Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 92
Текст из файла (страница 92)
Итак, действительно„ при 1Л) ( 1/й оператор (/ — ЛА) ' есть сумма единичного оператора / и компактного оператора ЛГ(Л) с ядром ЛГ (з, /; Л) = ,'". Л"К„(з, /). Условие )Л) ( 1/й достаточно для сходимости ряда (6), но вовсе не необходимо. В некоторых случаях этот ряд может оказаться сходящимся даже при всех значениях Л. Например, если А — оператор вольтеррова типа с ядром, удовлетворяющим условню )К(з, /)!«М, то, как показывает прямой подсчет, для итерированных ядер К„(з,/) справедлива оценка: М" (Р— а)" 1К„(з, /)1< ( откуда следует сходимость ряда (6) при любом Л. Однако, вообще говоря, степенной ряд (6) имеет некоторый конечный радиус сходнмости. В то же время уравнение ~р = = ЛАгр+ / имеет решение прн всех Л, кроме конечного или счет'ного числа значений, именно таких, что 1/Л есть собственное значение оператора А.
Фредгольм показал, что для интегрального оператора А, определяемого о г р а н и ч е н н ы м н н е и р ср ы внии 'ядром К(з, /), решение уравнения гр = ЛА~р+/ может быть найдено следующим способом. Введем обозначение К(з, /) . К(аи 1.) (:,'.::)- К (з„, /,) ... К(з„, /„) и определим функции 0(Л) н 0(8,1;Л), называемые, соответственно, детерминпнтом Фредгольмп и минором Фредгольмп, формулами: ь ь ь а(й)=) — к(к(~')а(, ~- —" ,((к(„' ')ааааа ... а а а ь ь -)- ( — ))" —, ( ... ! к ( )а(, ...
а(, -~- ..., (7) а а ь ь ь аа,ал)=к(,')-((к(', ')а(,+а((к(,'!' ')а(,аи+... ь ь -(-( — ))' — „, ( ... (к( )а(, ... а)„-(- ... (8) а й Тогда для интегрального уравнения (р (з) = Л ~ К (з, 1) (р (7) сй + 1 (з) й резольвентное ядро дается формулой Г(з, 1; Ц=Л"'':," 0 (Л) и решение записывается в виде ф(з)=1(з)+Л~ ~(;(Л)") Г(1)д1 й (9) для всех значений Л, таких, что 1/Л не есть собственное значение интегрального оператора А, отвечающего ядру К(8,1). При этом 0(Л) и 0(я,(; Л) представляют собой целые аналитические функции параметра Л и 0(Л) = 0 в том и только том случае, если 11Л есть собственное значение интегрального оператора А.
Как показал в !92! г, Т. Карлеман, формулы (7), (8) и (9), полученные Фредгольмом в предположении непрерывности ядра К(з, 1), остаются в силе и для любого ядра с и н т е г р и р у егл ы м к в а д р а т о м. Мы не будем приводить здесь выводы формулы (9) и формул (7), (8) '). ') См. т С а г1 си) а п, Еиг Тасос(е (1ег !п1еата!Е1е!сьппяеп, Мане 2е!1ьсаг. 9 (192!), 196 — 217, а также г. 8 го!1 Ь ! ее, Тае ггеано1п) Шеогу о! !п!еата! еяпа1!опа, Вп(ие Мань 2опгпа1, 8 (1941), 107 — ! ЗО.
Вывод формул (7), (8) и (9) см. в киигая (35) и (461. за! ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ. СОДЕРЖА(ЦИЕ ПАРАМЕТР 479 ГЛАВА Х ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ В тех вопросах функционального анализа, которыми мы занимались в предыдуших главах, основную роль играли понятия линейного функционала и линейного оператора. Однако некоторые задачи, возникающие в функциональном анализе, носят существенно нелинейный характер; они приводят к необходимости развивать наряду с «линейным» и «нелинейный» функциональный анализ, т.
