Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 75
Текст из файла (страница 75)
Содержание данного параграфа относится к обоим этим случаям. Весьма важен для многих вопросов анализа следующий факт. Т е о р е м а 1. Пространство Е! полно. Доказательство. Пусть ()я) — фундаментальная последовательность в Е!, т. е. )1(„— ( ))-РО при и, пг — ьоо. Тогда можно найти такую возрастающую последовательность индексов (пг,), что — ))= ~ !(щ(х) — („(х)~др ( 1/2э. Из этого неравенства и теоремы Б.
Леви вытекает, что ряд ((„,~+((„,— („,)+ .. сходится почти всюду на Х. Но тогда и ряд („,+((„,— („,)+ ') Точнее: каждый элемент в Ь! — это класс эквивалентных между собой суммнруемых функций; чтобы сложить два таких класса, надо взять в ннх по представнтелнз н обьявнть суммой класс, содержащий сумму выбранных представителей.
Ясно, что результат не зависит от произвола в выборе представнтелей. Аналогично — н для умножения элемента нз 7., на число. ПРОСТРАНСТВО Ы зтт сходится почти всюду на Х к некоторой функции )'(х) = !!гп )„(х). ль Таким образом, фундаментальная последовательность в Ь1 содержит подпоследовательность, сходящуюся почти всюду.
Покажем теперь, что подпоследовательность () ) сходится к той же функции ! и в среднем. В силу фундаменталыюсти последовательности (!' ), при любом фиксированном В ) 0 для всех достаточно больших и и ! имеем ~ ~ !„(х) — !„(х) ~ др < е. Согласно теореме Фату в этом неравенстве можно перейти к пределу под знаком интеграла при (-ь.
Со. Получаем ~ ! ~„„(х) — Г (х) )д!А(е, откуда следует, что ! Ви ь1 и что !„А — ь !. Ио из того, что фунда- ментальная последовательность содержит подпоследователь- ность, сходящуюся к некоторому пределу, следует, что и сама она сходится к тому же пределу. Теорема доказана. 2. Всюду плотные множества в Еь Для всякой функции ~, суммируемой на Х„и любого г ) 0 существует такая простая суммируемая функция ~р(х), что ~ ! ! (х) — ~р (х) ! д!А ( г.
Далее, поскольку для простой суммируемой функции, прини- мающей значения уь ум ... на множествах Еь Ем ..., интеграл определяется как сумма ряда .Е у„р(Е„) '(при условии его абсолютной сходимости), ясно, что всякую простую суммируемую функцию можно представить как предел ,'(в среднем) последовательности простых функций, принимаю- щих лишь конечное число значений. Итак, в пространстве С1 всюду плотны функции, каждая из которых принимает лишь ко- нечное число значений (т. е. представляет собой конечную ли- нейную комбинацию индикаторов). Пусть Й вЂ” метрическое пространство с введенной в нем ме- рой, удовлетворяющей такому условию (выполненному для меры Лебега в евклидовом пространстве и во многих других практи- чески интересных случаях): вся открытые и всг замкнутые мно- жества в Е измеримы, и для любого измеримого множества )гл чн ПРОСТРАНСТВА СУММНРУЕМЫХ ФУННЦИИ Зуа М~Л и любого е О найдется ') такое открытое 6~М, что р (6 ~, М) ( е.
(2) Тогда верна следующая теорема: Те о р ем а 2. Множество всех непрерывных функций всюду плотно в С!()о )А). Дон а з а тельство. В силу сказанного выше достаточно доказать, что всякая простая функция, принимающая конечное число значений, является пределом, в смысле сходимости в среднем, последовательности непрерывных функций.
Далее, так как всякая суммируемая простая функция, принимающая конечное число значений, есть линейная комбинация индикаторов )!м (х) измеримых множеств конечной меры, то достаточно провести доказательство для этих последних. Пусть М вЂ” измеримое МНОжЕСтВО В МЕтрИЧЕСКОМ ПрОСтраНСтВЕ й И )А(М) ( со.
ТОГда из условия (2) сразу следует, что для любого и > О найдутся замкнутое множество гм и открытое множество 6м такие, что г'мс: М~бм и Р(6м) )А(РМ) < е. Определим теперь функцию ере(х), положив ') р(х, Н'~ом) ~Ре( ) р(х )Р о Эта функция равна О прн х еп)с ', 6м и равна ! при хоп гм: Она непрерывна, так как каждая из функций р(х, гм) н р(х,)т '; 6м) непрерывна и их сумма нигде не обращается в О. Функция )~м — гр,) не превосходит ! на 6м ' си и равна О вне этого множества.
