Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 72
Текст из файла (страница 72)
Понятие интеграла Лебега — Стилтьеса можно естественным образом расширить, перейдя от монотонных функций к произвольным функциям с ограниченным изменением. Пусть Ф вЂ” такая функция. Представим ее в виде разности двух монотонных функций где о — полное изменение функции Ф на отрезке [а, х). Введем геперь интеграл Лебега — Стилтьеса по Ф, положив, по опре.целению, ь ь ь ~ У (х) ~ХФ (х) = ~ ) (х) б(о (х) — $ [ (х) г(д (х) Петрудно проверить, что если Ф представлена каким-либо иным способом как разность двух монотонных функций, скажем, Ф=гв — Ь, следует из (3).
В силу о-аддитивности интегралов равенство (4) распространяется и на простые функции, суммнруемые по мере рР, Пусть теперь ([ ) — последовательность простых функций, равномерно сходящаяся к [. Можно прн зтом считать, что последовательность ([а) неубывающая. Тогда [[„(х) г"'(х)) — неубывающая последовательность, почти всюду сходящаяся к ~(х) Е'(х), и в силу теоремы Б. Леви, в равенстве НЕОПРЕДЕЛЕННЫП ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~ГЛ. ЧГ зео то ~ 1 (х) до (х) — ~ ~ (х) дд (х) = ~ ~ (х) йа (х) — ~ 1 (х) Г(й (х), т. е.
для вычислении интеграла Лебега — Стилтьеса по данной функции Ф можно пользоваться любым представлением этой функции в виде разности двух монотонных. 3. Некоторые применения интеграла Лебега — Стилтьеса в теории вероятностей. Интеграл Лебега — Стилтьеса находит применение как в анализе, так и во многих прикладных вопросах. В частности, это понятие широко используется в теории вероятностей. Напомним, что функцией распределения случайной величины е называется функция Р, определяемая для каждого х равенством Р(х)=Р(е < х), т.
е. Р(х) есть вероятность того, что случайная величина $ примет значение, меньшее х. Очевидно, каждая функция распределения монотонно не убывает, непрерывна слева и удовлетворяет условиям Р ( — оо) = О, Р (+ оо) = 1. Обратно, каждую такую функцию можно считать функцией распределения некоторой случайной величины. Существенными характеристиками случайной величины являются ее математическое ожидание М$= 1 хдР(х) и дисперсия (б) Среди случайных величин выделяют обычно так называемые дискретные н непрерывные случайные величины. Случайная величина называется дискретной, если она может принимать лишь некоторое конечное или счетное число значений хи хг, ..., х„, (например, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени есть дискретная случайная величина).
Если рн рм, р„... — вероятности, с которыми величина $ принимает значения хь хь ..., х„, ..., то функцией распреде- з з! 361 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА ления $ служит, очевидно, функция скачков. Для нее интегралы (5) и (б) сводятся соответственно к суммам Мя = Х хгрс ! 0- = 2 (х,— а)зр, (а=Мй). Случайная величина $ называется непрерывной, если ее функция распределения г абсолютно непрерывна. Производная г' этой функции распределения называется плотностью распределения вероятностей случайной величины 5. В соответствии со сказанным в предыдущем пункте, для непрерывной случайной величины стилтьесовские интегралы, выражающие ее математическое ожидание и дисперсию, сводятся к интегралам по обычной лебеговой мере: Мй= ~ хр(х)г(х, 0;-= ~ (х — а)зр(х)йх, где р = Р' — плотность распределения вероятностей для $ и а = М$.
В элементарных курсах теории вероятностей ограничиваются обычно рассмотрением дискретных и непрерывных случайных величин, которые в основном только и встречаются в прикладных вопросах. Однако, вообще говоря, функция распределения случайной величины может содержать и сингулярную компоненту, так что не всякую случайную величину можно представить как комбинацию дискретной и непрерывной.
Пусть $ — случайная величина, à — ее функция распределения и = ф($) — другая случайная величина, представляющая собой борелевскую функция> от й. Математическое ожидание й(Ч величины Ч можно, по определению, записать как х и'Ф (х), где Ф вЂ” функция распределения для Ч. Существенно, однако, что если суммируема по мере, порождаемой на прямой функцией Р, то математическое ожидание величины Ч можно записать и через функцйю распределения Г величины $, а именно: МЧ Мф(Е) = 1 ф(х) й" (х).
