастающие функции. Пусть 1 — произвольная функция на прямой. Предел ') 1нп 1 (ха + Ь) и-чае (если он существует) называется пределом справа функции 1 в точке ха и обозначается 1(ха+ О). Аналогично определяется 1(х, — О) — предел слева функции 1 в точке ха. Равенство 1(ха+ О) = 1(ха — О) означает, очевидно, что в точке ха функция ') Символ Ь вЂ” «О+ означает, что а стремится к нулю, принимая только положительные значения. НЕОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА !Гл. щ [ или непрерывна, или имеет устранимый разрыв. Точка, в которой оба эти предела существуют, но не равны между собой, называется точкой разрыва первого рода, а разность [(хо+О)— — [(хо — О) называется скачком функции [ в этой точке. Если )(хо) = [(хо — О), то [ называется непрерывной слева в точке хо, а если [(хо) = [(хо+ О), то [ непрерывна справа в этой точке.
Установим основные свойства монотонных функций. Для определенности мы будем говорить о монотонно неубывающих функциях, хотя ясно, что все сказанное ниже автоматически переносится на функции, монотонно невозрастающие. 1. Всякая монотонно неубывающая на [а, Ь! функция [ измерима и ограничена, а следовательно, сумлшруема. Действительно, по определению монотонности, [(а)е-((х)~([(Ь) на [а, Ь!. Далее, для любого постоянного с множество А, = (х: [(х) < с) есть либо отрезок, либо полуинтервал (либо пусто). В самом деле, пусть точки, в которых 1(х) ( с, существуют, и пусть й есть точная верхняя грань таких х.
Тогда А, есть или отрезок [а, й! илн полуинтервал [а, й). 2. Монотонная функция может иметь разрывьч только первого рода. Действительно, пусть хо — произвольная точка на [а, Ь! и х -Р хо, пРичем х„ ( хо. Тогда последовательность ([(х„)) огРаничена снизу и сверху [например, величинами 1(а) и 1(Ь)!. Следовательно, она имеет хотя бы одну предельную точку. Но наличие у любой такой последовательности нескольких предельных точек противоречило бы, очевидно, монотонности функции [. Таким образом,[(хо — О) существует. Аналогично устанавливается существование [(хо+О) Монотонная функция не обязана быть непрерывной. Однако верно следующее утверждение. 3. Множество точек разрьчва монотонной функции не более чем счетно.
Действительно, сумма любого конечного числа скачков монотонной функции [ на отрезке [а, Ь! не превосходит [(Ь) — [(а). Следовательно, для каждого и число скачков, величина которых больше, чем 1/и, конечно. Суммируя по всем и = 1, 2, ..., получаем, что обгцее число скачков конечно или счетно. Среди монотонных функций простейшими являются так называемые функции скачков. Они строятся следующим образом. Пусть на отрезке [а, Ь! задано конечное или счетное число точек хн хы ..., х„, ... МОНОТОННЫЕ ФУНКЦИИ йп и пусть каждой из них поставлено в соответствие положительное число Ь„, причем ~, Ьл < оо.
Определим функцию ) на [а, Ь), л положив ) (х) = 2 Ьл. (3) хл<х Ясно, что эта функция монотонно неубывающая. Кроме того, она непрерывна слева') в каждой точке, а совокупность ее точек разрыва совпадает с множеством (х„)'), причем скачок в точке х„равен 6„. Действительно, [(х — О)= !!гп)(х — е)= Яш Х Ьл, е.ьоь е-ьо+ х <х — е но так как каждое х„, удовлетворяющее условию хл» х, удо- влетворяет и условию хе» х — е при достаточно малом е, то последний предел равен ~ Ь„=[(х), Таким образом, [(х — О)=. <х = )(х), Если точка х с о в и а д а е т с одной из точек х, скажем,. х = хл„то [(х„,+О) = !пп )(х„, +е)=!пп ~ Ьл= ~ Ьл, е-+о+ е-+от кл<х„,+е кл<хю т. е.
[ (х, + О) — [ (хл, — О) = Ь, . Наконец, если х не совпадает ни с одной нз точек х, то в ней функция скачков непрерывна (проведите доказательство!). Простейший тип функций скачков — ступенчатые функции, у которых точки разрыва можно расположить в монотонную по- следовательность х,<х,« ... х„< ... В общем случае функция скачков может иметь и более сложную структуру, например, если (хп) — множество всех рациональных точек на отрезке [а, Ь], а й„= 1)2", то формула (3) определяет функцию скачков, разрывную в рациональных точках и непрерывную в иррациональных.
Другой тип монотонных функций, в некотором смысле противоположный функциям скачков, — непрерывные монотонные функции. Имеет место следующее утверждение. ') Если бы мы определили ) формулой )(к) ~ Ьл ел<к то получили бы функцию, непрерывную с ар а в а. т) Если ни одна иа точек х не совпадает с Ь, поскольку х„ = Ь ие участвует в сумме (3), Чтобы учесть скачок в точке Ь, надо вместо [а, Ь! рассматривать полуннтервал [а, Ь + е), е ) О. 324 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА )гл. л 4. Всякую монотонную функцию, непрерывную слева, можно представить как сумму непрерывной монотонной функции и функции скачков (непрерывной слева) и притом единственным образом. Действительно, пусть ) — неубывающая непрерывная слева функция и хь х,... — все ее точки разрыва, а Ьь Ьх, ...— ее скачки в этих точках.
Положим Н(х) = ~„Ь„. Разность р = ) — Н есть неубывающая н е п р е р ы в н а я функция. Для доказательства рассмотрим разность ф (х") — ф (х') = () (х") — ) (х')) — (Н (х") — Н (х')), где х'( х". Здесь справа стоит разность между полным приращением функции ) на отрезке [х', х"] и суммой ее скачков на этом отрезке. Ясно, что эта величина неотрицательна, т. е. ф— неубывающая функция. Далее, для произвольной точки х* имеем ф (х* — 0) = ) (х' — 0) — Н (х' — 0) = ((х' — 0) — ~ Ь„, х„<х' ф (х'+ О) = ~ (х'+ 0) — Н (х'+ 0) = ~ (х*+ 0) — й, Ь„, х„<к' откуда ф (х'+ 0) — ф (х" — 0) = ~ (х'+ 0) — ) (х' — 0) — Ь' = 0 (где Ь* — скачок функции Н в точке х'). Отсюда и из непрерывности ) и Н слева вытекает, что ф действительно непрерывна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
