Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 85
Текст из файла (страница 85)
(11) Иначе говоря, можно перейти от функции а переменных к ее преобразованию Фурье, последовательно выполняя преобразования по каждой из переменных в отдельности (в любом порядке). Обращая последовательно каждую из и операций в правой части равенства (!1), получим формулу )Се'"п п21З. ~е л — 1 и-~ 2Ц~ ... ~е 1 ~2Ц, Ее можно переписать в виде и-кратного интеграла 1(хо х„ ..., хп) = — 1 ... 1 а(ло йм ..., Х,) е ("' '+"' ' " + " ')2й, ... С1л„, (12) (Ея) л однако, поскольку функция д(1И, Х2,, Х ), вообще говоря, не обязана быть суммируемой по всему К", нужно указать, в каком смысле следует понимать этот интеграл и те условия на 1(хь х2, ..., х ), при которых она представляется интегралом (12).
Один из возможных ответов на эти вопросы дает следующая теорема. В 41 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЪЕ, СВОИСТВА и ПРИМЕНЕНин лзт Теорем а 1. Лусть функция 1(хь хг, ..., х„) интегрируема по всему пространству Кп и удовлетворяет условиям: 11(х, +гн хг, ..., хл) — )(х„х„..., хл)1~(С11, /', 1 1 (х> хг + Аг > хл) 1 (х>> хг хп) 1(С (х~)1 11(х> хг ° ° ° хл+ сп) 1(х> хъ ° ° ° хп) 1~~ (~С (Х>, Хг > Хл >)1тп (и, где (13) О ( а ( 1, ~ С (х,) ах, < со, С (хн хг, .
° °, хп — >) ах> с(хг ... дхп > ( оо, Тогда формула обращения (12) справедлива, если интеграл в ней понимать как и, ил, ип (й )л 11Гп ~ ° . ° 11пл ~ 11БП ~ у(ЛП Л„..., Лл) )С -и ип-> -и ил и л-> л )(е "л л с(Л, )(е л-> и — > аЛ ~(е~~> > с(Л Действительно, поскольку 1(хь хг, ..., хп) суммируема в К", то в силу теоремы Фубини она суммируема по х> при почти всех хг,..., х„. Следовательно, существует функция ), (Лн хг, ..., хл)= ~ ) (х„хг, ..., хп) е "'л с(хн Из (!3) следует, что ~(хь хг,..., хп) как функция ог х, удовле- творяет условию теоремы 1 $3; поэтому 1(хь хг,..., х„) можно выразить через 1'1 по формуле обращения и> ~(хи хе, ..., хл)= 11сп — зл ~~(ЛП хг, ..., хп)е > с(Л, ыл гп,) -и, Далее, если мы положим 1г(ЛИ Лг «г > хп)= ~ )~()лн хг, ..., хп)е '"л дхг, > 438 тРигОнОметРические Ряды. пРеОБРА30ВАние ФРРье !гл. Унг то из условия (13) следует, что для )~ справедлива формула обращения и~ 1 (Л х2, ° .
х) — 1!ш ~ 6(Л Л ... х)е Ю2 1 и,.+ ю ~(хих2, ..., х)= и, и, = н — ( !! и — ( АРМ ч, ..., *2 ' ю„~,«' а,. 2п з (у 2п -и, ' -ю Определив аналогичным образом )2(ЛИ Л2, Л,..., х,) и т. д., мы н придем к формуле (!2). Преобразование Фурье функций нескольких переменных широко используется в теории уравнений с частными производными. Рассмотрим, например, уравнение ди д'и д'и дГ дк2 + ду' ' (14) описывающее процесс распространения тепла в плоскости. Пусть в момент ! = О температура задана: и(Э, х, у)=ио(х, у). Наложив на искомое решение уравнения (14) условия, аналогичные тем, которые указаны в п.
6, мы можем сделать в уравнении (!4) преобразование Фурье по переменным х и у. В результате получям обыкновенное уравнение да (Л2+ о2) о где и(1, Л, о)= ~ ~ и(1, х, у)е ЫА*+Ру~г(хг(у. Решив уравнение (15), можно затем найти решение исходного уравнения (14) с помощью формулы обращения. % б. Преобразование Фурье в пространстве Ь2( — ОО, ОО) 1. Теорема Планшереля. Вернемся сначала к тем результатам, которые мы получили для рядов Фурье.
