Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Точнее говоря, преобразование Фурье есть линейный оператор, переводящий пространство. К в пространство а'„элементами которого служат целые аналитические функции ар, для каждой из которых выполнены неравенства ! э !а~ ф (т) ~ » С еа !Т! (д 1 2 ) где т = 1гп э, а С и а — постоянные, зависящие от функции ф Поскольку в пространстве К было введено понятие сходимости, отображением Р, переводящим К в е, индуцируется некоторое понятие сходимости в е: последовательность (ф„) сходится в л к ф, если соотношение ф -+ф выполнено для соответствующих прообразов, Впрочем, это понятие сходимости нетрудно сформулировать и не пользуясь пространетвом К ').
Пусть теперь ) — произвольный элемент из К'. Поставим ему в соответствие линейный функционал д на 2, положив (д, ф)=2п(), Ф), где ф=г')Ф), Этот функционал д мы назовем преобразованием Фурье функционала ). Таким образом, преобразование Фурье обобщенной функции ) над основным пространством К есть обобщенная функция над У, т. е. над тем пространством, в которое К переводится преобразованием Фурье, понимаемым в обычном смысле. То же самое построение проходит и для обобщенных функ. ций над какими-либо иными пространствами основных функций. При этом каждый раз будет возникать схема, включающая в себя четыре пространства: некоторое исходное пространство основных функций, совокупность преобразований Фурье этих функций (т.
е. второе пространство основкхйх функций) и два сопряженных пространства. Пространство обобщенных н ПРостРанство преобрлзо— наний Фурье обобщенных функций ункций ! Пространство преобразований Фурье основных функций Пространство основных ! функций Эта схема сводится к двум пространствам, когда за основное пространство принимается Я, поскольку оно переводится преобразованием Фурье само в себя. Понятие преобразования Фурье для обобщенных функций нашло широкое применение в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Читатель может ознакомиться с этими вопросами, например, по книге Г.
Е. Шилова [52). ') Именно, ф -«О в Л, если при фиксированных Ст(д =!, 2, ...) н а выполняются неравенства ) зефл (3) ) и С, ел) и ф — «О равномерно на каждом конечном интервале действительной оси. ) а) првоврлзовлнив фурье ововшенных Функции 4ББ гланд !х ЛИНЕИНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ $1. Основные определения. Некоторые задачи, приводящие к интегральным уравнениям 1. Типы интегральных уравнении. Интегральным уравнением называется уравнение, которое содержит неизвестную функцию под знаком интеграла. Таково, например, уравнение р(з)=) К(з,!)рФ 11+)(з), й где ! и К вЂ” известные функции, а ~р — искомая. Переменные з н ! пробегают здесь некоторый фиксированный отрезок (а, 6). Характерная особенность уравнения (!) — его линейность: неизвестная функция ф входит в него линейно.
Ряд задач приводит и к нелинейным интегральным уравнениям, например, к уравнениям вида где К и д — заданные функции. Мы, однако, во всем дальнейшем ограничимся линейными уравнениями. Отдельные интегральные уравнения рассматривались еще в начале прошлого столетия. Так, еще в !823 г. Абель рассмотрел уравнение носящее теперь его имя. Здесь ! — заданная функция, а ф —. искомая.
Абель показал, что решение этого уравнения имеет вид а (г — ю)1 о ОСНОВНЫЕ ОПРЕДЕЛЕНИЯ 457 Однако общая теория линейных интегральных уравнений была построена лишь на рубеже Х1Х и ХХ столетий, в основном в работах Вольтерра, Фредгольма и Гильберта. Уравнение (1) называется уравнениеч Фредгольма второго рода (ср. п. 4 2 4 гл.
