Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 67
Текст из файла (страница 67)
Отношение Л)/Лх — это «коэффициент растяжения» отрезка (а, Ь) в данной точке х при Отображении 1. Так как при этом отображении конечный отрезок ]а, Ь] превращается в конечный отрезок ]1(а), ~(Ь)), то «растяжение» не может быть бесконечным на множестве положительной меры. Иногда бывает полезна следующая теорема о почленном дифференцировании ряда из монотонных функций, называемая иногда «малой теоремой Фубини». Т е о р е м а 2, Всюду сходящийся ряд р„(х) = т'(х), (10) где тп„— монотонно неубывающие функции на [а, Ь], почти всюду допускает почленное дифференцирование: ~~' т„(х) = т"'(х).
до к аз а тельство. Заменив р„(х) иа р (х) — т (а), можно считать, что все т„(х) неотрицательны и обращаются в нуль при х=а. ззо НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА !гл тг В силу теоремы 1 существует множество полной меры Е ~[а, Ь), на котором существуют все Р„'(х) и Р'(х). Пусть хяЕ, а 5 я[а, Ь) произвольно.
Имеем Е (Р» ( ) Р» (хН Р(Е) — Р (х) Š— х Š†Так как $ — х и Р„($) — Р„(х) имеют одинаковый знак (монотонность!), то прч любом й! ~ (Р» (Б) Р» (")) Р (Ь) — Р (х) $ — х Переходя к пределу при Е -~-х, получаем Х Р:««Р (). Поскольку все Р',(х) )О, отсюда следует, что Р„'(х) ч- Р'(х).
(!Э Итак, ряд из производных Р'„(х) сходится всюду на Е. Покажем, что при почти всех х в (11) имеет место знак равенства Для каждого Ь найдется такая частичная сумма 5»А(х) ряда. 1О, что откуда следует, что ряд ~ [ Р (х) — 5„А (х)1, !12Р состоящий из неубывающих функпий, сходится (даже равномерно) на всем отрезке [а, Ь[. Тогда, по уже доказанному, ряд (Р'(х) — 5'„„(х) (, (13) Ааа полученный из (12) почленным дифференцированием, сходится почти всюду. Следовательно, общий член ряда (13) почти всюду ( ) 0(Р(Ь) — 5„А(Ь) < 1/2~.
Так как функция Р(х) — 5»А(х)= 2'„Р (х) — неубывающая, !» >»А то и при любом х 0(~Р(х) — 5» (х) < 1/2А, 4Ц ЗЗ! монотонные Функции Х Р„'(х) = Р'(х) почти всюду. Теорема доказана. С л е д с т в и е. Функция скачков имеет почти всюду производную, равную нулю. Действительно, такая функция есть сумма сходящегося ряда неубывающих аступеней»; О при х<х„, Рл(х) = йл при х) хл каждая из которых имеет почти всюду равную нулю производную. 3. Производная интеграла по верхнему пределу. Поскольку интеграл л ~ (р (г) гй а От любой суммируемой функции можно представить в виде разности двух монотонных функций, из теоремы 1 сразу вытекает следующий результат.
Т е о р е м а 3. Для каждой суммируемой функции ~р произ- водная (14) существует при почти всех х. Необходимо подчеркнуть, что, хотя мы и установили существование производной (!4) почти всюду, вопрос о равенстве пока не обсуждался. В действительности (см. $3) это равенство оказывается верным почти всюду для любой суммируемой функ- ции ср. стремится к нулю, т. если бы в неравенстве вательность частичных Следовательно, е. 5„' (х) — г'(х) — »О почти всюду.
Но (1!) стоял знак (, то никакая последосумм не могла бы сходиться к г"'(х). л — „„~ <р (г') гй а неопРеделенныи интеГРАл левеГА 332 |ГЛ. Ч| 3 2. Функции с ограниченным изменением Вопрос о дифференцируемости интеграла Лебега по верхнему пределу привел иас к рассмотрению класса функций, представимых в виде разностей монотонных функций. В этом параграфе мы дадим для этих функций другое описание, не опирающееся на понятие монотонности, и рассмотрим основные их свойства.
Начнем с необходимых определений. Определение 1. Функция 1, заданная иа отрезке [а, Ь!, называется функцией с ограниченным изменением, если существует такая постоянная С, что, каково бы ни было разбиение отрезка [а, Ь] точками а=хе< х, < ...
<х„=Ь, выполнено неравенство л, 1 1 (хь) — 1 (хь, ) 1( С. Всякая монотонная функция имеет ограниченное изменение, так как для иее сумма, стоящая в (!) слева, не зависит от выбора разбиения и всегда равна [1(Ь) — 1(а)[. О и р е д е л е и и е 2. Пусть 1 — функция с ограниченным изменением. Точная верхняя грань сумм (1) по всевозможным конечным разбиениям отрезка [а, Ь] называется полным изменением (или полной вариацией) функции 1 на отрезке [а, Ь] и обозначается Уь Щ. Таким образом, ь Уь[1]=ецр ~ 11(хь) — 1(хь,)[. 3 а меча н и е. Функция 1, заданная на всей прямой, называется функцией с ограниченным изменением, если величины Уь[1] ограничены в совокупности.
