Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 69
Текст из файла (страница 69)
Обратное, вообще говоря„неверно, например: описанная выше «канторова лестница» непрерывна (а значит, и равномерно непрерывна) на отрезке (0,1), однако она не абсолютно непрерывна. Действительно, канторово множество можно покрыть конечной системой интервалов (аы Ьь), Ь = 1, 2, ..., п, сумма длин которых сколь угодно мала. Зместе с тем для каждой такой системы интервалов выполнено, очевидно, равенство л ~„1) (Ьл) — 1(аь) ~=!.
Ва ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОЙ З4З Укажем основные свойства абсолютно непрерывных функций. !. Заметим прежде всего, что в определении ! можно вместо любой конечной системы интервалов с суммой длин (6 рассматривать любую к о н е ч н у ю и л и с ч е т и у ю систему интервалов, сумма длин которых (6. Действительно, пусть для данного В ) О мы выбрали 6 ) О так, что ! [ (ЬА) — [ (а,) ! ( В А=.4 для любой конечной системы интервалов (аа, Ь,), удовлетворяющей условию и Л (ЬА — аа) ( 6, А=1 н пусть (ам ра) — счетная система интервалов с суммой длин, не превосходяшей 6.
Тогда при любом и имеем и ! ! (ра) — 7 (аа) ! ( а; Ааа переходя здесь к пределу при и -~.по, получаем ! ! (ра) — ! (аа) ! ( В. 2, Всякая абсолютно непрерывная функция имеет ограниченное изменение. Действительно, абсолютная непрерывность функции 7 иа отрезке [а, Ь) означает, в частности, что для каждого В ) О можно 6 ) О выбрать так, что полное изменение функции ! на отрезке длины ( 6 будет не больше, чем В. Поскольку отрезок [а, Ь[ можно разбить на конечное число отрезков длины (6, то и полное изменение функции ! на [а, Ь! конечно. 3. Сумма абсолютно непрерь4вных функций и произведение такой функции на число суть абсол4отно непрерывные функции.
Это сразу вытекает из определения абсолютной непрерывности и свойств модуля суммы и произведения. Свойства 2 и 3 означают, что абсолютно непрерь4вные функции в пространстве всех') функций с ограниченным изменением образуют линейное многообразие. 4. Всякая абсолютно непрерывная функция может быть представлена как разность двух абсолютно непрерывных неубывающих функций. '! Ом.
упражнение иа стр. З37. неопоеделенныя интеггсл левягА ~гл. ю — неубывающие функции. Покажем, что каждая из этих двух фчнкцнй абсолютно непрерывна. Достаточно проверить это для о. Пусть и ) О задано. Выберем 6 ) О для этого е так, как это диктуется абсолютной непрерывностью функции ~. Возьмем систему п интервалов (ам Ьк) с суммарной длиной меньше, чем 6, и рассмотрим сумму ~, (о(Ьх) — о(аь)). А=! (5) Эта сумма представляет собой точную верхнюю грань чисел л '"х Х Х]1(х.,~) — 1(х.~-)] по всевозможным конечным разбиениям а, =х,, <х,, <х,, ( ... < х,, =Ьь а,=хае < хм~ <х,, < ...
( х, „,=Ь,, а„= х„е < х„, < х„, т « ... х„= Ь„ интервалов (аь Ь,), ..., (а„, Ь„). Так как сумма длин всех интервалов (хм~ охи ~), по которым берется сумма (6), не превосходит 6) О, то каждая нз сумм (6) не больше, чем е. Следовательно, и сумма (5),— их точная верхняя грань, — не больше, чем е. Следующие две теоремы устанавливают тесную связь между понятием абсолютной непрерывности и неопределенным интегралом Лебега.
