Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 66
Текст из файла (страница 66)
2. Дифференцируемость монотонной функции. Перейдем теперь к вопросу о существовании производной у монотонной функции. Те о р ем а 1 (Л е б е г), Монотонная функция ), определенная на отрезке (а, 6), имеет почти всюду на этом отрезке конечную производную. Прежде всего введем некоторые понятия, которые будут нужны для доказательства этой теоремы. Как известно, производной функции ) в точке хр называется предел отношения ) (х) — ) (хр) (4) х — хр при х -ь хр. Этот предел может, конечно, и не существовать, однако всегда имеют смысл следующие четыре величины (которые могут принимать и бесконечные значения): Л,Р— верхний предел отношения (4) при х, стремяшемся к х, справа (т.
е. так, что х — хр ) 0), Эта величина называется верхним правым производным числом. 325 монотонныи орнкции Х р (нижнее правое производное число) — нижний предел отношения (4) при х-ьхо справа. Л, (верхнее левое производное число) — верхний предел отношения (4) при х-ьхо слева. Х.„, (нижнее левое производное число) — нижний предел отношения (4) при х-ьхо слева. На рис. (9 показаны прямые с угловыми коэффициентами Лпр, Хпр, Ллев, Хлев соответственно. Ясно, что всегда Хлев ~ ~Лаев. Х„р(~Л„р и УT Если Л,р и Хпр конечны н равны между собой, то это общее их значение есть правая производная функ- Рис.
19. ции ((х) в точке х,. Аналогично, если Ллев = Хлев, то их общее значение есть ле- у(х) вая производная. Существование у ) в точке х, конечной производной равносильно тому, что в этой точке все Л производные числа функции конечны и равны между собой. Поэтому утверждение Рис. 29. теоремы Лебега можно сформулировать следующим образом: для монотонной на (а, Ь] функции соотношения восполнены почти всюду на )а, Ь]. У п р а ж н е н и е.
Пусть Р (х) = — ) (х) . Как связаны производные числа для Р с производными числами )р Ответьте на такой же вопрос при переходе от )(х) к )( — х). Доказательство теоремы Лебега опирается на приводимую ниже лемму, которой мы будем пользоваться и в дальней(пем. Введем следующее определение. Пусть д(х) — непрерывная функция, заданная на отрезке а «х ( Ь. Точку хо этого отрезка мы назовем точкой, невидимой справа для функции у, если существует такая точка 9 (хо( $ = Ь), что у(хо)( д($) (рис.20).
Л е и м а (Ф, Р и с с) . Для любой непрерьавной функции д множество точек, невидимых справа, открыто на отрезке [а, Ь] и, НЕОПРЕДЕЛЕННЫЯ ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА 326 ~ГЛ. УГ следовательно, представляется в виде суммы конечного или счетного числа попарно непгресгкаю~цихся интервалов (аю Ь») (и, возможно, полуинтервала, содержащего точку а) В концевых точках згих интервалов выполнены неравенства д(а„) ~ д(Ь»). Доказательство л ем м ы. Если хь — точка, невидимая справа для д, то тем же свойством будет обладать, в силу непрерывности д, и любая точка, достаточно близкая к х,, Следовательно, множество таких точек открыто на (а, Ь).
Пусть (ам Ь») — один из составляющих его интервалов. Предположим, что д(а») > д(Ь,); (6) тогда в интервале (ам Ь») найдется внутренняя точка хы в которой д(х,) - д(Ь»). Пусть х* — самая правая из всех точек х на (а», Ь»), в которых д(х) = д(хь). Поскольку х* ея(а», Ь»), существует такая точка $ ) х', что дД) ) д(х'). Точка е не может лежать на интервале (аю Ь»), так как х' — самая правая точка на этом интервале, в которой а(х) = д(хь), тогда как д(Ь»)( ь(хр). С другой стороны, неравенство 5 ) Ь» также невозможно, так как мы имели бы к (Ь») ~ к (хь) ( ь(я), а Ь» не является точкой, невидимой справа. Полученное противоречие показывает, что неравенство (6) не имеет места, т.
е, й(а») ( д(Ь»), и лемма доказана. Читатель без труда проверит, что фактически д(а») = д(Ь»), если только а»чьа, 3 а м е ч а н и е. Назовем точку хь невидимой слева для непрерывной функции д(х), если существует такое е -' хь что дД) ) )д(хь). Такие же рассуждения показывают, что множество невидимых слева точек есть сумма конечного или счетного числа попарно неперекрывающихся интервалов (аГН Ь») (и, возможно, полуинтервала, включающего точку Ь), причем д (а») ~ )д (Ь„). Перейдем теперь к доказательству самой теоремы Лебега. Докажем ее сначала в предположении, что ) — непрерывная монотонно неубывающая функция.
Для доказательства теоремы достаточно установить„ что почти всюду 1) Л»р ( ьо, 2) ).„».-»Л„р. Действительно, если мы положим (*(х) = — (( — х), то (' будет тоже монотонно неубывающей непрерывной функцией, определенной на отрезке ( — Ь, — а). Если Л"„, и А:„— верхнее правое и нижнее левое производные числа для )*, то, как легко проверить (см. упражнение на стр. 325), производные числа функ- э и монотонные эгнкции Соединив полученные неравенства в одну цепочку и используя определение производных чисел, будем иметь Л яр » <Хлев » <Леев < 7>пр <» Л яр а это и означает, что йлев = 7>пр = Леев = Лпр. Покажем вначале, что Лпр < оо почти всюдУ. Если Л,п = ОО в некоторой точке х,, то для любого постоянного С ) О справа от точки хв найдется такая точка в, что ') )С Ь вЂ” к, т. е. 7 (В) — Г' (хе) > С ( — хл), ~Ю вЂ” С~ > ~(х ) — Сх. или Иначе говоря, точка хл оказывается точной, невидимой справа для Функции н(х) = — г (х) — Сх.