е, изучать нелинейные функционалы и нелинейные операторы в бесконечномерных пространствах. К пелиней~ому функциональному анализу относится, по существу, такая классическая область математики, как вариациопное исчисление, основы которого были заложены еще в ХЪ'11 — ХЪ'1П вв. в работах Бернулли, Эйлера, Лагранжа.
Однако в целом нелинейный функциональный анализ представляет собой сравнительно новую область математики, пока еще далекую от своего завершения. В этой главе мы изложим некоторые первоначальные понятии, относящиеся к нелинейному функциональному анализу, в основном к теории дифференцирования, и некоторые применения этих понятий, й 1. Дифференцирование в линейных пространствах 1. Сильный дифференциал (дифференциал Фреше). Пусть Х и У вЂ” два нормированных пространства и Р— отображение, аействующее из Х в У и определенное на некотором открытом тодмножестве О пространства Х.
Мы назовем это отображение 5иф«реренцирремь«м в данной точке хеп О, если существует та<ой ограниченный линейный оператор С еп л'."(Х, У), что для шобого е ) О можно найти 6 ) О, при котором из неравенства 1~й1( б следует неравенство !| Р (х + И) — Р (х) — Ь „й 1 ~( в ~( й 1, (!) То же самое сокращенно записывают так: Р(х+ й) — Р(х) — У„й= (й). (2) Из (1) следует, что дифференцируемое в точке х отображе«ие непрерывно в этой точке, Выражение Е,й (представляющее $ и ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ЛИНЕЙНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 431 собой„очевидно, при каждом й ееХ элемент пространства У) называется сильным дифференциалом (или дифференциалом Фреиге) отображения Р в точке х.
Сам линейный оператор Т., называется производной, точнее, сильной производной отобрамсения Р в точке х. Мы будем обозначать эту производную символом Р'(х). Если отображение Р дифференцируемо в точке х, то соответствуюгцая производная определяется единственным образом. В самом деле, равенство ~(Т.,й — Т.гй~( = о(й) для операторов Тн ~.У(Х, У), 1= 1,2, возможно, лишь если т.1 = Тг. Установим теперь некоторые элементарные факты, непосредственно вытекаюшие из определения производной.
1. Если Р(х)= уь = сопз1, то Р(х)— = 0 (т, е. Р(х) в эточ случае есть нулевой оператор). 2. Производная непрерывного линейного отображения Е есть само это отображение: А'(х) = А. (3) Действительно, по определению имеем с (х + й) — Т. (х) = (.(й). Несколько менее очевиден следующий важный результат. 3. (Производная сложной функции), Пусть Х, У,Я вЂ” три нормированных пространства, (т(хь) — окрестность точки хь ~ Х, Р— отображение этой окрестности в У, уо = Р(хо), У(уо)— окрестность точки уь ее У и 6 — отображение этой окрестности в с. Тогда, если отображение Р дифференцируемо в точке хм а 6 дифференцируемо в точке уь, то отображение Н = ОР (которое определено в некоторой окрестности точки х,) дифференцируемо в точке хь и Н' (хь) = 6' (уь) Р' (Аь). (4) Действительно, в силу сделанных предположений Р(х, + 5) = Р(хь)+ Р'(хь) $+ о, ($) и 6 (уь + 11) = 6 ЬО) + 6 (уь) з1 + 02 (Ч) Но Р'(х,) и О'(уь) — ограниченные линейные операторы. Поэтому Н (х, + е) = О Ьо + Р (хь) $ + о~ ($)) = 6 (уо) + О' Ьо) (Р' (хо) з + -)- о, (ь))+ от(Р'(хо) ь+ о1 (ь)) =6(уь)+ 6'Ьо) Р'(хо) ь+ оэ(ь).