Для большей аналогии с преобразованием Фурье будем рассматривать ряд Фурье в комплексной форме, т. е. возьмем на отрезке [ — и, и) полную ортогональную систему функций е'"', и = О, +-1, -~-2, ... и ка- $5~ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Ал-< ) 439 ждой суммируемой на отрезке ( — л, л) функции 1 мы поставим в соответствие последовательность ее коэффициентов Фурье л с„= — „~ 1 (х) е '"" дх (и = О, ~ 1, ~ 2, ...), Если функция 1' не только суммируема, но и имеет суммируемый квадрат, то ее коэффициенты Фурье удовлетворяют условию ! с„ Г ( оо. Иначе говоря, переход от суммируемой с квадратом функции к совокупности ее коэффициентов Фурье есть отображение евклидова пространства Е, на евклидова пространство 1л причем это отображение линейно и удовлетворяет равенству Парсеваля л 2л ~ |с„~= ~ ~ ~(х)(гйх (т.
е. этот переход отличается лишь числовым множителем от преобразования, сохраняющего норму). Обратимся теперь к преобразованию Фурье для функций, заданных на всей прямой, н посмотрим, нельзя ли это преобразование трактовать как некоторый линейный оператор в комплексном пространстве Ет( — со, со). Основная трудность состоит здесь в том, что функция с интегрируемым квадратом иа прямой не обязана принадлежать Е1( — со, со), т. е. преобразование Фурье в смысле, определенном в з 4, может для нее и не сушествовать. Однако для всякой 1 ен Ет( — со, со) можно определить преобразование Фурье в несколько ином смысле. При этом получается следующая теорема, которую можно рассматривать как аналог равенства Парсеваля (1).
Теорема (Пл а ншер ель, 1910 г ). Для всякой функции 1 ее Ез( — со, со) интеграл йн(Х)= ~ 1(х)е 'Алак при любом И представляет собой функцию от А, принадлежасцую к Ез( — со, со), При Л~-э со функции лн сходятся в иетрике пространства Ее к некоторому пределу д, причем (2) 440 ТРигономстРические Ряды пРеОБРА30ВАние ФуРье 1гя. чп! Эту функцшо и назьсвают преобразованием Фурье функции 1' я Ев Если 1" принадлежит также и к Е|( — ьо, ьь), то соответствуюи4ая функция д совпадает с преобразованием Фурье функции 1' в обычном смысле.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Основная идея доказательства состоит в том, что равенство (2) устанавливается сперва для всех функций, принадлежащих классу 5 бесконечно дифференцируемых быстро убывающих функций, которые всюду плотны в Ет( — ьо, Фь), а потом распространяется по непрерывности на все Еэ( — ьь, ьо). Реализуем теперь эту идею в деталях. 1) Пусть 1ь гз ~ 5 .
Обозначим через й~ и дт соответственно их преобразование Фурье. Имеем 1,(х))т(х)д„= $ ' ~ (у,(З)е""дЛ1)т(х)дх ~Г (Л) ~Р ( (х)е-'А" Е лЛ= — ~ В,(Л)вэ(Л) лЛ, причем изменение порядка интегрирования здесь законно, поскольку функция д, (Л) 1т(х) епх абсолютно интегрируема в плоскости (х, Л). Положив в полученном равенстве 11 — — )з — — 1 и й~ — — дт = д, получим, что формула (2) верна для любой функции 1' ен 5 . 2) Пусть теперь 1 — произвольная функция из Ет( — оь, оь), обращающаяся в нуль вне некоторого интервала ( — а, а). Тогда интегрируема на интервале ( — а, а) (т. е, принадлежит Е, ( — а, а) ), а следовательно, и на всей прямой. Поэтому для нее определено преобразование Фурье д(Л)= ~ 1(х)е-м" дх.
Пусть теперь ()4 — последовательность функций из 5, обращающихся в нуль вне ( — а, а), и сходящаяся по норме пространства Ет( — ьь, ьь) к 1. Поскольку 1 и все )„отличны от нуля лишь иа конечном интервале, последовательность (1'4 сходится к ( и по норме пространства Е~( — ьь, ьь). Поэтому (см. п. 2 $4) последовательность (д4 сходится к д равномерно на всей прямой. Кроме того, последовательность (у4 фундамен- $51 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ В ПРОСТРАНСТВЕ Ы[-Ю.
