Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 79
Текст из файла (страница 79)
Если ((р ) и (з[( ) — полные ортонормальные системы соответственно в Ез и в Ез', то система всех произведений 1 „(х, у)=(р (х)з[(„(у) есть полная ортонормальная система в Ез. Доказательство. В силу теоремы Фубини (замечание) [ ('.. (*. г( з — [ !'. (*( 1 [ з. (!( з ") з - (. х 398 ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИИ (гл, уп Если т Ф ть то в силу той же теоремы поскольку функция ) „(х, у)~ „(х, у) двух переменных суммируема на Х = Х' Х Х". Если т = ть но и ~ иь то (,у)(,(*, у)шц= )г () (ф (г)ф„(у)(ц")ыР =О.
х х эх- Докажем полноту системы () ). Допустим, что в ьэ сушествует функцияг,ортогональная ко всем функциям г „. Положим г (у) = ) (х, у) (р (х) Ыр'. Легко видеть, что функция г' (у) имеет интегрируемый квадрат. Поэтому Г (у)(р„(у) при любом и интегрируема. Снова используя теорему Фубини, получаем ~ Г (у) ф, (у) ((и"= ~ ) (х, у) ~„ (х, у)((п = О. К х В силу полноты системы ((р„) отсюда вытекает, что для почти всех у У (у)=О Но тогда при почти каждом у имеют место равенства ~)(х, у)(р (х)ЫН =О х для всех т.
В силу полноты системы (9ь ) отсюда получается, что при почти каждом у множество тех к, где ~(х, у) Ф О, имеет меру нуль. В силу теоремы Фубини это означает, что на Х функция )(х, у) равна О почти всюду. Применим эту теорему к некоторым конкретным ортогональным системам. В пространстве функций двух переменных ~(х, у) ( — и - 'к, у(~п) ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЙ В гл 399 с интегрируемым квадратом полную ортогональную систему образуют попарные произведения элементов систем: 1, сов тх, 51птх (т=1, 2, ...) и 1, созир, 5!пну (и =1, 2, ...), т. е. функции 1, с05 тх, 5!и тх, сов ид, 5!пид, с05 тх 5!пид, с05 тх сов ид, 5!п тих 5!и ид, 5!и тх сов ид.
Соответствующий ряд Фурье выглядит несколько громоздко, поэтому здесь удобнее пользоваться показательными функциями е' ле!лу=с!< л!лм (и, т=й, -~1, ~2, ...). Этому базису отвечает ряд Фурье 1(х, у) = ~ с ле'! ""'лу! лл л= — л где с „= —, ~ ~ 1(х, у) е-'! л+лу! с(х с(у ! Многочлены Лежандра да!от в пространстве функций, определенных на квадрате — 1(х, у~1, полную ортонормальную систему, состоящую из миогочленов Ф ' т лл ~- л т!л!2"'л'1 Дхщ " суп " Все сказанное очевидным образом переносится на функции нескольких переменных. В частности, тригонометрический ряд Фурье для функции А переменных имеет вид с ' (л1'1+'"+ "л"') с„...е 1(х„..., хь)= л~ ." л!=- где сл ...„= — ...
~ 1(х!,..., Хх)е '("~"!"'"+"'"Х)с(х! ... !(хм 12и) л л л 6. Многочлены, ортогональные относительно данного веса. Мы пришли к многочленам Лежандра, ортогонализнруя функции (9) пРостРАнстВА суммиРуамых Функция !ГЛ. Ч1! относительно скалярного произведения ! ~ 1(х)д(х)йх, -1 отвечающего обычной мере Лебега на отрезке [ — 1, 1). Если на этом отрезке задать какую-либо иную меру 1А, такую, что функции (9) в соответствующем пространстве 1.1 со скалярным про- 1 изведением ~ ~(х)д(х)й1А линейно независимы, то, применив к -1 (9) процесс ортогонализации, мы придем к некоторой системе многочленов ЯР), зависящей, вообще говоря, от выбора меры ц.
Предположим, что мера 1А определена для измеримых по Лебегу подмножеств сегмента 1 — 1, 1) формулой и(е) = 1 й(.)й, (10) где и — фиксированная неотрицательная суммируемая функция. Условие ортонормальности ~ 1 при т=а, М, Я.)= 1 0 при тра в этом случае записывается в виде 1 ~ Я (х)9„(х)д(х)йх =( р ' (1ц 1 0 при т~п. Функция д, определяющая меру (10), носит название веса или весовой функции. Таким образом, про многочлены, удовлетворяющие условию (1!), говорят, что онп ортогональны с весом й!. Выбор того или иного веса приводит к различным системам многочленов.
