Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 82
Текст из файла (страница 82)
3. Теорема Фейера для пространства Еь В теореме Фейера достигнута определенная симметрия между условием и утверждением теоремы. Из того, что функция 1 принадлежит пространству С [ †, и] непрерывных функцай, следует, что отвечакицие ей суммы Фсйсра сходятся к 1 в метрике того же самого пространства С 1 — и, и]. Аналогичные теоремы можно получить и дли других функциональных пространств, в частности, для пространства Е1[ — п,п].
Точнее говоря, имеет место следующая теорема, которую естественно назвать теоремой Фейерз для суммирусмых функций: Если 1 — суммируемая на отрезке 1 — и, и] фучкция, го ее суммы Фейета сходятся и ней по норме пространства Е,[ — п,п]. Доказательство этого утверждении может быть получено с помощью рассуждений, близких к изложенным в п. 1. Мы не будем здесь их проводить, однако отметим следующий важный факт, вытекающий из теоремы Фейера для суммируемых функций.
Всякая гуммируемая функция однозначно [с точностью до экпивалентности) определяется своими коэффициентами Фурье. Действительно, пусть 1 ч у — две суммнруемые функции, имеющие одинаковые коэффициенты Фурье, Тогда все коэффициенты Фурье функции 1 — д равны О. Следовательно, тождественно равны О и все суммы Фейера для 1 — у.
Но тогда и их предел в Еь т. е. функция [ — у, есть О почти всюду 9 3. Интеграл Фурье 1. Основная теорема. В $1 были установлены условия, при которых периодическая функция может быть разложена в сходящийся ряд Фурье, т. е. представлена как суперпозиция гармонических колебаний. Попытаемся сейчас перенести этот результат на функции непер и о д и ч е с к и е.
Мы увидим, что при довольно общих дополнительных условиях такое представление возможно, ио только уже с помощью не ряда, а интеграла, так называемого интег р а па Ф у р ье. Начнем с наводящих соображений. Пусть функция 1 на каждом конечном интервале удовлетворяет условиям, обеспечивающим разложимость ее в ряд Фурье. Иначе говоря, предположим, что 1 суммируема на любом конечном интервале и в каждой точке удовлетворяет условию Дйни.
Рассматривая 1, скажем, на отрезке [ — 1, [[, мы можем написать разложение этой функции в ряд Фурье: ((х)= — +~э ц соз — х+Ь з[п — х. аа ха йгс йп 2 дл 1 з! па= — ~Г(!)а, а„= — ~~(!)сов — !Ж, 1 Г 1 Г Ал ! — ! Ь,= —,' ~)(1)е1п "! 1(1. Получим ! ! Г (х) = — ~ Г (Г) М + ~ — ~ Г (!) сов — х сов — ! Ж + А=! ! ! + — Г Г( в! — М вЂ” = — 1Г( Ж 1 Г . Ал . Ал ! -! ! + — ~ ~ 1 (!) [сов — х сов — ! + 81п — х з1п — (~ и1, 1 ч Г г Ал Ал . «л .
Ал ! ! А.=! -! т. е. Г(х) = — ~ Г(!) Ю+ — ~~' — ~ ) (!)сов — (1 — х)М. (2) А ! Дополним предположения о функции Г е!це одним: пусть эта функция абсолютно иитегрируема на всей прямой, т. е. ~ ! Г (!) ~ (! < -. (3) Перейдем теперь (пока чисто формально) в равенстве (2) к пределу при (-Роо. В силу (3) первое слагаемое в правой части равенства (2) при 1-!.
ао стремится к нулю. Второе слагаемое можно рассматривать как интегральную сумму (но только распространенную на бесконечный промежуток) для интеграла ~ г(д) и о от функции Р(д) = — $ Г(Е) совд(! — х)М, -! 420 тРНГОномГГРические Ряды. ПРГОЕРАзовАние ФГРье !Гл ун! Подставим сюда вместо аА и ЬА их выражения: ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ если положить ЛА = йпХЕ и ЛЛ = и/С. Поэтому формальный пре- ,дельный переход в (2) при Е-+ оо приводит к равенству Ю Е(х) = — з! аЛ $ Е(С)созЛ(Š— х)ССЕ. 1 Г (4) Это и есть искомое представление. Введя обозначения: бл = — „$ Х (Е) з( п ЛЕ ЕСС, 1 Э а, = — „~ Е(Е)созЛСйЕ, ! Мы получили равенство (4), называемое формулой Фурье, с помощью формального предельного перехода.
Можно было бы обосновать справедливость этого перехода (при сделанных выше предположениях о функции е), однако проще доказать равенство (4) непосредственно. Итак, докажем следующую теорему. Теорем а !. Если функиия Е абсолютно интегрируема на всей прямой и в точке х удовлетворяет условию Дйни, то имеет место равенство Е(х) = — $ ССЛ $ Х(Е) созЛ(С вЂ” х)дЕ. Доказательство.