Т е о р е м а 2. Функция л Р(х) = 1 1(~)ж, е представляющая собой неопределенный интеграл суммируемой функции, абсолютно непрерывна. Действительно, абсолютно непрерывная функция, как всякая функция с ограниченным изменением, может быть представлена в виде 1= — а, где о(х) = 1/",]~] и д(х) =о(х) — ~(х) ВОССТАНОВЛЕНИЕ ФУНКЦИИ ПО ЕЕ ПРОИЗВОДНОП 345 Д о к а з а т е л ь с т в о. Если ((аА, ЬА)) — какая-либо системз непересекающихся интервалов, то к ЬА ь„ ~~~ [Е(ЬА) — Е(ал) [=~~ ~ [(С)й( (~Ч~ ~ [[(8) [Ж= А 1 аз [((е) [й; О (кз, ВА) в силу абсолютной непрерывности интеграла Лебега последнее выражение стремится к нулю, когда суммарная длина интервалов (ам ЬА) стремится к нулю.
Т е о р е м а 3 (Л е б е г). Производная ~ = Р' абсолютно непрерывной функции, заданной на отрезке [а, Ь), суммируема на этом отрезке и для каждого х (а ~ х ( Ь) к ~ [ (() йт' = Е (х) — Е (а). л Теоремы 2 и 3 показывают, что абсолютно непрерывные функции, и только они, восстанавливаются с точностью до постоянного слагаемого по своей производной с помощью операции интегрирования.
Для доказательства теоремы 3 нам понадобится следующая лемма. Лемм а. Если производная абсолютно непрерывной монотонно неубывающей функции [ равна О почти всюду, то эта функция — постоянная. Доказательство л е м м ы. Пусть [ задана на [а, Ь[. Так как [ — непрерывная монотонная функция, то ее область значений есть отрезок [[(а), [(Ь)). Покажем, что длина этого отрезка равна нулю, если ['(х) = О почти всюду.
Тем самым лемма бу. дет доказана. Разобьем множество точек отрезка [а, Ь) на два класса: множество Е тех точек, в которых ['(х)= О, и 2 — его дополнение. По условию леммы р(2) = О. Выберем некоторое е ) О, найдем то б ) О, которое отвечает этому е в силу абсолютной непрерывности функции [, и заключим 2 в открытое множество, мера которого меньше б (это возможно, поскольку р(2) = О).
Иначе говоря, 2 покрывается конечной или счетной системой интервалов (ал, ЬА), сумма длин которых меньше б. В соответствии с выбором 6 получаем ~ [ [ (ЬА) — )(ал)[ < В. Следовательно, вся система интервалов (аю ЬА) (а тем более, и заключенное в их сумме множество Л) переводится функцией ~ НЕОПРЕЛЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~гл ч~ э множество, мера которого меньше е. Таким образом, р([(Л) ) = О. Рассмотрим теперь множество Е = [а, Ь)', 2.
Пусть хая Е. Тогда, поскольку 1"'(ха) = О, для всех х, достаточно близких к ха, выполнено неравенство ! (х) — 1(ха] <е, к — ка т. е. (мы считаем для определенности, что х ) х,') [(х) — [(хе) < а(х — х ) или ахэ — ) (хэ) < е е — ) (х); таким образом, ха есть точка, невидимая справа для функции п(х) = ех — [(х). Следовательно, по лемме Ф. Рисса, множество Е содержится в конечной или счетной системе непересекающихся интервалов (ГАА, рА), в концах которых выполняются условия ЕРА — ) (РА) ~) Ваь — [ (аА), т. е. 1(рА) — 1(аА) (~ е(рА — аА), ~' ([(ЦА) — [(аА)) ~ (е~„(йА — аА) ~ а(Ь вЂ” а).
