Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 86
Текст из файла (страница 86)
$ Б! ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Ь 4-»», »! 443 где 4 — многочлен. Подставив это выражение в (3), получим для ге уравнение гел — 2хн4' = ()» + 1) ге. Полагая н4 = а, + а,х + ... + а„х", (4) получаем равенство (2а»+3 2 а,х+ ... +п(л — 1)а„х" ')— — 2х(а, + 2«»х+ ... +па„х" ') = = ()» + 1) (а, + а,х + ... + а„х"). Сравнивая в нем коэффициенты при одинаковых степенях х слева и справа, находим, что — 2«а„=(!»+ 1) а„„вЂ” 2(п — 1) а„, =()4+!) а„ь и т.
д., вообще, й (й — 1) ໠— 2 (й — 2) а», = ()» + 1) « „,. (5) Поскольку мы считаем старший коэффициент а„отличным от нуля, должно быть р= — (2л+ 1) и а„, = О, т. е. )» должно быть нечетным целым отрицательным числом. Все коэффициенты многочлена ге определяются соотношением (5) с точностью до постоянного множителя. При этом те коэффициенты, четность индекса которых отлична от четности числа л, т.
е. степени многочлена 4е, равны нулю. Наоборот, все коэффициенты с индексами, имеющими ту же четность, что и л, отличны от нуля. Онн находятся по рекуррентной формуле А (А — !) 2А — 2л — 4 «» (если значение «„ задано). Таким образом, мы получаем формулу для 4е: 4е (х)=а х — х"- + » п — ( » л (л — !) 2 л (л — !) (л — 2)(л — 3) ) 4 4 8 хл — 4 Итак, мы построили систему функций вида 4РЛ(Х)=»Е»(Х)Е-»Ь' (П=0,1,2, ...).
Ясно, что каждая из этих функций принадлежит»,»( — ло, оо) (благодаря наличию множителя е»ч'). Вдобавок, эти функции попарно ортогональны. А(ействительно, согласно (3) имеем ~р'„' (х) — х»4р„(х) = — (2п + 1) 4р (х), 4р'„'(х) — хабр (х) = — (2т + 1)!р (х). 444 тгигономвтгичвские гяды.
пввовглзовхние выпье !гл. шн Умножив первое из этих равенств на фьь а второе — на ф„и вы- читая из одного равенства другое, получаем ф'„'ф — ф" ф„= 2 (т — л) ф„ф [ф'„ф — ф' ф„)' = 2 (т — л) ф„ф . или Если л Ф т, то, интегрируя зто равенство, получаем ~ ф (х)ф (х)лх= ~ (фф — ф ф3 Нх= Ю 1 1 / О 2(т — л) ~фафм (мфл~- Таким образом, ортогональнасть доказана. Каждый из элементов ф полученной ортогональной системы представляет собой многочлен степени л, умноженный на е- л. Следовательно, ее элементы должны, с точностью до числовых множителей, совпадать с функциями Эрмита, которые мы построили в $3 гл. Ч(! ортогонализацией последовательности е '*", хе-~л, ..., х"'е-~т в пространстве Лз( — со, ао) Покажем теперь, что функции (ф„) являются собственными функциями преобразования Фурье: гфа = спфи (6) Но преобразование Фурье, примененное четырежды, переводит каждую функцию в себя, умноженную на 4л', Поэтому с'„4лз, т.
е. с„может принимать лишь значения ~ Ч 2л и ~! Ч'2л. Это вытекает из следующих фактов. !. Уравнение (3) инвариантно относительно преобразования Р. 2. Уравнение (3) при каждом л имеет, с точностью до постоянного множителя, лишь одно решение вида Р„(х)е-"*", где Є— многочлен степени л. ~в 3. Преобразование Фурье переводит х"е-'*"в(! — „~ е "ч'= =Я„(х)е "', где Я вЂ” многочлен степени л (последнее утверждение легко проверяется по индукции). Из равенства (6) следует, что прн каждом целом л Р~ф„= сьф„. ПРЕОБРАЗОВАННЕ ЛАПЛАСА $6! Итак, преобразование Фурье г" в пространстве Т.з( — оо, оо) есть линейный оператор, который в базисе, состоящем из функций Эрмита, записывается как диагональная матрица с элементами вида -1- у'2м и ~ ! А/2п '). й 6. Преобразование Лапласа 1.
