Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 71
Текст из файла (страница 71)
» Доказательство ле м мы. Пусть Х=А, ))А,+ — разложение Хана, отвечающее заряду Ф вЂ” — р, а=1, 2, ..., и пусть ! Ао ! ) А»~ Ао О А» »=1 »=! Тогда Ф(Ао) ( — „1»(Ао ) при всех и, 1 НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕЕЕГА !ГЛ. РГ т, е. Ф(А,)=0 и, следовательно, Ф(А»о)>0, а значит, и р(А»+) > 0(в силу абсолютной непрерывности Ф по р).
Поэтому найдется такое и, что 1»1,А„+) > О. Это и и множество В=А„" удовлетворяют условиям леммы. Перейдем теперь непосредственно к доказательству теоремы. Пусть К вЂ” множество функций ! на Х, обладающих следующими свойствами: ! неотрицательны, интегрируемы по р и ) (х) Г(!» ~ ~Ф(А) для всякого измеримого А. Пусть Возьмем последовательность функций (!л) из К такую, что !нп ~ ~„(х) 4» = М. Положим д„(х) = го ах ()', (х), ~, (х), ..., )„(х)), Покажем, что д„~ К, т. е., что для всякого измеримого Е ~ д„(х) Г!р ( Ф (Е). л Действятельпо, Е можно представить в виде () Е», где Е» не » ! пересекаются и а„(х) = )»(х) на Е», поэтому л л ~ д„(х)Г(р= 2 ~ Г»(х)Г(р~ () Ф(Е»)=Ф(Е). е »=! е„ » ! Положим ) (х) = зцр ()„(х)). Ясно, что при этом ~(х)= 1!Гп А«„(х) и, следовательно, по теол-+ реме Б.
Леви, ~ ) (х) йр = 1!гп ~ п„(х) 4» = М. х х Покажем теперь, что Ф(Е) — ~ )'(х) И!А =О. ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА КАК ФУНК!1ИЯ МНОЖЕСТВА По построению, функция множества Х(Е) =Ф(Е) — ~ ~(х)1(д е неотрицательна и обладает всеми свойствами меры. Кроме того, она абсолютно непрерывна относительно р. Если Ачмб; то в силу леммы найдутся такое В > О и такое В, р(В) ) О, что Вр(ЕПВ) ~(й(ЕП В) для любого измеримого Е. Тогда, положив й(х) = !'(х)+ В!ГВ(х), где тв — индикатор множества В, мы получили бы для любого измеримого Е ~ й(х) 1(р= ~ ~(х)ГЬ+В1(ЕПВ) = ~ ~(х)с(!А+Ф(ЕДВ)-=.Ф(Е).
е е е,в Это означало бы, что функция Й принадлежит определенному выше множеству К. Но в то же время ~ й (х) Г(!А = ~ ! (х) с(!А + ей(В) > М, к х а это противоречит определению М. Итак, существование такой функции !, что Ф(А) = ~ ) (х) с(р, А доказано. Покажем ее единственность. Если для всех А ~с=. Ф(А) = ~ Г1 (х) с(!А = ~ )г(х) Г(!А, А А то при любом п для множеств А„= (х . '~, (х) — ~1 (х) > Чл) имеем !А (А„) К и ~ (!1(х) — !,(х)) Г(!А = О, л„ Аналогично, для В =(х: ~1(х) — ~,(х) >!/Гп) имеем н(в.) =О. Так как :И) ЫН=(0А,)0(ЦВ ), то р (х . '!1(х) чь ~В (х)) = О, т. е. )1(х) = !В(х) почти всюду.
Доказательство закончено. ггл. ю няопвндяланнып интегпдп лявггл ззз 3 а м е ч а н и е. Теорема Радона — Никодима представляет собой, очевидно, естественное обобщение теоремы Лебега о том, что абсолютно непрерывная функция есть интеграл от своей производной. Однако, в то время как при рассмотрении функций на прямой у нас есть эффективный способ нахождения производной — вычисление предела отношения сь) к сьх, теорема Радона — Никодима лишь устанавливает существование производной йФ/й)с абсолютно непрерывного заряда Ф по мере р, по не дает способа для ее вычисления. Такой способ можно указать, но мы не будем на этом останавливаться. В общих чертах он состоит в вычислении предела отношения Ф(А)/)с(А) по некоторой системе множеств, «стягивающихся» в определенном смысле к данной точке.
Детально эти вопросы рассмотрены, например, в [53]. й 6. Интеграл Стнлтьеса !. Меры Стилтьеса. В З 1 предыдущей главы, говоря о построении меры Лебега на прямой, мы уже упоминали о следующей конструкции. Пусть на некотором отрезке [а, Ь] задана монотонно неубывающая функция Р, которую мы для определенности будем считать непрерывной слева. Определив меры всех отрезков, интервалов и полуинтервалов, принадлежащих основному отрезку [а, Ь], равенствами пс(а, ])) = Р(й) — Р(а+ О), гп [а, И = Р (]) + О) — Р (а), си(а, 0] = Р(р+ О) — Р(а+ О), (1) пс [а, й) = Р (й) — Р (а), мы можем затем распространить эту меру с помощью лебеговой процедуры продолжения меры на некоторую о-алгебру «м, содержащую все открытые и все замкнутые (а значит, и все боре- левские) подмножества отрезка [а, Ь]. Меру )ьж полученную с помощью такого построения, называют мерой Лебега— Стилтьеса, отвечающей функции Р, а саму функцию Р называют производящей функцией этой меры ').
