Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 70
Текст из файла (страница 70)
СУщественный факт состоит в том, что в1 Ых обобщенная функция )и вообще говоря, не совпадает с обобщенной функцией 1'. Например, если 1 при х)0, 1(х) = 0 при х ~(0, то 11 —— О, а 1" = б (см. пример 1 стр. 205 — 206). Теорема 3, собственно говоря, и означает, что среди всех функций с ограниченным изменением для абсолютно непрерывных функций (и только для них!) производная, понимаемая в обычном смысле, совпадает с обобщенной производной той же функции. Здесь мы снова сталкиваемся с тем положением, о котором уже говорилось в $ 4 гл.
1Ч: для выполнимости основных операций анализа (в данном случае речь идет о восстановлении функпии по ее производной) нужно или, оставаясь в рамках классических определений, ограничиться достаточно узким запасом $ и ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА КАК ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА 349 функций (абсолютно непрерывными), нли же, наоборот, существенно расширить понятие функции (расширив при этом и определение производной). У п р а ж н е н и я. Е Показать, что определение абсолютной непрерывности, сформулированное выше, рави«сильно следующему: 1 абсолютно непрерывна на [а, Ь), если она каждое подмножество меры нуль этого отрезка переводит снова в множество меры нуль.
2 Найти обобщенную производную «канторовой лестницы» 3 Пусть 1 — функции с ограниченным изменением, )' — ее обобщенная производная и й — функционал (обобщенная функция), определяемый «обычной» производной — функции й доказать, что их а) если 1 абсолютно непрерывна, то Р = й, б) если 1' = )ь то 1(х) эквивалентна абсолютно непрерывной функции, т, е. совпадает с такой функцией почта всюду. В частности, если 1' = 11 н 1 непрерывна, то и 1 абсолютно непрерывна, 9 5, Интеграл Лебега как функция множества. Теорема Радона — Никодима 1.
Заряды. Разложение Хана и разложение Жордана. Понятия н факты, изложенные в предыдущих параграфах для функ. ций на прямой, распространяются в значительной степени и ца функции, заданные на произвольном пространстве с мерой. Пусть Х вЂ” некоторое пространство с (конечной) мерой р и 1" — суммируемая по р функция на Х. При этом 1 будет суммируема на каждом измеримом подмножестве А множества Х и, следовательно, интеграл Ф (А) = ~ )' (х) др А (с фиксированной 1) представляет собой функцию множества, определенную и о-аддитивную на о-алгебре ЬР всех измеримых множеств пространства Х.
Таким образом, для любого разложения А= () Аа измеримого множества А в конечную или счетную сумму попар. но непересекающихся измеримых множеств выполнено равенство Ф(А) = Х, Ф(АА), Иначе говоря, функции Ф, определенная равенсгвом (1), обладает всеми свойствами о-аддитивной меры, за исключением, быть может, неотрицательности. (При неотрицательной 1 неотрицательна и Ф.) Определение 1. Произвольная (конечная) о-аддитивная функция множества Ф, определенная на некоторой о-алгебре збО НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА )гл, уг подмножеств данного пространства Х, называется знакопеременной мерой, или, короче, зарядом.
Понятие заряда служит естественным обобщением понятия о-аддитивной меры и, как мы увидим ниже, сводится в определенном смысле к этому понятию. Уп р аж пенне. Доказать, что лля любого (конечного) заряда пз, заданного на о-алгебре нножеств Я. сунгествует такая константа с, что )Ф(А)1 < с прн всех А а С. Если рассматривается реальный электрический заряд, расположенный, скажем, на некоторой поверхности, то эту поверхность можно разделить на две области: несущую положительный заряд (т. е.
такую, что любая ее часть заряжена положительно) и несущую отрицательный заряд. Математическим эквивалентом этого факта служит приводимая ниже теорема 1, Введем предварительно следующую терминологию. Пусть Ф вЂ” заряд, определенный на о-алгебре Я подмножеств пространства Х. Множество Ее— : Я называется огрицательнгнм относительно Ф, если Ф(ЕП Г) < О для любого г" я 6; аналогично Е называется положительным, если Ф(ЕП г) ) О для всех ге=Я. Те о р ем а 1. Если Ф вЂ” заряд, определенный на Х, то существует такое измеримое множество А ~ Х, что А отрицательна и А' = Х ', А положительно (относительно Ф), До к а з а т е л ь с т в о.
Положим а =)п1 Ф(А), где нижняя грань берется по всем отрицательным множествам А. Пусть (А„» — такая последовательность отрицательных множеств, что Вщ Ф(А„)=а. л-+ Тогда А = () А„ представляет собой, как легко видеть, такое отрицательное множество, что Ф(А )= . Покажем, что А и есть искомое множество, т. е. покажем, что А+ = Х 'х А положительно.
Пусть это не так, т. е. пусть А+ содержит такое измеримое подмножество Са, что Ф(Се) ( О. Г!ри этом множество Сс не может быть отрицательным, так как иначе мы присоединили бы его к А и получили бы отрицательное множество А, для которого Ф(А) (а, ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА КАК ФУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА ЗЕ1 э 51 что невозможно. Поэтому существует такое наименьшее целое число 12ь длЯ котоРого в Со найдетсЯ подмножество Сь Удовлетворяющее условию Ф(С,) ) 1дон Разумеется, С| чь Со. Для множества Со", С1 можно повторить рассуждение, проведенное для Со,' мы получим множество С2, удовлетворяющее условию (С2) ) 12 2 (ф2 ) й!) и т.