~) 441 талыга в 1.г( — оо, со). Действительно д„— д ее 3, поэтому в силу уже доказанного О ~ ) д„(Х) — д (д) ~гЖ=2п ~ ~1„(х) — 1 (х) рдх, откуда и следует фундаментальность последовательности (д„). Значит, эта последовательность сходится в А.г, причем к той же самой функции д, к которой оиа сходится равномерно. Поэтому в равенстве !! 1, Р= —.!! а. Р г можно перейти к пределу при л-ь оо. Таким образом, получаем, что равенство (2) справедливо для каждой 1 ее А.г, обращающейся в нуль вне некоторого интервала. 3) Пусть, наконец, 1 — произвольная функция из 1.г.
Положим 1(х) при ~х!(М, О при 1х1> М. Ясно, что ~!1 — 1и) О при М- со. Функция 1и принадлежит ).~( — со, оо), следовательно, для нее существует обычное преобразование Фурье. Оно равно ди (Х) = ~ 1, (х) е-'А" г( х = ~ 1 (х) е 'А" Нх. Поскольку в силу пункта 2) наших рассуждений 1 1~1и — 1м ~Р = —,~ 1! йи — йм!Р функции пи сходятся в Ег к некоторому пределу, который мы обозначим а. Поэтому в равенстве 11 1и 11' = ~„~~ йи ~Р 1 можно перейти к пределу при М-ьсо, откуда получаем соотношение (2) для произвольной 1 е- :г'.г( — оо, со).
Первая часть теоремы Планшереля доказана. Если теперь функция 1 принадлежит как А'.г( — оо, оо), так и Х.,( — оо, оо), то для иее существует преобразование Фурье д(Х) = ~ 1(х)е-"'с(х, 442 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (ГЛ. У!П понимаемое в обычном смысле. При этом функции 5 сходятся к ) в Е1( — оо, сю) и, значит, их преобразования Фурье пн сходятся к а равномерно. Но, кроме того, как мы установили, функции ан сходятся в метрике Ет( — оо, оо) к некоторому пределу, который мы обозначили д, Отсюда следует, что а совпадает с д.
Доказательство закончено. С л едет в и е. Из соотношения (2) сразу вытекает, что для любь1х )1, (2 ~ Ек( — оо, оо) выполнено равенство 1 11 (х) 1 (х) с(х 1 к1 ()(') кя (Л) с(Л Для доказательства достаточно написать равенство (2) для функции (1+(2 и затем сравнить выражения справа и слева. Если равенство (2) означает сохранение нормы в Ет при преобразовании Фурье, то последнее равенство означает сохранение скалярного произведения.
2. Функции Эрмита. Теорема Планшереля, изложенная в предыдущем пункте, означает, что преобразование Фурье можно рассматривать как ограниченный линейный оператор г", отображающий пространство Е2( — оо, сю) на себя. Если в этом пространстве выбрать какую-либо полную ортогональную нормированную систему, то оператор г" (как и любой другой линейный оператор) можно записать с помощью бесконечной матрицы. Вид этой матрицы зависит, конечно, от выбора базиса.
Проще всего матрица, отвечающая тому или иному оператору, выглядит в том случае, когда соответствующий базис состоит из собственных функций данного оператора: в этом случае матрица имеет диагональную форму. Посмотрим, существует ли такой базис для преобразования Фурье Рр Иначе говоря, посмотрим, какие функции из Е2( — оо, со) являются собственными для преобразования Фурье гз Для этой цели заметим, что уравнение аз( — „„~ — Хя( = )2) переводится преобразованием Фурье в такое же уравнение') ( поскольку операция †„„, переходит в умно>кение на 2 а умножение на — х — в операцию — „, ~.
Поэтому естественно 2 искать собственные функции оператора г" как решения уравнения (3). Будем искать решения этого уравнения, имеющие вид ( — П(Е-222 ') Предполагается, конечно, что неизвестная функция ( удовлетворяет соответствуюц(им условиям гладкости и убывания на бесконечности.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