В силу леммы Ф. Рисса множество таких точек открыто, и на концах составляющих его интервалов (ал, Ь,) выполнены неравенства )' (а,) — Сае < ~(Ьк) — СЬМ "г. е. Г' (Ь,) — ~ (а е):: С (ЬЛ вЂ” ае). Деля на С и суммируя полученные неравенства по всем интервалам (ам Ьл), получим Х ) Х )(ьл) — 7(пл) 7(ь) — 7(п) Здесь С можно было взять как угодно большим. Таким образом, множество тех точек, в которых Л,р — оо, можно покрыть интервалами, сумма длин которых сколь угодно мала. Следовательно, мера этого множества равна О.
Тот же прием, связанный с леммой Ф. Рисса, позволяет доказать, что почти всюду Ллев =» Лпге но теперь этот прием придется применить дважды. Рассмотрим пару рациональных чисел с н С, для которых О < с < С < ао и положим р = с/С. Обозначим через Е, с совокупность тех х, для которых Лпр ) С, ций г и 7* в соответствующих точках связаны равенствами Лев = Леев> Алев = Лпр. ПОЭТОМУ, ПРИМЕНИВ Нсраасиетао 2) К ~е(Х), получим лп р ~~ Ллев. (7) 328 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~ГЛ. Ч! а т,л». < с. Если мы докажем, что рЕ., с = О, то отсюда будет следовать, что почти всюду Х „) Л,р, так как множество тех точек, где тл»» ( Льр, очевидно, представимо в виде суммы ие более чем счетного числа множеств вида Е,,с.
Установим теперь основное неравенство. Для любого интервала (о, 8) ~ [а, Ь] имеем р(Е.,сП(а, р))~(р(р — «). Действительно, прежде рассмотрим множество тех х ен(и, р), для которых Ал», ( с. Для всякой такой точки х найдется такое 5 ( х, что ' ( с, т. е, )($) — са ) )(х) — сх. Поэтому х Пй) - [(х) невидима слева для функции 7(х) — сх и по лемме Ф. Рисса (см. замечание на стр. 326) множество таких х представимо в виде суммы не более чем счетного числа непересекающихся интервалов (а»,(3») ~(и, [3), причем )(сс») — ссс» «~ )(р») — ср», т. е. ) (р») — ) (а») ~ (с (р» — а»). (8) На каждом из интервалов (я», р») рассмотрим множество 6» тех х, для которых Л,Р ) С. Снова применяя лемму Ф.
Рисса (теперь, как и при доказательстве неравенства Л„р < оо, для точек, невидимых справа), мы получим, что 6» представимо в виде суммы нс более чем счетного числа непересекающихся интервалов (а»ь 8»») и 1н — аГН< с [)(р»т) — 1(аы)1 (9) Ясно, что множество Е., с[) (а, р) покрывается системой интервалов (я»н 8»т), причем в силу (8) и (9) имеем ~ (Й т — ~ц) < с ~~', [) (Ри) [(аы)! < », / ». / < ~ ~, [[(р») — [(а»)) < ф ~„(р» — с») <р (р — а), и основное неравенство доказано. Теперь легко доказать, что рЕч с = О.
При этом достаточно использовать только то свойство множества Е,с, которое описывается основным неравенством. Л ем м а. Пусть измеримое множество А на отрезке [а, Ь) таково, что для любого интервала (а, р) ~[а, Ь) выполняется неравенство и(А () (я, р) ) - р([т — сс), где О ( р ( 1. Тогда [АА = О. Док азат ел ьство. Пусть рА=Г. Для любого а) О су» ществует такое открытое множество 6, равное сумме счетного числа непересекающихся интервалов (а, Ь ), что А с= 6 н $ и монотонные Функции 329 ~ (Ь,„— а ) <1+ а (см. упражнение на стр.
291). Положим м 1 = р [А П (а, Ь )]. Ясно, что 1= ~ 1 . По условию леммы, 1„, <<р(܄— а ). Следовательно, 1<~р 2 (Ь,„— а ) < р(1+ а), и так как а > 0 произвольно, то 1(~ р1. Но 0 < р < ! и поэтому 1 =- О. Лемма доказана, и тем самым завершено доказательство теоремы 1 в предположении непрерывности функции ). Те же рассуждения переносятся и на случай разрывной монотонной функции, если воспользоваться обобщением леммы Ф.
Рисса на функции с разрывами первого рода. Пусть д — функция на отрезке (а, Ь], имеющая разрывы только первого рода. Назовем точку хо ~]а, Ь] невидимой справа для д(х), если существует такое $ ) х„что гпах(д(хо — 0), д(хо), д(хо+ 0)] < д(ч). Тогда, как и в случае непрерывной у, множество точек, невидимых справа для д, открыто, и в концах составляющих его интервалов (аы Ьо) выполняются неравенства д(а,) < д(Ь«). Хотя доказательство теоремы ! довольно длинно, сама она имеет простой наглядный смысл. Поясним, например, почему Л„о (и Лчо,) обязано быть конечным почти всюду.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