Рассмотрим некоторые частные случаи мер Лебега— Стнлтьеса. 1. Пусть Р— функция скачков, хо хм ...— ее точки разрыва, а Ьь Ьв, ... — величины ее скачков в этих точках. Тогда мера Ря, отвечающая этой функции, устроена следующим образом: ') Если монотонно нвубывакпдая фувкпия с" пе вепрсрывпв слева, то по пся тоже можно определить меру, внеся в формулы (() оясвидпыс изменения; например, водо положить сп[сс,п) с(0+0) — Р(а — О) и т.
д, 357 ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА все подмножества отрезка [а, Ь] измеримы и мера множества А равна р,(А) = ,'Е Ьь (2) к ал Действительно, из определения меры Лебега — Стилтьеса сразу же видно, что мера каждой точки х~ равна й;, а мера дополнения множества [х ), равна нулю. Равенство (2) для лки бого А с:[а, Ь) вытекает отсюда в силу о-аддитивности меры ре. Мера ре, построенная по какой-либо функции скачков, называется дискретной мерой. 2. Пусть г — абсолютно непрерывная неубывающая функ.
цпя па [а, Ь) и [ = г' — ее производная. Тогда соответствующая мера ре заведомо определена на всех измеримых по Лебегу подмножествах отрезков [а, Ь[, причем для каждого такого множества А ре(А) = ~ [(х)дх. л (3) вала [а, р) ре [а, р) = г (р) — г (а) = ~ 7 (х) дх. ь Поскольку лебегово продолжение всякой о-аддитивной меры однозначно определяется своими значениями на исходном полукольце, отсюда следует равенство (3) для всех измеримых по Лебегу А с [а, Ь[. Мера ре, отвечающая абсолютно непрерывной функции г, называется абсолютно непрерывной мерой. 3. Если Š— сингулярная непрерывная функция, то отвечающая ей мера ре целиком сосредоточена на том множестве лебеговой меры нуль, на котором г' отлична от нуля или не существует.
Сама мера ре называется при этом сингулярной мерой. Ясно, что если г = Р~+ Г'м то Р =Р + Рг,; поэтомУ из разложимости монотонной функции в сумму функции скачков, абсолютно непрерывной и сингулярной компонент следует, что всякую меру Лебега — Стилтьеса можно представить е виде суммы дискретной, абсолютно непрерывной и сингулярной компонент. Разложение монотонной функции на три составляющие определяется с точностью до постоянных слагаемых. Поэтому разложение каждой меры Лебега — Стилтьеса на дискретную, абсолютно непрерывную и сингулярную компоненты од н означно. Сказанное выше относится к мерам Лебега — Стилтьеса на о т р е з к е.
Если теперь г" — ограниченная (сверху и снизу) Действительно, в силу теоремы Лебега для каждого почуинтер. НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА ~гл чг 358 монотонно неубывающая функция на всей прямой, то, определив меру любого отрезка, интервала и полуинтервала на прямой с помощью формул, аналогичных (1), мы получим конечную- меру на всей прямой, которую мы тоже будем называть мерой Дебега — Стилтьеса.
В частности, мера всей прямой при этом будет равна Е (оо) — Р ( — оо), где г'(оо) = !1гп й'(х), Р'(,о) 11ш (существование пределов следует из монотонности и ограниченности Р). Понятие меры Лебега — Стилтьеса на самом деле исчерпывает все меры (т. е. все конечные о-аддитивные неотриггательиые функции множеств) на прямой. Действительно, пусть р— любая из таких мер. Положив г" (х) = р ( — оо, х), мы получим монотонную функцию, такую, что отвечающая ей ~лера Лебега — Стилтьеса совпадает с исходной мерой р, Таким образом, термин «меры Лебега — Стилтьеса» на самом деле не выделяет какого-либо специального класса мер на прямой, а указывает лишь на определенный способ построения таких мер — по заданной производящей функции.
2. Интеграл Лебега — Стилтьеса. Пусть рг — мера на отрезке (а, Ь), порожденная монотонной функцией г', Для этой меры обычным образом определяется класс суммируемых функций и вводится понятие интеграла Лебега ь ~ 1(х) г(рг. а Такой интеграл, взятый по мере рг; отвечавшей функции г, называется интегралом Лебега — Сгилтьгса и обозначается символом ь ~ 1(х) НР (х). Рассмотрим некоторые частные случаи. 1. Если г' — функция скачков (т. е.
если рг — дискретнам Ь мера), то интеграл ~ 1(х) г(г'(х) сводится, очевидно, к сумме а 1(х;)Ьь где х; — точки разрыва функции г, а й; — скачки Р, в точках хь ИНТЕГРАЛ СТИЛТЬЕСА 2. Если à — абсолютно непрерывная функция, то интеграл ь ь Лебега — Стнлтьеса $ [(х)ь(с(х) равен ~[(х)г"'(х)агх, т. е. ина а тегралу от [(х)Р(х), взятому по обычной лебеговой мере. Действительно, если Г(х) = сопя( на некотором измеримоьт множестве А с: [а, Ь) и [(х) = 0 вне А, то равенство Ь Ь ~ [ (х) г(Р (х) = ~ ) (х) Р' (х) б(х а а (4) $ х„ (х) Г(Р (х) = $ 7„ (х) Г (х) Г(х можно перейти к пределу при и -э оо, Из сказанного ясно, что если г' есть суМма функции скачков и абсолютно непрерывной функции, то интеграл Лебега— Стнлтьеса по мере Гьл сводится к ряду (или конечной сумме) и интегралу по обычной мере Лебега, Если же Р содержит и с и иг ул я р н у ю компоненту, то такое сведение не воз можно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