При этом У, [1] ь-ь называется полным изменением функции 1 на прямой — оо ( ( х ( со и обозначается У- [1]. Установим основные свойства полного изменения функции. 1, Если а — постоянное число, то У,[а1]=) а ~У,[1] Это сразу следует из определения У,Щ. ь ззз ФРИКЦИИ С ОГРАНИЧЕННЫМ ИЗМЕНЕНИЕМ 2. Если [ и д — функции с ограниченным изменениелц то [+ д тоже имеет ограниченное изменение и 1" У+у]<]г И+)г.[У] (2) Действительно, для каждого разбиения отрезка [а, Ь].имеем 2„ ] [ (хл) + д (хл) — 1(хл ,) — У (хь ,) ~ ( ( ~ 1 [ (х,) — [ (х, ,) / + ~ ', ) д (хл) — а (хА ,) [, откуда, поскольку всегда ыр(А+ В) ~елыр А+ ыр В, получаем требуемое неравенство.
Свойства 1 и 2 означают, что линейная комбинация функций с ограниченным изменением (определенных на данном отрезке [а,Ь]) есть снова функция с ограниченным изменением. Иными словами, функции с ограниченным изменением образуют линейное пространство (в отличие от множества монотонных функций, которые линейного пространства не образуют). 3. Если а(Ь(с, то )г," И+ )гь И )г', [Л Действительно, рассмотрим сначала такое разбиение отрезка [а, с), в котором Ь служит одной из точек деления, скажем, х, = = Ь. Тогда ~~~, ! [(х„) — [(хь,) != ~ ~ ~(хл) — 1(хь,) |+ л + 2 1[(х ) — [(х„,) [()l,и+Уь[Л. (4) А ле! Возьмем теперь произвольное разбиение отрезна [а, с] Ясно, что если к его точкам деления добавить енге одну, именно точку Ь, то сумма ~ ] [(хл) — [(хь,) ] от такого добавления не уменьшится. Следовательно, неравенство (4) выполнено для любого разбиения отрезка [а, с], поэтому р:[л~)'".[л+р'[[] (4') НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 334 [ГЛ.
Ч! С другой стороны, для всякого а > О найдутся такие разбиения отрезков [а, Ь) и [Ь, с), что )! (х!) — [(х,'. !)) > р~ [!) —— ! ~ [ (х!') — 1 (х~',) [ > )т, [1) — — . [[(х ) — [(хк !)[= = 2- ~ У (хс) [И- ) ) + Х ! [(~ ) — [(х!' !) [ > )т! П) + )т; И вЂ” а. В силу произвольности Б > О отсюда следует, что )т; [1) > )т", И + ) с И, Из (4') и (5) следует (3). Так как полное изменение любой функции на любом отрезке неотрицательно, то нз свойства 3 сразу следует свойство 4: 4. Функция о(х) = $',"[[) монотонно неубывающая. 5.
Если [ непрерывна в точке х* слева, то и о непрерывна в этой точке слева. Действительно, пусть а > О задано. Выберем 6 > О так, что ) [(х*) — )(х) ( ( е/2, как только х* — 6 < х < х*. Далее, выберем разбиение \ а = хе < х! « ... х„= х так, что )т", ٠— ~~ 3[(хл) — [(хь !) ! < —.
А=! (б) При этом мы можем считать, что х' — х„, <6 (иначе мы добавили бы еще одну точку разбиения, отчего разность, стоящая в (6) слева, могла бы только уменьшиться), поэтому / [(х*) — [ (х„,) ! < Б/2 Соединив этн два разбиения, мы получим разбиение отрезка [а, с), для которого 335 етнкцин с огялниченным изменением зг! и, следовательно, )' а* [1] — л ] ! (хг) — ! (хг —,) ~ < е.
Но тогда, тем более, $'„[[! — $'," '[[] < а, т. е. о(х*) — о(х„,) <'е Так как о — монотонно неубывающая функция, то отсюда следует, что о(х') — о(х) < е для всех х таких, что х„, < х < х'. А это и означает непрерывность функции о в точке х' слева. Если [ непрерывна в точке х" справа, то, как показывают аналогичные рассуждения, и о непрерывна в этой точке справа. Следовательно, если 1 непрерывна в некоторой точке (или на всем отрезке [а, Ь]), то непрерывна и о.
Пусть 1 — произвольная функция на [а, Ь] с ограниченным изменением и о — ее полное изменение на [а, х]. Рассмотрим разность Эта разность представляет собой монотонно неубывающую функцию. Действительно, пусть х' < х". Тогда ф (х") — ф (х') = [о (х") — о (х')] — [! (х") — [ (х')]. (7) Но всегда ] [(х") — [ (х') ] < о (х") — о(х') = Ь'" [[], поэтому правая, а значит, и левая части равенства (7) неотряцательны. Итак, поскольку [=о — ф, мы получили следующий результат: Теорема 1, Всякая функция с ограниченным изменением может быть представлена как разность двух монотонно неубывающих функций.
Обратное утверждение очевидно: всякая функция, представимая в виде разности двух монотонных, имеет ограниченное изменение. Поэтому совокупность фувкцнй, представимых в виде разности монотонных функций, рассмотренная нами еще в предыдущем параграфе, это и есть совокупность функций с ограниченным изменением. Из теоремы 1 и установленной в предыдущем параграфе теоремы Лебега о существовании производной у монотонной функции сразу следует, что всякая функция с ограниченным изме- пением имеет почти всюду конечную производную. (Гл. ч! НЕОПРЕДЕЛЕННЫН ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА ЗЗб Перейдя от монотонных функций к функциям с ограниченным изменением, полезно следующим образом обобщить введенное выше понятие функции скачков. Пусть хь «м ..., «„, ...— конечное или счетное множество точек на [а, Ь[.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