д. Наконец, положим ро=с,' () сн 1=! Множество Ео не пусто, так как Ф(Со) ( О, а Ф(С;) ) О при 2 ) 1. Из построения следует, что Ео отрицательно. Поэтому. присоединив его к А, мы снова приходим к противоречию с определением а. Следовательно, для всех измеримых Ес Х', А- имеем Ф(Е)' »О, т. е. Х', А положительно. Теорема доказана. Разбиение пространства Х на отрицательную часть А и положительную А' называется разложением Хана.
Разложение Хана, вообще говоря, не единственно, однако если Х=А1 ЦА~+ и Х=А2 ()А2+ — два таких разложения, то для всякого Е ее Ж Ф(ЕПА~ ) =Ф(Е ПА2) и Ф(ЕПА~ )=Ф(ЕПА2). (2) Действительно, еП(А~ ' А2)сеПАГ, откуда следует, что Ф(ЕП(А1 ~ Аз)) ~(О. В то же время еП(л~ ',А2)сеПА+~ (4) откуда Ф(Е П (А~ ",Л2 )))О. Таким образом, Ф(Е П(А~ ~ А2 ))=О. Аналогично получаем Ф(ЕП(А, ~ А, ))=О. Отсюда следует, что Ф(ЕПА~ )=Ф(ЕПА2) 352 НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~гл. ю Точно так же доказывается и второе нз равенств (2).
Таким образом, иа сэ заряд Ф однозначно определяет две неотрицательные функции множества, а именно: Ф (Е) = Ф (Е П Л ), (Е) = — Ф (Е П А ), называемые соответственно верхней вариацией и нижней вариацией заряда Ф. При этом, очевидно, !) Ф=Ф' — Ф, 2) Ф' и Ф представляют собой неотрицательные а-аддитивные функции множества, т. е. меры.
Мерой будет, очевидно, и функция )Ф! = Ф'+ Ф; она называется полной вариацией заряда Ф, а представление Ф в виде разности верхней и нижней вариаций называется разлажениеи Жордана этого заряда Ф. 3 а м е ч а н и е. Мы рассматривали сейчас конечные заряды, т. е. такие функпии Ф, значении которых ог раничены как сверху, так и снизу (см. упражнение на стр. 350).
При этом Ф+ и Ф— конечные меры. Сказанное выше можно обобщить на заряды, ограниченные лишь с одной стороны, т. е. такие, для которых хотя бы одна из величин зпр Ф(А) и (п(Ф(А) конечна. 2. Основные типы зарядов. Пусть р — некоторая а-аддитивная мера, определенная в пространстве Х на некоторой а-алгебре Я. Множества, входящие в Я, мы будем называть измеримыми. Введем следующие понятия. Мы скажем, что заряд Ф, определенный на множествах Ее= Ь, сосредоточен на измеримом множестве Ам если Ф(Е) =0 для каждого ЕсХ' Ло Множество Ао называется при этом носителем заряда Ф. Заряд Ф называется непрерывным, если Ф(Е) = 0 для любого одноточечного множества Е. Заряд Ф называется дискретным, если он сосредоточен на некотором конечном или счетном множестве. Иными словами, дискретность заряда означает существование такого конечного или счетного множества точек сь сп..., с„,...
что для каждого Е с Х Ф (Е) = ~', Ф(сА). СА ~ Е Заряд Ф называется абсолютно непрерывным (относительно данной меры р), если Ф(А) = 0 для всякого измеримого Л, для которого р(А) = О. Заряд Ф называется сингулярным (относительно меры р), если он сосредоточен на некотором множестве нулевой р-меры. Ясно, что если заряд одновременно абсолютно непрерывен и сингулярен относительно р, то он нулевой. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА КАК ЕУНКЦИЯ МНОЖЕСТВА 3. Абсолютио непрерывные заряды. Теорема Радона — Никодима. Примером заряда, абсолютио Непрерывного относительно данной меры 1», может служить интеграл Лебега Ф (А) = ~ ~ (х) 4» от фиксированной суммируемой фуикции ), рассматриваемый как функция множества.
Оказывается, что этим и исчерпываются все абсолютно непрерывные заряды. Иначе говоря, справедлива следующая теорема. Теорем а 2 (Р ада и — Никодим). Пусть 1» — некоторая конечная о.аддитивная мера, определенная на о-алгебре Я подмножеств из Х, а Ф вЂ” заряд, определенный на той же о-алгебре и абсолютно непрерь!внь!й относительно 1». Тогда существует такая суммируемая по р функция ) на Х, что Ф(А)= ~ )'(х)д1» л для каждого измеримого А.
Эта функция, называемая производной заряда Ф по мере р, определяется однозначно, с точностью до р-эквивалентности. (Две функции называются р-эквивалеитными, если оии совпадают почти всюду относительно меры р). Д о к а з а т е л ь с т в о. Каждый заряд можно представить как разность двух неотрицательных (см. п. 1), при этом абсолютно непрерывный заряд представляется как разность абсолютно иепрерывиых.
Поэтому доказательство теоремы достаточно провести для неотрицательных зарядов, т. е. для мер. Итак, пусть Ф вЂ” мера, абсолютно Непрерывная относительно данной меры р. Докажем следующую лемму. Л е м м а. Пусть мера Ф абсолютно непрерывна относительно р и не равна нулю тождественно. Тогда существуют такое и и такое измеримое множество В, что р(В) ) 0 и В положительно 1 по отношению к заряду Ф вЂ” — р.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