Ю а(ействительно, функпия уб ф(х) определяет отображение прямой ( — со < < х < со) с заданной на ней мерой р (порожденной Р) в прямую ( — оз < У < со) с мейой Рпг в котоРУю Р пеРеводитсЯ отобРажением Р у =ф(х). Но из результатов гл. Ч следует, что если (Х, р) и (Г, т) — дна нгопрсдглгнныи интеграл левнгл (гл ут пространства с мерой, ф — сохраняющее меру (т. е. такое, что «(А) = = р(р-'(А))) отображение, переводящее (Х, р) в (У, «), а ) — суммируемам функция иа (у, «), то ~ ((у) Д« = 1 ) (е (х)) г( У Х 4. Интеграл Римана — Стилтьеса.
Наряду с интегралом Лебега — Стилтьеса, рассмотренным выше и представляющим собой фактически разность лебеговых интегралов от данной функции ) по двум мерам, заданным на прямой, можно определить еще и так называемый интеграл Римана — Стилтьеса, Он вводится как предел интегральных сумм, аналогичных обычным интегральным суммам Римана. Пусть снова Ф вЂ” некоторая непрерывная слева функция с ограниченным изменением, заданная на полуинтервале [а, Ь) и 7 — произвольная функция на этом же полуинтервале.
Рассмотрим некоторое разбиение ') а=х, <х, <х,« ...х„=Ь полуинтервала [а, Ь) на элементы [х; ь х,) и, выбрав в каждом нз них произвольную точку $ь составим сумму ь ~ [($;) [Ф(х;) — Ф(х;,)) (7р (под Ф(хи) при этом понимается Ф(Ь вЂ” О)). Если при гпах(х; — х; 1)-ь0 этн суммы стремятся к некоторому пределу (не зависящему ни от способа дробления промежутка [а, Ь), ни от выбора точек $о в каждом из элементов разбиения), то этот предел называется интегралом Римана — Стилтьеса от функции ) по функции Ф по [а, Ь) и обозначается символом ь ~ [ (х) г(Ф(х). а (8)' Теорема 1.
Если функция [ непрерывна на отрезке [а, Ь)„ то ее интеграл Римана — Стилгьеса (8) существует и совпадаег с соответствующим интегралом Лебега — Стилтьеса. ') Поскольку в интеграле Стилтьеса внлад отдельных точек может быть отличен от нуля, элементы разбиения не должны иметь обшил точек. Поэтому мы везде берем здесь полуинтервалы. (замена переменных в интеграле Лебега). Положив здесь )(у) = у и И = Иг„ « =- р, мы и получим требуемое равенство.
Таким образом, для вычисления математического ожидания (а также, конечно, и дисперсии) функции от величины $ достаточно знать лишь функцию распределения самой величины $. заз э 6] ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА Д о к а з а т ел ь с т в о. Сумму (7) можно рассматривать как интеграл Лебега — Стилтьеса от ступенчатой функции [„(х) =[(4) при х;, (х < хь (9) Переходя в этом неравенстве к пределу, мы и получим оценку (9).
При Ф(х) = х она переходит в известную оценку ь ~ [(х) дх »((Ь вЂ” а) Гпах[[(х) [ а для интеграла Римана, 2. Если Ф=Ф, + Фм то ~ ) (х) ЫФ(х) = ~ [ (х) ЫФ, (х) + ~ [ (х) дФа (х), Действительно, при всяком разбиении промежутка [а, Ь) соответствующее равенство выполнено для интегральных сумм, следовательно, оно сохраняется и в пределе, т. е. для интегралов. 3 а м е ч а н и е !. Мы определили интеграл Римана — Стилтьеса (8), считая, что функция Ф(х) непрерывна слева. Однако определение этого интеграла как предела сумм (7) сохраняет, При измельчении разбиения промежутка [а, Ь) последовательность таких функций равномерно сходится к [. Поэтому предел этих сумм существует и представляет собой интеграл Лебега— Стилтьеса от предельной функции [ (теорема о предельном переходе под знаком интеграла).
Вместе с тем именно этот предел мы и назвали интегралом Римана — Стилтьеса (8). Установим некоторые элементарные свойства интеграла Римана — Стилтьеса. 1, Справедлива оценка (теорема о среднем) ь [нааам!а .*~па~а'. аю а (Р„[Ф) — полное изменение функции Ф на [а, Ь)). Действительно, при любом разбиении промежутка [а, Ь) выполнено неравенство ! а а ~ 7 (5,) (Ф(хь) — Ф(х,,)) [~ (~ [ [(~,) [ ° [Ф(хД вЂ” Ф(х;,) [< а ~ (гпах [ [ (х) [ ° ~ [ Ф (х,) — Ф (х,,) [ = гпах [ ) (х) [ Р~ [Ф). неопгпдвлениып интеггхл лвввгл ~гл л очевидно, смысл и для любой функции Ф(х) с ограниченным изменением. 3 а м е ч а н и е 2. Все сказанное об интеграле Римана— Стилтьеса по конечному промежутку легко переносится на случай, когда интеграл берется по всей прямой или по полупрямой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