Следовательно, 1! хм(х) — р. (х)(др < в, откуда и вытекает утверждение теоремы. Ясно, что пространство Е,(Х, р) зависит и от выбора пространства Х, и от выбора меры р в нем. Например, если мера )А сосредоточена в конечном числе точек, то Ь~(Х.)А) будет просто конечномерным пространством. В анализе основную роль играют пространства Е~ бесконечной размерности, но содержащие счетное всюду плотное подмножество. Для того чтобы охарактери. зовать такие пространства (.ь введем еще одно понятие, относящееся, собственно, к общей теории меры. Определение 2. Мера )А называется мерой со счетным базисом, если существует такая счетная система зР = (А„) ') Ср.
упражнение иа стр. 291. е) р(х, А) озиачиет расстояние от точки х хо множества А. % и пгостРАнство т., (и = 1,2, ...) измеримых подмножеств пространства Х (счетный базис меры и), что для всякого измеримого М ~ Х и всякого е ~ О найдется такое Ад~.Ф, что И (М й Ае) ( е. В частности, мера р имеет счетный базис, если ее можно представить как лебегово продолжение меры т, определенной на некотором счетном полукольце Ж. В самом деле, в этом случае кольцо И(Я) (очевидно, счетное) и представляет собой искомый базис. Отсюда видно, например, что счетный базис имеет мера Лебега на отрезке, поскольку для нее за исходное полукольцо можно принять совокупность полуннтервалов с рациональнымн концами.
Произведение р = (г1Э нт двух мер со счетными базисамн также обладает счетным базисом, ибо конечные суммы произее. дений элементов из базиса меры н~ па элементы нз базиса меры рт образуют, как легко проверить, базис меры р = р~ 9 нь Поэтому мера Лебега на плоскости (а также н в л-мерном пространстве) имеет счетный базис. Пусть А), А, ..., А'„, ... (3) есть счетный базис меры р.
Легко видеть, что, расширяя систему множеств (3), можно образовать новый счетный базис этой меры А„А„..., А„, ..., (4) замкнутый по отношению к операциям вычитания н взятия конечных сумм и пеоесечений, т. е. являющийся кольцом. Теор е м а 3. Если мера 1т имеет счетный базис, то в 1~(Х, р) суичествует счетное всюду плотное множество функций, Д о к а з а т е л ь с т в о. Покажем, что счетное всюду плотное множество в Е~(Х, и) образуют конечные суммы л ~ сч~ь(х), (5) где ск — рациональные числа, а )х — индикаторы элементов счетного базиса меры н. Счетность такого множества очевидна; покажем, что оно всюду плотно в Е~(Х, р).
Как мы уже показали, множество ступенчатых функций, принимающих лишь конечное число значений, всюду плотно в Еь Так как любую такую функцию можно сколь угодно точно аппроксимировать функцией того же вида, но принимающей лишь рациональные значения, достаточно показать, что любую ступенчатую функцию 1, принимающую значения у,, у„ ..., у„ (все у, рациональны) зво ПРОСТРАНСТВА СУММИРУВМЫК ФУНКЦИИ 'Гл ум на множествах е„Р„..., е, (рр Е,=х, Ь,Ре,— Ф р Р~1), К1=1 можно сколь угодно точно аппроксимировать в смысле метрики Ер функциями вида (5). Согласно сделанному замечанию можно без ограничения общности предполагать, что базис меры р является кольцом.
По определению счетного базиса меры р, при любом В) О в нем существуют такие множества Ар, Аь ..., А, что р (ЕА рз АА) ( а. Положим АУ=Ах", ) ) А, (й=1, 2, ..., и) 1<А и определим 1', положив при х еа АА, при х ен Я '~ Ц А'ь 1=1 УА )*(х) = 0 Легко видеть, что при достаточно малом В мера р (х:1(х) Ф 1" (х)) сколь угодно мала и, следовательно, интеграл ~ ) Г (х) — 1' (х) ) 1111 ( (2 гпах ) УА ) ) р (х: 1 (х) чь 1' (х)1 сколь угодно мал при достаточно малом е.
В силу сделанных нами предположений относительно базиса меры р, функция 1' есть функция вида (5). Теорема доказана, Для того частного случая, когда Х есть отрезок числовой прямой, а р — мера Лебега, счетное всюду плотное множество в Ь1 можно получить и проще, например, взяв множество всех многочленов с рациональными коэффициентами. Оно всюду плотно (даже в смысле равномерной сходимости) в множестве непрерывных функций, а эти последние образуют всюду плотное множество в Ер(Х, р). 2 2.
Пространство Ьз 1. Определение и основные свойства. Пространство Ьр представляет собой, как мы видели, полное нормированное (т. е. банахово) линейное пространство. Однако оно не является евклидовым: определенную в нем норму нельзя задать с помощью зв! ПРОСТРАНСТВО Ы какого-либо скалярного произведения. Это вытекает из «теоремы о параллелограмме», установленной в п. 8 5 4 гл. П!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