В частности, положив д(х) = мы получим многочлены, совпадающие с точностью до постоянного множителя с так называемыми многочленами Уебышева, которые определяются формулой Т„(х)=созлагссозх (а=1, 2, ...) и играют важную роль в различных ннтерполяционных задачах. ОРТОГОНАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ФУНКЦИЯ В Ы зо1 Ортогональность этих многочленов относительно веса 1/)/1 — х» легко проверяется.
Действительно, полагая х = соз 9, дх = — з(п 9 к(9, ~/ ~ — хз = з!и 9, получаем ! к п Т,„(к) Т„(к) 1 — при т=п, » " ух = ~ соз т9 сов п9 ~(9 = О при тФп. 7. ОртОГОиаЛЬНЫй баЗИС В ПрОСтраНСтааХ Х.,( — оо, оо) Н х,з(0, оо). Выше мы рассматривали ортогональиые системы на отрезке, т. е. на множестве конечной меры. Рассмотрим теперь случай бесконечной меры, а именно, пространство Ьз( — оо, оо) функций с интегрируемым квадратом на всей числовой прямой. Ортогональную систему функций в нем нельзя построить ни из многочленов, ни из тригонометрических функций, ибо ни те, ни другие не принадлежат этому пространству. «Материал» для построения базиса в (.У( — со, оь) естественно искать среди функций, достаточно быстро убываюших на бесконечности.
В частности, такой базис можно получить ортогонализацией последовательности х"е ™ (п=О, 1, 2, ...). Действительно, всякая функция вида Р(х) е-кт, где Р— много- член, пРииадлежит, очевидно, (,з( — оо, со), а полнота системы (12) будет доказана в и. 3, $ 4 гл. Ч1 П. Применив к функциям х"е кчз процесс ортогонализации, мы получим систему функций вида ~р„(х) = Н„(х) е кн' (п = О, 1, 2, ...), (12) где Н, — многочлен степени и. Эти многочлены называются многочленами Эрмита, а сами функции у„— функциями Эрмигп. Нетрудно показать, что многочлены Эрмита совпадают, с точностью до постоянного множителя, с многочленамн ла -к' Н'„(х) =( — 1)" е"' ~ г ик Действительно, многочлен Н, имеет, очевидно, степень и, а соотношение ортогональности ~ Н' (х) Н„'(х)е "Их=О (т Ф и) Ю легко получить интегрированием по частям.
В силу теоремы об ортогонализации существует лишь одна, с точностью до постоянных множителей, система ортогональных функций вида Р„(х) е-кч', где Є— многочлен и-й степени. ПРОСТРАНСТВА СУММИРУЕМЫХ ФУНКЦИЙ ~гл. уи Полученный результат допускает и такое истолкование. Рассмотрим на прямой меру и, имеющую плотность е- ', т. е. такую, что г(1»=е "Их. Это — конечн а я мера.
В пространстве функций, интегрируемых с квадратом по этой мере, скалярное произведение имеет вид (1 д) ~ 1(х)д(х)е-»*дх, а многочлены Эрмита образуют в нем ортогональную систему. Рассмотрим, наконец, пространство Ег(0, ФР) функций с интегрируемым квадратом на полупрямой. Взяв в нем систему функций х»е-» (и=0, 1, 2, ...) и применив к ним процесс ортогонализации, мы получим систему функций Е„(х)е " называемых функциями Лагерра. Соответствующие многочлены Ь называются многочленами Лагерра.
Многочлены Лагерра можно рассматривать как ортогональный базис в пространстве функций, квадрат которых интегрируем на полупрямой (О, ФР) по мере «1р = е-» Их. В п. 3 $ 4 гл. Ъ'1П мы докажем, что система функций Лагерра полна в Ьг(0, ФР). 8. Ортогональные многочлены с дискретным весом. Пусть и+1 различным точкам хм хь ..., х„действительной прямой приписаны в качестве «весов» положительные числа рм рь ... ..., р,, а мера 1» определена формулой р(Е) =- Х р», »А~ Е т, е. Ц(Е) равна сумме весов, содержащихся в Е точек х». Измеримыми по этой «вырожденной» мере являются здесь любые множества и функции на прямой, причем любое множество Е, не содержащее точек х» (й = О, 1, ..., и), имеет меру О.