Определение и основные свойства преобразования Лапласа. Применимость преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям существенно ограничквается тем, что это преобразование определено лишь для функций, суммируемых на всей прямой. В частности, преобразование Фурье не существует для функций, растущих при х-ь — оо или х-э со, а такие функции нередко возникают при решении дифференциальных уравнений. Эту трудность можно преодолеть, распространив преобразование Фурье на обобщенные функции; об этом пути мы скажем кратко в 5 8 этой ~лавы.
Другой возможный подход, не выводящий за рамки классического понятия функции н классических методов анализа, состоит в замене преобразования Фурье так называемым п р ео бр азова н нем Л а ил а с а. Пусть функция ! (вообще говоря, не интегрируемая на всей прямой) становится интегрируемой, если ее умножить на е-тл, где у — некоторое действительное число.
Тогда интеграл д (з) = ~ ) (х) е — "" йх = — ~ ) (х) е '"Ае'и йх оказывается сходящимся для некоторых комплексных з = = Х+ гр, в частности, он сходится на прямой р = — у. На этой прямой он служит преобразованием Фурье функции ((х)е-тл. Наиболее важный для приложений случай, в котором наши предположения об интегрируемости функции ((х)е-тл выполнены, — это тот, когда ! удовлетворяет следующим условиям: ) ((х)! < Сет при хЪО, ( )(х) 0 при х<О й ') Если преобразование Фурье определить формулой г" (()== ~ г(л)Е 'А" йл 1 Ь~ зп (т. е. формулой (Г) $4, а не формулой (!)), то его четвертая степень будет единичным оператором, н в базисе, состояпгем из функций Эрмита, мы получаем для г диагональную матрицу с элементами ~! и ~!. 44Е ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ.
ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ 1ГЛ. У!ГГ (уо и С вЂ” постоянные). Интеграл д (э) = ~ г (х) е-'*" а!х = ~ ) (х) е-'" а!х о (2) ((х)еео ~ д(з) е!Ало(2, 1 2п откуда !3!+ со 1(х)= —,„- ~ д(з)е""!й (э=А+!и). (3) Поскольку функция 1(х)ео* при р — уо убывает как экспонента (в силу (1)), ее преобразование Фурье д, а значит, и д(э)е '", есть функция, аналитическая в полуплоскости 1гп э < — Хо. Сделаем теперь в формулах (2) и (3) замену переменных, положив р = оз и обозначив д(э) через Ф(р). Получим Ф (р) = ~ 1" (х) е-Р' о(х о (2') -Р+! -Р+! 1(х) = †„ $ Ф (р) ео" — Р = †, $ Ф (р) ео' г(р.
(3') -и — ! Функция Ф определена и аналитична в полуплоскостн Ке р ~ уо, она называется преобразованием Лапласа функции Е (удовлетворяющей условиям (1) ). Преобразование Лапласа по своим свойствам мало отличается от преобразования Фурье. Однако класс функций, для 'которых определено преобразование Лапласа, существенно отличен от класса Е!( — ОО, ОО) функций, для которых существует преобразование Фурье. 2. Применение преобразования Лапласа к решению дифференциальных уравнений (операторный метод). Преобразование Лапласа можно применить для отыскания решений диффе- существует при всех з = Х+ !ц, таких, что р ~ — уо, т.
