Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 76
Текст из файла (страница 76)
Например, для интегрируемых на отрезке (О, 2п! функций ! — = 1, ь = з!и х соотношение !!!+й!Р+!!! — аР=2(!!!!Р+!!а!Р) в Е1 не выполняется. Функциональное пространство, не только нормированное, но и евклидова, можно построить, взяв совокупность функций с интегрируемым квадратом. Введем соответствующие определения. Будем сперва рассматривать действительные функции 1, определенные на некотором пространстве Х, с заданной на нем мерой и.
Все функции предполагаются измеримыми и определенными на Х почти всюду. Эквивалентные между собой функции не различаются. О п р ед ел е н не 1. Функция ! называется функцией с интегрируемым квадратом на Х, если интеграл ~ !г(х) а'!А существует (конечен). Совокупность всех таких функций мы обозначим Ег(Х,!А) или, коРоче, Еь ' Установим основные свойства функций с интегрируемым квадратом.
1. Произведение двух функций с интегрируемым квадратом есть интегрируемая функция. Это непосредственно вытекает из неравенства (х) ! " ! у~(х) ! г(х)) и свойств интеграла Лебега. Следствие. Всякая функция ! с интегрируемым квадратом на пространстве с конечной мерой интегрируема. В самом деле, достаточно, положив д(х) = 1, воспользоваться свойством 1. 2, Сумма двух функций из Ег также принадлежит Еь Действительно, (!(х)+д(х))г~ !'(х)-1-2! 1(х)д(х) !+уг(х) в силу свойства 1 каждая из трех функций, стоящих справа, интсгрнруема. 3, Если ! ~ Е» и а — произвольное число, то а! ~ Ев Действительно, если ! е= Еь то ~ (а! (х)1» Ыр = аз ~ !г (х) И!А ( ьо. пьостьхнствл стммиятямых Фтнкпнп аа2 !гл чп Свойства 2 и 3 означают, что линейные комбинации функций из Ет снова принадлежат Е~., при этом, очевидно, сложение функций из Ет и умножение их на числа удовлетворяют всем условиям, перечисленным в определении линейного пространства (гл.
П1, $1). Таким образом, совокупность Ег функций с интегрируемым квадратом есть линейное пространство. Определим теперь в Ет скалярное произведение, положив (1, а) = ~1(х) а(х) Ыи. Ясно, что все требования, входящие в определение скал> р- ного произведения (см. $4, гл. 111), а именно: 1) (1,а)=(а,1), 2) (11 + 12 а) = (11 а) +(1м а) 3) (а1,а)= сс(1, а), 4) (1,1)) О, если 1Ф О, при этом выполнены. В частности, выполнение условия 4) обес- печивается тем„что мы условились не различать эквивалентные между собой функции (за нулевой элемент, таким образом, при- нимается совокупность всех функций на Х, эквивалентных 1=-0).
Итак, введя для функций с интегрируемым квадратом опера- ции сложения и умножения на число, а также скалярное произ- ведение, мы приходим к следующему окончательному опреде- лени1о. О п р е дел е н и е 2. Евклидовым пространством Ет называет- ся линейное пространство, состоящее из классов эквивалентных между собой функций с интегрируемым квадратом, в котором скалярное произведение определено формулой (1, а) = ~ 1(х) а (х) с1н. В Ем как и во всяком евклидовом пространстве, выполнены неравенство Коши — Буняковского и неравенство треугольника, которые в данном случае имеют вид ( ~ 1 (х) а (х) др) ( ~ 1' (х) д ~ а' (х) д!х ~11~ (1(х) +а(х))тдп( ~/~ 12(х)дн + ~/ ~ ат(х) с!н . В частности, при !х(Х) ( со и а(х) = ! неравенство Коши— Буняковского превращается в следующую полезную оценку: (~ 1(х) с(!х) ~(!ь(Х) ~ 1~(х)сцс.
вн ПРОСТРАНСТВО Ы Норма в Ьр определяется формулой 1)11=~/( )) =~/())х(х)др а расстояние между элементами 1 и и — формулой р (1, д) = )) ) — д 1 = ~/ ~ (1 (х) — й (х))т с1р . Величину ~ (1(х) — в(х))тд1А =  à — в)~ называют также средним квадратичным уклонением функций 1 и д друг от друга. Сходимость функциональной последовательности в смысле метрики пространства 1.В называется сходимостью в среднем квадратичном. Если пет опасности спутать эту сходимость со сходимостью в т.п определенной в предыдугцем параграфе, мы и здесь будем пользоваться более коротким термином «сходимость в среднемж Теорема 1.
Пространство А,х(Х, р) при р(Х) «., ОО полно. Доказательство. Пусть ()В) — фундаментальная последовательность в Ц, т. е. !1)„— ) 3- 0 при и, гп-+со. Тогда в силу оценки (1) получаем 1 ~ 1„(х) — ).(х) |др((И(Х))'( 1 ()„(х) — 1.(х))чд ~с'( ~(е)п(Х))'л (2) т. е. последовательность (1" ) фундаментальна и в метрике про.
странства А'.ь Повторяя рассуждения, которые были проведены при доказательстве полноты пространства 1.ь выберем из (г' ) подпоследовательность ()„ ~, сходящуюся почти всюду к некоторой функции 1. В неравенстве ) (1„(х) — 1 (х))здр < е, справедливом для членов этой подпоследовательностн при всех достаточно больших й и 1, можно, используя теорему Фату, пе- рЕйтн К Прсдспу Прн 1 -ь Оо. ПОЛУЧИМ ~ ()„ (х) — 1'(х))т «1р ( в, откуда следует, что 1 ен Ц и что 1„А-~-1.