откуда к Ф(х)= Е(х) — 1 7(!)Ж а (7) представляет собой функцию, тоже монотонно неубывающую. Действительно, если х" ) х', то по теореме 1 а Ф (ха) — Ф (х') = Е (х") — Е (х') — ~ 7 (г) Ж ) О. Кроме того, Ф абсолютно непрерывна (как разность двух абсолютно непрерывных функций) и Ф'(х) = О почти всюду (соглас- Иначе говоря, множество Е переводится функцией [ в множество, покрывающееся системой интервалов, сумма длин которых меньше е(Ь вЂ” а), Ввиду произвольности е отсюда следует, что „([(Е)) = О. Итак, и [(Е) и г(2) имеют меру нуль. Ио в сумме эти даа множества составляют отрезок [[(а), [(Ь)), Тем самым доказано, что длина этого отрезка есть нуль, т.
е. что г(х) = сопэ1. Теперь уже легко доказывается и сама теорема 3. Достаточно ограничиться случаем, когда функция Е(х) не убывает. В этом случае ВОССГХНОВЛЕНИВ фшзКЦИИ ПО ЕЕ ПГОИЗВОДНОП 34т $4! но теореме 1 З 3). Поэтому в силу леммы гй есть константа. Положив в (7) х = а, получаем, что эта константа равна р(а). Теорема доказана. Мы видели выше, что всякую функцию ) с ограниченным изменением можно представить как сумму функции скачков Н и непрерывноя функции % с ограниченным изменением (стр. 336), 1= Н+%.
Рассмотрим теперь непрерывную, но не абсолютно непрерыв- ную функцию с ограниченным изменением % и положим ф(х) = ~%'(т) си. а Разность представляет собой непрерывную функцию с ограниченным изменением. При этом ,х У„(х)=% (х) И% (г)6 =0 « почти всюду. Назовем непрерывную функцию с ограниченным изменением сингулярной, если ее производная равна нулю почти всюду. Мы можем теперь сформулировать следующий результат: всякая функция с ограниченным изменением мозкет быть представлена в виде суммы трех компонент ~=- Н+ %+~ (8) — функции скачков, абсолютно непрерывной функции и сингулярной функции. Нетрудно показать, что каждое из слагаемых в разложении (8) определяется самой функцией 4 однозначно с точностью до константы.
Если функции, входящие в равенство (8), нормировать, потребовав обращения двух из них в нуль в точке х = а, то разложение (8) будет уже в точности единственным. Продифференцировав равенство (8), мы получим, что почти всюду ~'(х) =%'(х) (поскольку Н' и т' равны нулю почти всюду), Следовательно,, прп интегрировании производной от функции с ограниченным изменением восстанавливается не сама эта функция, а только ее абсолютно непрерывная компонента. Две другие компоненты (функция скачков и сингулярная) при этом «бесследно исче-. зают». неопгедглгнныи интегглл левегх 348 [гл лч Поучительно сравнить результаты этого параграфа с тем, что дает теория обобщенных функций.
Как и в гл. 1Ч, будем понимать под обобщенной функцией линейный непрерывный функционал над пространством К финитных бесконечно диффереицируемых функций. При этом обычной локально суммируемой функции 1 сопоставляется функционал, действующий на элементы ~р~К по формуле (4', ф)= ~ 1(х)гр(х)йх, Обобщенной производной от этого функционала служит функционал, ставящий в соответствие элементу гр ~ К число (Г, гр) = — ~ 1(х)~р'(х)с1х. Так как в классе обобщенных функций уравнение у' = 0 имеет только обычные решения (константы), то всякая обобщенная функция с точностью до константы восстанавливается по своей производной. В частности, всякая локально суммируемая функция 1 с точностью до константы почти всюду восстанавливается по своей о б о б щ е и н о й п р о и з в о дн о й 1'. Предположим теперь, что функция 1 почти всюду имеет производную, например, 1 — монотонная функция.
Обозначим через ~~ = й))йх обычную производную функции 1. (Мы уже видели, что а1/йх может равняться 0 почти всюду, хотя 1(х) я.: че- :сопз1!) Функция 4/йх является,локально суммируемой (мы предполагаем, что 1 монотонна) и, следовательно, мы можем сопоставить этой функции функционал (обобщенную функцию) Ю ((ь гР) = ~ — ~Р(х)йх.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