Тем самым интеграл по всей действительной прямой от функции 1' равен » ~ ~ (х) Ии = ) рь~ (х„), С» А-О Ч о! ОРтогонАльные системы Функции В ы а скалярное произведение дается формулой (1, д) = Е р21(хо) д(хо). Очевидно, что функции г* и д будут эквивалентны по мере !А, если 1(хо) = й(хо) во всех точках хм хь..., х, и только в этом случае. Для этого вырожденного случая задача наилучшей аппроксимации в смысле расстояния в 2.2 сводится к определению сумм софо+с,ф, + ... +С„ф, обращающих в минимум выражение о Р4 12 Х ро ~ ! (х„) — ~„соф, (хо) ~ Х р,хо " Е р,х," ~ р х' ... х р х"+' ~ ро 2 р хо рх ~ рх2 ~ р Х" Ч р Х"'"' Ч р Х"О-о... У,р„Х»о !уро Чр " 1Ь УГРохо !/Р1х, ...
~/Р„х„ 1 1 ... 1 хо х, ... х„ рор1 ° ° р !/р х" о„ур,хо ... о/р„х„" х" х" ... х" о Наоборот, х" прн г ) а линейно зависят от функций системы (13), так как в нашем случае !.2 имеет размерность и+ 1. т. е. к задаче «интерполирования по методу наименьших квадратов». В связи с задачей интерполирования по методу наименьших квадратов многочленами заданной степени П. Л. Чебышев развил теорию ортогональных многочленов.
Чтобы изложить относящиеся сюда результаты Чебышева, заметим, что система 1, х, х', ..., х" (13) при нашей мере !А линейно независима, так как скалярное произведение (х', х') выражается формулой о (х', х') = ~ р х„"" А=О и детерминант Грамма системы (!3) есть (суммы по й от 0 до л) пространства снммипнамых еннкцин 1гл. чи 404 Поэтому процесс ортогоналиэации приводит к конечной системе многочленов Ро, Рг»... Рл, ортонормальных в том смысле, что л ~ раР,(ха) Р,(ха) = бтг и каждая функция / разлагается в нонечный ряд ~„, с,Р„ =о где с, = ~ рар, (ха) / (ха).
В точках ха выполняются равенства ~(ха)= ~ с,Р,(ха) (А=О, 1, ..., и), т. е. полная сумма ряда есть просто интерполяционный много- член Лагранжа. Неполные суммы Я =~сР, (лт<п) с=о являются многочленами гп-й степени, приближающими / в точ- ках ха наилучшим способом в том смысле, что выражение л ~„ра(/(ха) — Я (ха))' для Я меньше, чем для любого другого многочлена той же сте- пени т, В. Системы Хаара н Радемахера — Уолша.
Хааром был построен следую- гций пример полной системы функций иа отрезке 10, !]. Система эта состоит нз функции 4>о = 1 и серий >Рог 4»г >Ргг грэг Ч>гг чггг >Рг> >Реп >Рл2' ' ' '' лглгл (а-и серии содержит 2л функций), где +1, 0<х<!/2, — 1, 1/2<к<1, "=(: Ч/2, О«х< 1/4, О, 0 < х < 1/2, — Ч/2, 1/4<х<1/2, >Ргг = Ч/2> 1/2<к<3/4, О, 1/2<х<1, — Ч/2, 3/4<х<1. ОРТОГОНАЛЪНЫЕ СИСТЕМЪ| ФУНКЦИИ В й» 40% 13! Вообще, положим (в точках разрыва значения функций можно брать произ- вольными) 1 — 1 — < х< 2п 1 — 1 1 — + 2п 2п+ г — 1 1 2п 2~+~ 2п/з, г <х< —, 1 2п ' Фп1 = — 2п/з (в =О, 1, 2, ...; 1= 1, 2, ..., 2п).
Пегко видеть, что построенная система ортонормальна. Докажем ее полноту. Разобьем отрезок [О, 1[ на 2 е' равных интервалов Л» и рассмотрим множество М„+, всех функций, сохраняющих постоянное значение на каждом аз интервалов Лг. Очевидно, М ю есть линейное подпространство размерно"ти 2"+'. Кроме того, все функции нашей системы до функций и-й серии зклгочительно войдут в М„ть Так как эти функции в силу ортонормальностн ° ашей системы линейно независимы и так как их число равно Ч~~~ 2З 2пт1 ь=о го функция Фе и функции Фзг серий й = О, 1, ..., и образуют в М„+, полную систему линейно независимых векторов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
