Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Все эти утверждения (непосредственно вытекающие из общих результатов 5 4 гл, 11!) легко переносятся на функции, заданные на отрезке произвольной длины, скажем [ — 1, (). Если 1— функция с суммируемым квадратом на [ — 1, Г), то замена х=п111, т. е. 1= 1х/и, переводит 1(1) в функци1о 1*(х) =1~ — „у~а отрезке У1»1 [ — я, и). В соответствии с этим ал = — ~1(1) соз лп !11, л=О, 1, -! Ьл = — ~ ) (1) з1'и — !11, и = 1, 2, .
1 Г . лл! л 1 Ряд Фурье для функции 1, заданной па отрезке длины 21, имеет вид ал т лп! . пл! 2 + ~ плсоэ — + Ьл 51п л=! 3 а меча пня. Е Тригонометрические ряды были использованы французским математиком Ж. Фурье в его работах по математической физике, в первую очередь по теории распространения тепла. Впрочем, формулы для коэффициентов а„и Ь„ встречаются уже у Эйлера. В дальнейшем теория тригонометрических рядов развивалась в работах Римана, Дирнхле и др. Первоначально термины «ряд Фурье», «коэффициенты Фурье» и т.
д. связывались именно с тригонометрической системой и лишь значительно позднее стали употребляться в общем смысле, описанном в $ 4 гл. Ш (т. е. применительно к п ро из вол ьной ортогональной системе в любом евклидовом пространстве). зн ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСтеМЫ ФУНКЦИЙ В Ы 393 2. Из полноты тригонометрической системы и общих теорем $4 гл. П1 следует, что для любой ! Ен йз ее ряд Фурье ф+ ~~~ а„сов пх+ Ь„з!п пх в=! сходится к данной функции 1 в среднем. Однако с точки зрения конкретных задач анализа важно установить условия, при которых этот ряд сходится к ! в другом смысле, скажем, в каждой точке, нли равномерно. Этот круг вопросов мы рассмотрим в следующей главе. 2.
Тригонометрические системы на отрезке [О, и]. Функции 1, созх, соз2х, ... (2) з!пх, з!п2х, ... (3) образуют в совокупности полную ортогональную систему на отрезке [ — и, и]. Покажем, что каждая из двух систем (2) и (3) ортогональна и полна на отрезке [О,п]. Ортогональпость проверяется прямым подсчетом. Докажем полноту системы (2). Пусть !' — функция с интегрируемым квадратом на [О, и]. Доопределим ее на полуинтервале [ — п, О) формулой 1( — х) = ! (х) и разложим ее в ряд Фурье по системе 1, сов пх, з!плх (п=1, 2, ...).
Поскольку функция 1, определенная теперь на [ — п,п], — четная, все коэффициенты при синусах равны у нее нулю. Это сразу видно из формулы для коэффициентов: для четной функции 1 при п = ! в о ч ~ )'(х) з!и ах г!х= ~ ](х) з!ппх г!х+ ~ ! (х)з!ппхг(х= -Л -и о = — ~ ! (х) я п пх г1х + ~ 1 (х) з(п пх г!х = О, о о Иначе говоря, эту функцию иа [ — п„п] (а тем более н на [О, и]) можно аппроксимировать в среднем квадратичном с любой точностью линейными комбинациями элементов системы (2).
Отсюда следует полнота системы (2). Полнота системы (3) на [О, и] доказывается аналогично, путем нечетного продолжения функции 1, заданной на [О, и], на полуинтервал [ — п,0) по формуле 1(- х) = — [(х). птостг»нствь стммиьтемых етнкнии [гл. чп 324 Полученная при таком продолжении функция на ( — л, л) нечетна и разлагается на этом отрезке по одним синусам. 3. Ряд Фурье в комплексной форме. Тригонометрический ряд можно записать компактно„если воспользоваться формулами Эйлера Е»к + -1»» ее»» е — ю»» соз пх = 2 и ьйп их= 2! Внося эти выражения в ряд Фурье, получим — '+ ~~ а„сових+ Ь„з(п лх = 2 »еи е" + "+ "е-'"= ~ с„е'", »-» а + гь 2 »=! »= — в ао ( ~» ь» 4Ь» 2»г 2 »=! где сь — — аь/2 и при пм=-1 е„— 'ь„ с» 2 а»+ 4Ь» с-» 2 (4) Выражение с ем' » -~» » ( О при лФгл, ~ 2п при л=гл.
Поэтому, умножая равенство » 1(х) = ~ с„е'"" (о) »» на е '"'" (тл=О,:х1, ~2, ...) и интегрируя, получаем ( (х) е ' ' Ых = 2пс, называется тригонометрическим рядом Фурье в комплексной 4орме. Коэффициенты с этого ряда выражаются через а» и Ь„ с помощью равенств (4); однако легко написать для них и прямые формулы. Действительно, как показывает непосредственное вычисление, 395 ортогонлльные системы Функция в ы г. е. с„= — ~ 7(х)е ' "г2х (п2=0, ~1, ~2, ...).