(Проведите аккуратную выкладку с а и Ь). Если Р, О и Н вЂ” числовые функции, то формула (4) превращается в известное правило дифференцирования сложной функции. элементы диееегвнциольного исчисления [гл. х 482 4. Лусть Р и 6 — два непрерывных отображения, действую- и(их из Х в У. Если Р и 6 дифференцируемы в точке хо, то и отображения Р+ 6 и аР (а — число) тоже дифференцируемы в этой точке, причем (Р+ 6)'(х,) = Р'(хо) + 6'(хо) (5) (6) (аР)'(х,) =аР'(хо). Действительно, из определения суммы операторов и произведения оператора на число сразу получаем, что (Р+ 6) (хо+ Ь) = Р (хо+ Ь) + 6 (х, + Ь) = = Р (хо) + 6 (х,) + Р' (хо) Ь + 6' (х,) Ь + о, (Ь) ар (то + Ь) = а Р (хо) + аР' (то) Ь + ог (Ь) откуда следуют равенства (5) и (6).
2. Слабый дифференциал (дифференциал Гата). Пусть снова Р есть отображение, действующее из Х в У. Слабым дифференциалом или дифференциалом Гата отображения Р в точке х (при приращении Ь) называется предел РР(х, Ь) = — Р(х+ гЬ) ~ =!ггп Ж и-о гоо где сходимость понимается как сходимость по норме в пространстве У. Иногда, следуя Лагранжу, выражение РР(х, Ь) называют первой вариацией отображения Р в точке х.
Слабый дифференциал РР(х, Ь) может и не быть линеен по Ь. Если же такая линейность имеет место, т. е. если РР(х, Ь)=Р',(х)Ь, где Р;(х) — ограниченный линейный оператор, то этот оператор называется слабой производной (или производной Гаго). Заметим, что для слабых производных теорема о дифференцировании сложной функции, вообще говоря, неверна.
(Приведите пример!) 3. формула конечных приращений. Пусть Π— открытое множество в Х и пусть отрезок (хо, х] целиком содержится в О. Пусть, наконец, Р есть отображение Х в У, определенное на О и имеющее слабую производную Р; в каждой точке отрезка (хо, х1 Положив гхх = х — хо н взяв произвольный функционал ф ен У', рассмотрим числовую функцию 1 И) = ц (Р(хо+ (бх)), 5 11 диееегенциговхиие в линепных пвостгхнствхх 4ЗЗ определенную при 0 =(~~1.
Эта функция дифференцируема по (. Действительно, в выражении (((+ М) — 1(0 г Г(х, + 1 ах+ з! зх) — г" (хо+ !ах)) =во! М можно перейти к пределу под знаком непрерывного линейного функционала оо. В результате получаем 1'(() = во(г";(хо+ (Лх)Лх). Применив к функции Ц на отрезке (О, 11 формулу конечных приращений, получим 1(1)=1(0)+ 1'(8), где 0(Оч.-.!, т. е. ф(Р(х) Е(хо)) = оо(Р'с (хо+ О Лх) Лх). (7) Это равенство имеет место для любого функционала 4о еп У* (ве- личина О зависит, разумеется, от ~Г). Из (7) получаем ! ~р(г" (х) — Р(хо)) ((Ц р(1 зцр Ц г";(хо+ О Лх) Ц ((ЛхЦ. (8) око<1 Выберем теперь ненулевой функционал ф так, что ф(Р(х) — Е(хо)) =Цф Ц ° Ц Е(х) — Е(хо) Ц (такой функционал оо существует в силу следствия 4 теоре- мы Хана — Банаха (см. п.
3 5 1 гл. !Н)). При этом из (8) по- лучаем Ц г" (х) — Е(хо) ((ч.= зпр Ц г;(хо+ О Лх) Ц Ц ЛхЦ (Лх =х — хо). (9) о<о<~ Это неравенство можно рассматривать как аналог формулы ко- нечных приращений для числовых функций. Применив формулу (9) к отображению х-о Е(х) — Е;(хо)Лх, получим следующее неравенство: (! Р (х) — Р (хо) — Р,' (хо) Лх (1( зцр Ц Р",' (хо + 8 Лх) — Р,' (хо) Ц Ц Лх )1. о<вы~ (10) 4. Связь между слабой и сильной днфференцируемостью. Сильная и слабая дифференцируемость представляют собой раз- личные понятия даже в случае конечномерных пространств.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