Для завершения доказа- тельства остается, как и в теореме 1 5 1, воспользоваться тем, прострлнствл снммирнпмых оннкции !гл. тц 384 что, если фундаментальная последовательность содержит сходящуюся, то и сама она сходится к тому же пределу. 2. Случай бесконечной меры.
Мы рассматривали только что функции с интегрируемым квадратом, определенные на некотором пространстве Х ко н е ч н о й меры. При этом условие р(Х) < оо использовалось довольно существенно. Именно, сначала мы прибегли к нему, доказывая, что всякая функция с суммируемым квадратом суммируема и в первой степени, а затем — при выводе неравенства (2), на которое опиралось доказательство полноты пространства Е.а. Если рассматривать функции на множестве бесконечной меры (например, на всей прямой с дебетовой мерой на ней), то не всякая функция из (.з будет 1 содержаться в А!. Например, функция, не интегрируема Чу! + хс на всей прямой, а ее квадрат интегрируем.
Далее, в случае р(Х)( оо имеет место неравенство (1), означающее, что из сходимости последовательности функций в ьт следует их сходимость в 1.!. При р(Х) = оо это тоже неверно: например, последовательность функций на прямой 1)п при )х)~~я, О при 1х!> и сходится к О в пространстве ьа( — оо, оо) функций с суммируемым квадратом на прямой, но не сходится ни к какому пределу в ь!( — оо, оо).
Однако теорема о полноте пространства остается справедливой и при 1т(Х) = оо '), Докажем это -утверждение. Как и в п. 6 з 5 гл. Ч, где мы ввели понятие интеграла по множеству бесконечной меры, будем предполагать, что все пространство Х можно представить как счетную сумму множеств конечной меры. Пусть Х= () Х„, 1х(Ха)<оо, Х„ПХ =О при папа л=! — такое представление и пусть ()н) — фундаментальная последовательность в ьа(Х, р). Таким образом, для каждого в ) О существует такое Ж, что ~ 1!а(х) — )!(х))ай!а < а для всех А, 1) М. Введем обозначение ( ср(х) при х еи Х„, ф!"!( ) =( О при остальных х.
1) Доказательство полноты пространства ьь проведенное в 4 1, не зависит, очевидно, от предположения нонечности меры пространства Х. 385 ПРОСТРАНСТВО Тл Тогда в силу свойства о-аддитнвностн интеграла Лебега, имеем ~ [)а (х) — )! (Х)['(()( = ~ ~ [((А") (х) — ((гг") (ХЦ2(()А < в.
л=! Х, Для каждого конечного М и подавно м ~ [ ! (л) (Х) ! (л) (ХЦ2 (()( ( Е л-! Хл Совокупность функций с интегрируемым квадратом на каждом Х представляет собой полное пространство. Положив )(л)(х) = ))ги )(л) (х) (где сходимость понимается как сходимость в пространстве Ез(Хл, )()), мы можем перейти к пределу при (-ьоп в неравенстве (3). Получаем м [ ('йл)(Х) ) (л) (ХЦ2 (Т(А ( а л (Хл Так как это неравенство выполнено для всех М, то в нем можно перейти к пределу при М-ь по. Таким образом, имеем Ю $ [)(л) (х) — )(л) (ХЦ'с()(:~ а. †! х„ ) (х) = )( ) (х) при х ен Хл, Положив мы можем последнее неравенство переписать в виде ~ [) л (Х) — ) (Х) [2 (! )( «!, В.
3. Всюду плотные множества в Ея. Теорема об изоморфизме. Итак, пространство (2(Х, р) функций с интегрируемым квадратом есть полное евклидово пространство. За исключением вырожденных случаев, размерность этого пространства бесконечна. Отсюда вытекает как принадлежность ) к Ая(Х, р), так и сходимость последовательности ()„) к ). У п р а ж н е н и е. Определим бр (Х, Н) как совокупность классов зквива- ЛЕитиЫЛ МЕЖДУ Спбпй фУНКЦИй, ДЛЯ КОТОРЫХ ~ [)(Х)[Л 2(Р ( СО, ГДЕ 1 е Р < ( ос.
Доказать, ято (.р(Х, р) является банаховым пространством относительно нормы [) ([ = ( ~ [ ) (х) )л ип) ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ !гл нн 386 С точки зрения различных применений в анализе важно выяснить, когда пространство Е,(Х, р) сепарабельно, т. е. содержит счетное всюду плотное множество. В 5 ! Мы установили, что для пространства Е,(Х, р) сепарабельность вытекает из существования у.
меры р счетного базиса. Нетрудно убедиться, что это условие гарантирует и сепарабельность Еэ(Х, р). Действительно, каждую функцию из Еэ(Х, р) можно приблизить, с любой точностью, функциями, каждая из которых равна 0 вне некоторого множества конечной меры '). Далее, те же рассуждения, которые были проведены при доказательстве теоремы 3 ч 1, показывают, что в совокупности таких функций можно выбрать счетное всюду плотное множество. Итак, если мера р имеет счетный базис, то пространство А',,(Х, р) есть полное сепарабельное евклидова пространство. Иначе говоря, оставляя в стороне тот случай, когда ьэ(Х, р) имеет конечную размерность, мы получаем следующий результат: если мера р имеет счетный базис, то й~(Х, р) есть сепарабельное гильбертово пространство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