(6) Разложение (5) остается в силе и для комплексных функций с интегрируемым квадратом на отрезке [ — н, и]. Иначе говоря функции егнк образуют базис в пространстве 72[ — и, и] комплексных функций с интегрируемым квадратом модуля на отрезке ( — и, и]. При этом выражения (6) представляют собой скалярные произведения [ на е' * в этом комплексном пространстве.
. ек — к Заменив функции е'"' на е ', можно перенести все сказанное на пространство 72[ — 1, 1] комплексных функций на отрезке произвольной длины 26 4. йчногочлены Лежандра. Линейные комбинации функций 1,х,хз,... (7) — это совокупность всех многочленов. Следовательно, система (7) полна в пространстве 72 функций на произвольном отрезке ').
Ортогоналнзируя систему (7) на отрезке [ — 1, 1] по отношению к скалярному произведению 1 ([, д) = ~ ) (х) д (х)с(х, — ! мы получим полную ортогональную систему ао(х), Я!(х), аз(х), ..., где Я вЂ” многочлен и-й степени. Покажем, что каждый из многочленов (1„(х) совпадает, с точностью до постоянного множителя, с многочленом )7 (Х) — Н (Х2 1)л В самом деле, во-первых, система [)т,] ортогональна. Пусть п ~ гп. Так как ла ла — '„("- 1)" ~,,= — '„(х -1)" ~,,=О х х *) Полнота системы многочленов в пространстве 1.2[а, 6) функций с интегрируемым квадратом на произвольном отрезке [а,й] вытекает из теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации любой непрерывной функции на отрезке многочленами.
См. п. 2 5 2 гл. Ъ'Ш, ПРОСТРАНСТВА СУММИРУНМЫХ ФУНКПИН !Гл. Уп при всех й = О, 1, ..., п — 1, то, интегрируя по частям, полу- чаем Ич-1 (хя — !)"' ~ (хя — ц" = гк+ )т1 (х) )!„(х) с(х = — ') г!х + — 1 -1 1 ... =( — 1)" ~~ -1 ,~т+ л +„(хк — 1) ~ (ха — 1)" 12х. (8» ~ Ят (х) с!х = ( — 1)" ~ ~ †„ (х' — 1)"~ (х' — 1)" с(х = — 1 -1 1 1 22еи+1 =(2п)! ~ (1 — ха)" 1!х= (~') 2л+ ! -1 Иначе говоря, норма миогочлена !с равна а!2 тг —. Та'т! 2л+ ! ким образом, система многочленов ! /2л+ ! не только ортогональна, но и нормирована.
Обычно рассматриваются не эти нормированные многочлены, а многочлены, определяемые формулой ! лч ~ (х)= — — ( -1)л. ') Последний интеграл можно вычислить элементарно, применяя рекур. рентные формулы, или же путем сведения его к м-функции. Если гн ( гг, то под знаком последнего интеграла стоит тождественный нуль, откуда следует ортогональность системы Я). Во-вторых, ясно, что многочлен )с„имеет степень п, т. е. каждый 1с лежит в подпространстве, порожденном гг+! первыми элементами системы (7). Таким образом, как система (1! ), так и система Яч) обладают следующими свойствами: 1) ортогональность, 2) н-й элемент системы принадлежит подпространству, порожденному элементами 1, х, ..., х" '.
Но этими двумя свойствами каждый элемент системы определяется однозначно с точностью до числового множителя (теорема 1 $ 4 гл. !Н). Найдем теперь нормирующие множители для )с (х). В случае л = гп равенство (8) дает 9 з] огтогонхльныв системы етнкции в ы 397 Их называют многочленами Лежандра, а саму эту формулу— формулой Родриго. Из проведенных выкладок следует, что ~ ..). 0 при п~пз, -! 2п -г ! — при и = пз.
Р„(х) Р (х) йх = 2 Приведем явные выражения пяти первых многочленов Ле- жандра: Рз (х) =- 1 Р, (х)=х, Р,(х) = — хз — —, 2 2' 5 3 Рз (х) = — хз — х 2 2 35 з (5 3 Р (х) = — х' — — хз-[- —. 8 4 8 Разложение функции 1 на отрезке [ — 1, 1[ по многочленам Лежандра имеет вид 1(х) =~ с„Р„(х), где с„= — ~ ~(х) Р„(х) йх. 2 — ! б. Ортогональные системы в произведениях.
Кратные ряды Фурье. Пусть на множествах Х' и Х" определены меры 1з' и зз", Соответствующие пространства функций с интегрируемым квадратом будем обозначать Ез и Ез'. В произведении Х=Х'Х Х" рассмотрим меру 1з=1з З 1з и обозначим через Ез отвечающее ей пространство функций с интегрируемым квадратом. Функции из Ез будем записывать как функции двух переменных. Т е о р е м а 1.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
