Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 74
Текст из файла (страница 74)
Покажем, что г.+х-О полученная таким образом неубывающая функция Ф во всех точках непрерывности служит пределом последовательности 369 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА [Ф~„~]. Пусть х' — одна из таких точек. Тогда для заданного е ) О можно найти такое б ) О, что ! Ф(х') — Ф(х) ! < е/6, как только ! х" — х ! < 6. (13) Выберем рациональные точки г' и г" так, что г' < х' < г" и г') х* — б, г" < х" + б. Пусть теперь и, настолько велико, что при п ) па выполнены неравенства ! Ф„(г') — Ф (г') ! < е/б и ! Ф„(г") — Ф (г") ! < е/б. (14) Из (13) и (14) следует, что ! Ф„(г') — Ф„(г") ! < — ', . а это и значит, что !Ип Ф„(х')=Ф(х').
л -и Итак, мы построили последовательность функций из М, сходящуюся к предельной функции Ф всюду, кроме, быть может, точек разрыва функции Ф. Так как множество таких точек не более чем счетно, то, применив снова диагональный процесс, можно из последовательности (Ф ) выделить подпоследовательность, сходящуюся и в этих точках, т. е. всюду на [а, 6], 6.
Общий вид линейных непрерывных функционалов в пространстве непрерывных функций. Выше мы уже указывали некоторые применения интеграла Стилтьеса. Сейчас мы рассмотрим еще одну задачу, связанную с этим понятием, а именно, выясним обтций вид линейного функционала в пространстве С[а, о]. Т ео р е м а 4 (Ф.
Р и с с). Всякий линейный непрерывный функционал Р в пространстве С[а, б] представим в виде Р(/) = ~ /(х) дФ(х), а (15) где Ф вЂ” некоторая функция с ограниченным изменением '), При этом !! р[[=)г," [Ф]. ') Здесь имеется в виду интеграл ио отрезку [а, Ь[. Так как функция Ф„неубывающая, то Ф„(г')»(Ф„(х')»<Ф„(г"). Поэтому ! Ф (х") — Ф„(х') ! »( ! Ф (х") — Ф (г') ! + ! Ф (г') — Ф„ (г') ! + ! Ф, (г') — Ф„ (х") ! <» е е 4е » (— + — + — = е, 6 6 6 нсопРелеленный интегРлл левеГА зто /Гл;Гг Д о к а з а т ел ь с т в о. Пространство С [а, Ь] можно рассмат- ривать как подпространство пространства М[а, Ь] всех ограни- ченных функций на этом отрезке, с той же нормой !! 1 !! = ецР ! 7 (х) ], что и в С[а, Ь]. Пусть Ь' — непрерывный линейный функционал па С[а, Ь].
По теореме Хана — Банаха его можно продолжить, с сохранением нормы, с С[а, Ь] на все М[а, Ь]. В частности, та- кой продолженный функционал будет определен на всех функ- циях вида ( 1 при х(т, Ь,(х) = (16) !, О при х>т, если т>а. й,(х) — = О, Положим Ф (т) = Г (Ь,) (17) этого отрезка и положим ае —— эцп(Ф(хь) — Ф(хл !)) (й = 1, 2,..., л). Тогда !Ф(хь) — Ф(хе !)1= ~ ае(Ф(хе) — Ф(хе !))= з=! ь=! л / л — К,е !л., — л... ! — л \ 7., !а., — «...!) Л л ~(]]г" [! ° ~ ~э[Ь вЂ” Ь, ) . л Но функция ~„аь (Аль — й,,) принимает лишь значения ~1 и О, Е-! Следовательчо„ее норма ра !на 1. Таким образом, л Х ! Ф(хл) — Ф(хь- ) !(!1Р!!. Поскольку это верно для любого разбиения отрезка [а, Ь], то 1".[Ф](![Ь !!. Итак, мы построили по функционалу г функцию Ф, имеющую ограниченное изменение, Покажем, что именно с помощью этой функции функционал Р записывается в аиде интеграла Стилтье- са (15).
и покажем, что функция Ф имеет ограниченное изменение на отрезке [а, Ь]. Действительно, возьмем произвольное разбиение а=х, (х! < ... < хл=Ь (18) а 6! зт! ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Пусть ! — произвольная непрерывная функция на (а, Ь). Зададим положительное е и выберем 6 ) 0 так, что )!'(х")— — 1(х') | < е при )х" — х'( <6.