П), а уравнение (2) (в котором неизвестная функция ~р содержится только под знаком интеграла) — уравнением Фредгольми первого рода Упомянутое выше уравнение Абеля относится к так называемым уравнениям Вольтерра; общий вид этих уравнений таков: ~ К (з, 1) т (1) с(1 = 7 ( з) а (3) (уравнение Вольтерра первого рода) или ~р(з) = ~ К(з, 1)~р(1) с(1+ 7(з) а (4) (уравнение Вольтерра второго рода). Ясно, что уравнение Воль~ерра можно рассматривать как уравнение Фредгольма, в котором функция К удовлетворяет условию К(з,1)=0 при 1) е. Однако уравнения вольтеррова типа целесообразно выделить в особый класс, поскольку они обладают рядом существенных свойств, отсутствующих у произвольных фредгольмовых уравнений.
Если в уравнениях (!), (2) или (3) функция 7 равна нулю, то такое уравнение называется однородным. В противном случае уравнение называется неоднородным. 2. Примеры задач, приводящих к интегральным уравнениям. В дальнейших параграфах этой главы мы рассмотрим основные свойства линейных интегральных уравнений, но сначала мы опишем нескольно задач, приводящих к таким уравнениям. !. Равновесие нагруженной струны. Рассмотрим струну, т.
е. упругую материальную нить длины 1, которая может свободно изгибаться, но оказывает сопротивление растяжению, пропорциональное величине этого растяжения. Пусть концы струны закреплены в точках х = 0 и х = 1. Тогда в положении равновесия струна совпадает с отрезком оси х, 0 < х < 1. Предположим теперь, что в точке х =- я к струне приложена вертикальная сила Р = Рь. Под действием этой силы струна отклонится линеиные интегоальные уРАВнения )гл !х от положения равновесия и примет, очевидно, форму ломаной изображенной на рис. 23.
Найдем величину б отклонения струны в точке а под действием силы Ры приложенной к этой точке. Если сила Рэ мала по сравнению с натяжением ненагруженной струны Т,, то горизонтальную проекцию натяжения нагруженной струны можне по-прежнему считать равной То. т=4 д Тогда из условия равновесита струны получаем равенство: й й Р То — „+ То =Ры е откуда Рис.
23. (! — е)е Р Пусть теперь и(х) — прогиб струны в некоторой точке х под деяствием силы Рь Тогда и (х) = РаС (х, ь), где при 0(х(~$, х (! — $) 6(.,0= (,'„'), при $е х- й О Из этих формул сразу видно, в частности, что С(х, й) = 6 Д, х) Предположим теперь, что на струну действует сила, распределенная по ней непрерывно, с плотностью р(е). Если эта сила мала, то деформация зависит от силы линейно, а форма нагруженной струны описывается функцией ! и (х) = ~ 6 (х, е) р(й) сЦ.
(бр о Итак, если задана нагрузка, действующая на струну, то формула (5) позволяет найти форму, которую примет струна под действием этой нагрузки. Рассмотрим теперь обратную задачу: найти то распределение нагрузки р, при котором струна примет заданную форму и. Мьг получили для нахождения функции р по заданной и уравнение„ которое с точностью до обозначений есть уравнение (2), т е интегральное уравнение Фредгольма первого рода. 2. Свободные и вынужденные колебания струны.
Предположим теперь, что струна совершает какие-то колебания. Пусть. и(х, !) — положение в момент Г той точки струны, которая- имеет абсциссу х, и пусть р — линейная плотность струны '). На ') Мы полагаем, что р = сопы, хотя это н несунгестиеиио для дальнейшего. 459 основныв опявдвлгния элемент струны длины дх действует сила инерции, равная — р дх, откуда р($) = — '; р. дси (х, с) д'и Д, с) 'Подставив это выражение вместо р(в) в формулу (5), мы получим ! а(х, с)= — ~ О(», $)р .,' сЦ.
(6) о Предположим, что струна совершает гармонические колебания < некоторой фиксированной частотой сь и амплитудой и(х), зависящей от х. Иначе говоря, пусть и(х, С)=и(х) зсп сад Подставив это выражение в (6) и сократив обе части равенства сна зсп сьС, получаем для и следуюсцее интегральное уравнение: и (х) = рсьз ~ 0 (х, в) а Д) с! з. о (7) Если струна совершает не свободные колебания, а вынуждентные, под действием внешней силы, то, как показывает несложчсая выкладка, соответствующее уравнение гармонических колебаний струны будет иметь вид с и (х) = рсь' ~ 0 (х, К) и (В) д 9 + С (х), ь т. е. будет неоднородным уравнением Фредгольма второго рода.