е. в полуплоскости, ограниченной прямой 1гп з = — у„ и представляег собой преобразование Фурье функции 1(х)ео". Эта последняя может быть получена из д с помощью формулы обращения (мы считаем, что 1 удовлетворяет условиям, при которых эта формула применима) ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ЛАПЛАСА 447 ренциальных уравнений. Пусть дано линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами ум)+ а,у'" н+ ... +а„у =Ь(х), (4) и пусть ищется его решение, удовлетворяющее начальным условиям У(0)=Уо У (0)=У| ° ° ° Уго Н(0)=У -и (5) Прнмеяим к уравнению (4) преобразование Лапласа '), т.
е. умножнм его на е-Р" и проинтегрируем от 0 до оо. Пусть У (р) = ~ у (х) е Р" о(х о — преобразование Лапласа функции у. Интегрируя по частям, мы найдем преобразование Лапласа производной у'. ~ у'(Х)Е Рхс(Х=У(Х)Е-Р" ~ + р( у(Х)Е Р" Гтк=ру(р) — УО. о о Применяя эту формулу последовательно, найдем у'")(х)е Ркгух=р(р" 'У(р) — у — ру а — ... — р" туо) — у о «-! — Р"У (Р) У -~ РУ -т ° ° ° Ра Уо — Р"У (Р) ~х», Р" Уа. Пусть, наконец, В (р) = ~ Ь (х) е Р" с(х.
о В итоге преобразование Лапласа переводит дифференциальное уравнение (4) (с учетом начальных условий (5)] в алгебраическое авненне ур а (Р) + К (Р) У (Р) = В (Р), где  — преобразование Лапласа функции Ь, () — многочлен от р степени л — 1, зависящий от коэффициентов уравнения и от начальных данных. Наконец, )т= Е а„ар", ао=! а о — характеристический многочлен уравнения (4). ~) Нетрудно показать Законность его применения к уравнению (4), если )Ь(х) ) растет не слишком быстро, 44В ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ, ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ ~ГЛ УП! Из полученного уравнения находим в (р) — а (р) и (р) Решение у получается отсюда по формуле обращения у(х) = — р) ер'ар.
2лг 3 и (р) Этот интеграл обычно вычисляется с помощью вычетов. Для решения линейных дифференциальных уравнений с постояннымн коэффициентами известен так называемый операт о р н ы й м е т о д. Он состоит в том, что в таьом уравнении у<"'+ а,ум " + ...
+ а„у = — а (х) левая часть рассматривается как результат применения к неиз- вестной функции д оператора Ил ал-! А~ — /= — „+ а,— „, + ... +а„, (6) й 7. Преобразование Фурье — Стилтьеса 1. Определение преобразования Фурье — Стилтьеса. Вернемся снова к преобразованию Фурье в пространстве (.1( — оо, оо): Ю д (й) = ~ Е -'А") (х) Г(Х. а решение уравнення — как применение к его правой части уравнения оператора, обратного к опеоатору (6). Результат применения такого оператора к некоторым простейшим функциям— тригонометрическим, показательным, степенным и их комбинациям — нетрудно найти с помощью непосредственных вычислений. Это дает возможность автоматически выписывать решение линейного уравнения с постоянными коэффициентами, если его правая часть представляет собой комбинации таких функций.
Ясно, что операторный метод можно истолковать как применение в неявной форме преобразования Лапласа (устанавливающего определенное соответствие между алгеброй дифференциальных операторов вида (6) и алгеброй многочленов), что как раз и можно рассматривать как обоснование этого метода, часто фигурирующего в технической литературе в виде некоторого «рецепта». 4!9 пгеоеялзовхние ФуРье — стилтьесл Эту формулу можно переписать в виде интеграла Римань— Стилтьеса д(Х) = $ Е-!Лкг(Г (Х), (1) где х г' (х) = ~ 1(1) г(г (2) — абсолютно непрерывная функция с ограниченным изу снением - ...е -,-.,е -.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