Выберем теперь разбиение (18) так, чтобы длина каждой из частей была меньше 6, и рассмотрим ступенчатую функцию 1е: 1,(х)=1,'ха) пРи х,, <х<хаа й=!, 2, ..., л, 1,(а) =1(и). Ее, очевидно, можно записать в виде л !е(л) — Х ) (ХА) ~ЬТ (.) — Ь» (Х)1, где й,— функция, определенная равенством (!6). Ясно, что )((х) — ! (х) ~ < е при всех х(а < х < Ь), т. е, 1! 1 (х) — 1, (х) 11 < е.
1(айдем значение функционала Ь' на элементе 1,. В силу линей- ности этого функционала и определения функции Ь, оно равно л Г(1,) = х ) (ха) ) Г (Ь„А) — Г (Ь„А,)) = х.. 1(ха) )Ф(ха) — Ф(хе —,)), т. е. представляет собой интегральную сумму для интеграла ь $ 1(х) е(Ф(х), а Поэтому при достаточно мелком разбиении отрезка [а, Ь) в г" (1,) — ~1(х) е(Ф(х) < е. Но в то же время (Ь'Ч) — Р(1.) )<!!А!1 1!Р— 1.)1<11Р~! Следовательно, Ь' У) — ~ ( (х) е(Ф (х) < е (! + (1 г" 1! ), а откуда в силу произвольности е получаем равенство Р (1) = ~ ! (х) г(Ф (х).
а нгопгедвленныи интегвхл лавегх !гл чг Мы показали, что полное изменение функции Ф, определяемой формулой (17), удовлетворяет неравенству У", [Ф] < 11 г" 1]. (19) С другой стороны, из теоремы о среднем для интеграла Римана — Стилтьеса сразу следует, что 1~ Ь' ~] ~ (У'. [Ф].
(20) Сравнивая (19) и (20), получаем равенство П Е ]] = Уа [Ф]. Теорема полностью доказана. 3 а м е ч а н и е. Ясно, что взяв произвольную функцию с ограниченным изменением Ф на отрезке [а, Ь] и положив г (1") = 1 [ (х) г(Ф (х), а мы получим линейный функционал на пространстве С[а, Ь]. При этом две функции, Ф~ и Фь совпадающие на [а, Ь] всюду, за исключением не более чем счетного множества внутренних точек этого отрезка, определяют один и тот же линейный функционал; обратно, пусть Ф~ и Фз определяют один и тот же функционал на С [а, Ь], т. е. ~ [(х) дФ, (х) = ~ [(х) дФ,(х) для каждой непрерывной функции 1. Отсюда легко следует, что Ф, — Ф~ = сопэ1 во всех точках непрерывности функции Ф, — Фм т.
е. всюду, кроме, быть может, конечного или счетного множества точек. Таким образом, каждому непрерывному линейному функционалу на С[а, Ь] отвечает класс функций с ограниченным изменением на [а, Ь], причем Ф, и Ф, принадлежат одному классу в том и только том случае, если их разность отличается от постоянной не более чем в счетном числе внутренних точек отрезка [а, Ь]. В каждом таком классе можно выбрать одну и только одну функцию, равную нулю в точке а и непрерывную справа всюду на полуинтервале (а, Ь]. Функции, удовлетворяющие этим условиям, образуют в пространстве всех функций с ограниченным изменением на [а, Ь] замкнутое линейное подпространство, которое мы обозначим У'[а, Ь]. Заметим, наконец, что для любого функционала Р па С[а, Ь] соответствуюгцая функция Ф(т), определяемая равенством (!7), есть функция именно из Ус[а, Ь].
373 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Так как для таких Ф(т) было установлено равенство [~Р[~= ь = У,[Ф], то теореме 4 можно придать следующий внд. Теорем а 4'. Существует изоморфное (т. е. взаимно однозначное, линейное и изометричное) соответствие между пространствами (С[а, Ь])* и Уь[а, Ь], устанавливаемое равенство.ч ь Р([) = ~1(х)ЙФ(х). а Такое представление линейного функционала с помощью функции из Уь[а, Ь] мы будем называть каноническим, Из этой теоремы легко получить следующую теорему о каноническом представлении линейного функционала на пространстве С'[а, Ь] непрерывных и непрерывно дифференцируемых функций, играющую существенную роль в вариациоппых задача ..