3, Сведение дифференциальных уравнений к интегральным. Иногда решение дифференциального уравнения целесообразно юводить к решению интегрального. Например, доказывая существование и единственность решения дифференциального уравнения и'=)(х, у) ю начальным условием у(ха) = уи, мы видели (в гл. П), что его удобно свести к интегральному уравнению (нелинейному) и Такое сведение возможно и для дифференциальных уравнений порядка выше первого. Рассмотрим, например, уравнение второго порядка й'" + ) (х) у = О.
)гл. пс лингиные интеггьльные эгьвнеиия 460 Положив 1(х) = р' — о(х), где р = сопя(, запишем его так: у" + р'у = а(х) у. (8) Как известно, решение уравнения у + рту =к(х) с начальными условиями у(а) = уь, у'(а) = у' можно предста. вить в виде к 'и (х — а) у(х)=.уьсозр(х — и)+ "' '" " + — з1пр(х — ьь)й($)ь(~.. Р! О Поэтому нахождение решения уравнения (8) с теми же начальными условиями сводится к решению интегрального уравнения у (х) — — о (ь) гйп р (х — $) у ($) йз = Р 3 а =уьсозр(х — а) + Р', Мп р (к — а) Р ф (з) = ~ К (з, 1) ф (1) д1+ 1(з).
ь Все встречающиеся здесь н ниже функции мы будем предполагать, вообще говоря, принимающими к о м п л е к с н ы е значения. Относительно функции К, называемой ядром этого уравнения, мы предположим, что она измерима и принадлежит классу Ет на квадрате а - з, 1 ~ Ь: ь ь ~ ~(К(з, 1) гдзд1 < оо. (2) Свободный член 1 уравнения (1) — это некоторая заданная функция из Ц(а, Ь), а ф — неизвестная функция из ~,(а, Ь), Ядра класса Ьь называются ядрами Гильберта — Шмидта, Сопоставим уравнению (1) оператор А, определяемый равенством: Аф = ф это означает, что ь ~ К (з, 1)ф(1) '1=ьг'(з) (8) ь й 2. Интегральные уравнения Фредгольма 1.
Интегральный оператор Фредгольма. В этом параграфе мы будем рассматривать уравнения Фредгольма второго рода, т, е, уравнения вида 4б1 интеГРАльные уРАВНеНИЯ ФРЕДГОЛЬМА $21 /ь ь [!А!!я=''~/ ~ ~! К(е, 1)[гдэд1. а а (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Заметим прежде всего, что интеграл ь ~ ! К (з, 1) (г сй а существует а силу теоремы Фубини и условия (2) для почти всех з. Иначе говоря, К(з,1) как функция от 1 при почти всех з принадлежит 1.2[а, Ь!. Так как произведение функций с суммируемым квадратом суммируемо, то интеграл, стоящий в (3) справа, существует для почти всех з, т. е. функция 2Р определена почти всюду. Покажем, что ф ~ (.2[а, Ь!.
В силу неравенства Коши — Буняковского для почти всех в имеем ь 2 Ь ь )ф(з) 'г= ~ К(з, 1)яг(1)сй -'~ ! К(з, 1) гагЙ ~! ~р(1) [гсй= ь =[[т!Р$ ! К(з, 1) [22Й. а Интегрируя по з и заменяя повторный интеграл от [К(з,1) [г двойным, получим неравенство ь ь ь [[Ар!Р= $)ф(в) ['дзЮ! р[['~ ~! К(в, 1)!г зд( а а а которое дает и интегрируемость [гр(з) [г, и оценку (4) для нормы оператора А. Остается показать, что оператор А компактен.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