Введем обозначение А Х(А) = — $ ЕЕЛ $ Х(С)созЛ(С вЂ” х)йЕ, (6) Нам нужно доказать, что Вт Х(А) существует и равен Е(х), Так А ь а как Х абсолютно интегрируема, то внутренний интеграл в (6) сходится, а двойной интеграл сходится абсолютно, Используя теорему Фубини, изменим в повторном интеграле (6) порядок интегрирования: А х(А)= — „~ де~ Е(с)созл(е — х)ссл= 1 $ е(е) ма А(е — к!,Сс равенство (4) можно переписать в следующем виде, аиалогич.Ном ряду Фурье: Х(х) = ~ (ах созЛх+ ухз(ИЛх)ЫЛ. (5) о 422 тгигономвтгичяския гяды.
пгвовгхзовхнив етгьв (гл. чнг Заменой переменных 1 — х = г приведем этот интеграл к виду и ~~( + Хорошо известное равенство — ~ — Ыг = 1 (А ) О) 1 Г маАг и,') г позволяет записать разность 7(А) — 1(х) в виде У(А) — 1(х) = — „~ ) ) з(п Аг Ах. Представим стоящий справа интеграл в виде суммы трех слагаемых: и У(А) — ~(х)= — 1 ) ~ ) з)п Агах+ п,) г + — ) $!и Ах пх —— 1 Г ((х+ г) 1(х) (л)~м 1>л Второй и третий члены справа представляют собой сходящиеся интегралы, и каждый из них может быть сделан меньше, чем е/3, если число йг взято достаточно большим. Первое слагаемое справа (при фиксированном У) стремится к нулю, когда А -ь.со (в силу леммы 1 5 1 и условия Дйни).
Таким образом, получаем !пп (Х(А) — Г(х)) =О, что и требовалось доказать. 2. Интеграл Фурье в комплексной форме. В интегральной формуле Фурье (4) внутренний интеграл представляет собой четную функцию от )„что позволяет переписать эту формулу в виде Г(х) = — „~ сй ~ 1 (1) соз й (1 — х) Ж. 1 Далее, из абсолютной интегрируемости функции 1 следует, что интеграл ~ 1 (1) з(п й(1 — х) Ж существует и представляет собой нечетную функцию от Л. Поэтому — $ йЛ ~ 1(!)Б4ПЛ(! — х)й! — 0 (10) если интеграл и ...;. 1).
н-у по Л понимать в смысле главного значения, т. е. Прибавив к (9) равенство (10)„умноженное на — 4, ПОЛУЧИМ ~(х) — ! ~ йЛ $ р(1)е-РАИ- >й! Это равенство мы будем называть комплексной формулой Фурье. 5 4. Преобразование Фурье, свойства и применения 1. Преобразование Фурье и формула обращения. Интегральную формулу Фурье можно расчленить на два равенства. Положим Ю й (Л) = $ ! (1) е-гх4 й! (1) тогда 1(х) = — ~ д(Л) е'лх с(Л.
! (2) Заметим, что формула (!) имеет смысл для любой абсолютно интегрируемой функции !. Таким образом, каждой Т ее ь,( — со, со) мы с помощью формулы (1) сопоставляем определенную функцию д, заданную на всей числовой прямой. Функция д называется преобразованием Фурье исходной функции !. Формула (2), выражающая ! через ее преобразование Фурье, называется формулой обращения для преобразования Фурье.
Следует обратить внимание на сходство между формулами (1) и (2). Вторая из них отличается от первой лишь знаком в показателе н множителем 1/(2п) перед интегралом. Можно было бы достигнуть здесь еще большей симметрии, определив д форму- лой й (Л) = = ~ 1(х) е-""" йх. ! 4/2К '$4! пРеОБРА30ВАние ФуРье, сВОйстВА и пРименения 423 4е4 теигонометеические еяды. пееовелзовхние чееье 1гл. щы Тогда формула обращения приняла бы вид т. е. различие осталось бы только в знаке показателя экспоненты. Однако прн всем их внешнем сходстве формулы (!) н (2)„ по существу, различны: в первой из них интеграл существует в обычном смысле (поскольку 1~ Е~( — ьо, ас)), а во второй, вообще говоря, лишь в смысле главного значения.
Кроме того, равенство (1) — это определен не функции д, а в равенстве- (2), представляющем собой иную запись интегральной формулы Фурье, содержится утверждение, что стоящий там справа интеграл равен исходной функции ). Как мы видели выше, для обеспечения этого равенства на !' надо наложить, помимо интегрнруемости, еще дополнительные условия, скамчем, условие Дйнн. 3 а м е ч а н и е. Мы определили преобразование Фурье д для всякой функции 1 из (.~( — со, ьо) и показали, что функция 1, удовлетворяющая условию Дйни в каждой точке, выражается с помощью формулы обращения через свое преобразование Фурье д. Это положение вещей в точности аналогично тому, которое имеется для рядов Фурье. Действительно, к о э ф ф и ц н е н-.
ты Фурье и с„= — ~ 1 (х) е-' 'вх 1 2п определены для всякой !ее Е~( — и, и), однако сходимость ряда Фурье \ с вьы (играющего здесь роль формулы обращения) можно гарантировать лишь при определенных дополнительных условиях (условие. Дйни). Вместе с тем для преобразования Фурье (как и для яда; см.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