Тео рема 5. Всякий линейный функиионал в пространстве С'[а, Ь] можно представить одним и только одним способом в виде Р([) =а[(а)+ ~ ['(х)г(Ф(х), О (2! ) ф: С[а, Ь]-ьР, что для каждой функции д е= С' [а, Ь) Р (у) = ф (Ад). (22) Каждая функция [~ С'[а, Ь) может быть представлена в виде ) (х) = 1 (а) + д (х), д е= С' [а, Ь). Р () ) = Р (1 (а)) + Р (д). Поэтому ДЗ) где а — число и Ф ~ У'[а, Ь].
До к аз а тел ь ст во. Рассмотрим в С' [а, Ь] подпространство С'[а, Ь] функций, удовлетворяющих условию )(а) =О, н оператор А = д/с(х, переводящий это подпространство во все пространство С[а, Ь]. Пусть Р— линейный функционал на С'[а, Ь]. Рассмотрим его сначала только на подпространстве С'[а, Ь]. Теперь к оператору А: С'[а, Ь]-ь. С[а, Ь] и функционалу Р:С~[а,Ь) — ь -» 1т можно применить лемму о тройке (гл. 1Ч, 3 5, п. 4). В силу этой леммы найдется такое линейное отображение: НЕОПРЕДЕЛЕННЫИ ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА [ГЛ Ч! илн Г" (и) = ~ ~' (х) Г(Ф (х), а (24) поскольку ('(х) = д'(х). Пусть ГА — значение функционала Г" на функции, тождественно равной единице.
Тогда из (23) и (24) окончательно получаем представление (21). В силу теоремы Рисса, равенства (22) и определении оператора А имеем: ,а ( а) = ф (Ад) = ~ д' (х) т(Ф (х), а ГЛАВА НИ прОстрйнствА суммируБмых функции Один из важнейших классов нормированных пространств составляют пространства суммируемых функций, в первую очередь пространство всех суммируемых функций Ег и пространство Е, функций с суммируемым квадратом. Сейчас мы рассмогрим основные свойства этих пространств.
Содержание этой главы опирается, с одной стороны, на обшне свойства метрических и линейных нормированных пространств, изложенные в гл. П вЂ” 1У, а с другой, — на введенное в гл. Ъ' понятие интеграла Лебега. 5 1. Пространство Е, 1. Определение и основные свойства пространства Пусть Х вЂ” некоторое пространство с мерой р; при этом мера самого Х может быть конечной или бесконечной Будем считать меру )ь полной (т. е. любое подмножество любого множества меры нуль измеримо). Рассмотрим совокупность'всех функций 1, суммируемых на Х. Поскольку линейная комбинация суммируемых функций суммируема, эта совокупность, с обычными операциями сложения функций и умножения их на числа, образует линейное пространство. Это пространство мы обозначим Е,(Х, )ь) или, короче, просто Еь Введем в Е~ норму, положив ') !!1!!= ~!1(к) !с))ь.
Ясно, что при этом !! гт1!)=! а ! ° !! 1!! и !!1~ + 1з!!а=!!1~ )!+!! 1з!! Однако для того чтобы выполнялось и последнее г. -во нормы, а именно, !!1!!) О, если 1~0, ') Здесь и дальше символ ~ будет означать пнтегрвроаапие по всему пространству Х. пРострлнстал суммиРунмых Функции )гл чп 376 нужно считать, что функции, эквивалентные друг другу на Х, не различаются, а считаются за один и тот же элемент пространства Е!. В частности, нулевой элемент в Е! — это совокупность всех функций, равных нулю почти всюду.
При этом выражение (1) будет обладать всеми свойствами нормы. Итак, мы приходим к следующему определению. Определение !. Пространством Е! называется нормированное пространство, элементами которого служат классы эквивалентных между собой суммируемых функций; сложение элементов в Е! и умножение пх на числа определяются как обычное сложение и умножение функций '), а норма задается формулой )1 1 (( = ~ ( ( (к) ) с()л. В Еи как и во всяком нормированном пространстве, с помощью формулы р(1, й) =(~( — й)! вводится расстояние. Сходимость последовательности суммируемых функций в смысле этого расстояния называют сходимостью в среднеи. Пространство Е! можно считать состоящим нч комплексных функций (комплексное Е,) или из одних только действительных (действительное Е!).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
