Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 94
Текст из файла (страница 94)
[! х' [! при всех х, х' ~ Х. Первое из этих условий означает, что отображение В линейно по каждому из двух своих аргументов; нетрудно показать, что второе условие равносильно непрерывности В по совокупности аргументов. Наименьшее из чисел М, удовлетворяющих условию (!7), называется нормой билинейного отображения В и обозначается [[В!!. Линейные операции над билинейными отображениями определяются обычным способом и обладают обычными свойствами.
э и диФФеРенциРовАние В линейных ИРостРАнствАх 489 Таким образом, билинейные отображения пространства Х в пространство У сами образуют линейное нормированное простран. ство, которое мы обозначим В(Х', У). При полноте У полно и В(Х', У), 1(аждому элементу А из пространства .У(Х, 2'(Х, У)) можно поставить в соответствие элемент из В(Х~, У)„положив В(х, х') =(Ах) х'. (! 8) Очевидно, что это соответствие линейно. Покажем, что оно также и изометрично и отображает пространство х (Х, 2'(Х, У)) на. все пространство В(ХА, У).
Действительно, если у = = В (х, х') = (Ах) х', то (! у !! (!! Ах !! !! х' !! к= !! А (! !! х !! ° !! х' !!, откуда (! В !! < !! А !!. (19) С другой стороны, если задано билинейное отображение В, то при фиксированном х ~ Х отображение х' — ~(АХ)х' = В(х, х') есть линейное отображение пространства Х в У. Таким образом, каждому х ееХ ставится в соответствие эле. мент Ах пространства 2'(Х, У); очевидно, что Ах линейно зависит от х, т. е, билинейное отображение В определяет некоторый элемент А пространства 2'(Х, 2'(Х, У)). При этом ясно, что отображение В восстанавливается по А при помощи формулы (18) и !!Ах!!= еир !!(Ах)х'!!= Епр (!В(х, х')!!(!!В!! ° !!х!(, и'ы~ 1 к' Г~! откуда (20) !! А(1~<!! В(!. Сопоставляя (19) и (20), получаем !!А!(=!!В!!, Итак, соответствие между В(Х', У) и 2'(Х,2'(Х, У)), определяемое равенством (18), линейно и изометрично, а следовательно, взаимно однозначно. При этом образ пространства 5.'(Х,.ХР(Х, У)) есть все В(Х~, У), Мы выяснили, что вторая производная Р" (х) есть элемент пространства 2'(Х,2'(Х, У)).
В соответствии с только что сказанным мы можем считать г" (х) элементом пространства В(ХА, У). Рассмотрим элементарный пример. Пусть Х и У вЂ” конечно- мерные евклндовы пространства размерностей гл и п соответ. ствеиио. Тогда каждое линейное отображение Х в У можно задать некоторой (п Х гл)-матрицей. Таким образом, производная Г'(х) отображения г, действующего из Х в У, есть (зависящая ат х ~ Х) матрица.
Если в Х и У выбраны базисы, скажем, еи...,е вХ и ~ь...,)„вУ, 490 элементы ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ <гл, х то х = х е, + х<е, + ... + х е, у = у<(, + уз(х+ ... + у„)„. Тогда отображение у = г"(х) можно записать в виде у, =Г<(х„..., х ), Ул=г"„(Х<, ..., Х ), и ду~ ду1 ду~ дх, дхр ''' дх„, г"' (х) = дул дул дул дх, дх, '' дхт Вторая производная г""(х) определяется в этом случае совокуп- д'у постыл и,'к',п<,к',<и величинах ц — — . Такую совокупность дх, дх величин аА, ц можно рассматривать как определяемое формулой Ь„, < —— — ~„ау, <<х< <=! линейное отображение пространства Х в пространство 2'(Х, У) или как определяемой формулой уу= ~ а, х,.х' ,</ \ билинейное отображение пространства Х в У. Очеяндным образом можно ввести понятие третьей, четвертой и вообще и-й производной отображения Г", действующего из Х в У, определив и-ю производную как производную от производной (п — 1)-го порядка.
При этом, очевидно, и-я производная представляет собой элемент пространства 2'(Х, 'Г(Х, ... ..., Я'(Х, У))). Повторяя рассуждения, проведенные для второй производной, можно каждому элементу этого пространства естественным образом поставить в соответствие элемент пространства й<(Хл, У) п-линейных отображений Х в У. При этом под а<линейным отображением понимается такое соответствие у = Л<(х', х"... х«О) между упорядоченнымн системами (х', х", ..., х<л<) элементов нз Х и элементами пространства У, которое линейно по каждому из х< прн фиксированных остальных элементах и удовлетворяет при некотором М ) О условию // й<(х', х", ..., х'м) )!~ (М~~ х'() ° /~ хл!/ ...
0~ х<Ю~!. Таким образом, и-ю производную отображения Г" можно считать элементом пространства Ж(Хл, У). ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ В ЛИНЕИНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ 491 9. Дифференциалы высших порядков. Мы определили (сильный) дифференциал отображения Й' как результат применения к элементу Ь ее Х линейного оператора г'(х), т, е. йг = г'(х)Ь.
.Дифференциал второго порядка определяется как дог' = = г"н(х) (Ь, Ь), т. е. как к В а д р а т и ч н о е в ы р а ж е н и е, отвечающее отображению г""(х) ~ В(Х', У). Лналогично дифференциалом и-го порядка называется й"с'=гтю(х) (Й, Ь, ..., Ь), т. е. тот элемент пространства У, в который элемент (Ь, Ь, ..., Ь) ен ен Х Ро', Х р,'...,к', Х = Х" переводится отображением Р~ >(х), 1О. Формула Тейлора. Сильная дифференцируемость отображения г" означает, что разность г (х+ Й) — г (х) может быть представлена в виде суммы линейного члена и слагаемого, имеющего порядок выше первого относительно !!Ь!!.
Обобщением этого факта является формула, аналогичная формуле Тейлора для числовых функций. Теорем а 2. Пусть г" — отображение, действующее из Х в У, определенное в некоторой области О с: Х и такое, что Гнн(х) существует и представляет собой равномерно непрерывную функцию от х в О. Тогда имеет место равенство Х( +Ь) — б(х) = Г(х) Й+ — „Г" (х)(Ь, Ь)+ ... + —,Еы1(х)(Ь, ..., Ь)+го(х, Ь), (21) еде !!ы(х, Ь)!1=о(!!Ь!!"). Док аз а тел ь ство будем вести по индукции.
При и =! равенство (21) тривиально. Возьмем теперь произвольное фиксированное и и предположим, что равенство, получающееся из (21) заменой п на и — 1, уже доказано для всех отображений, удовлетворяющих условиям теоремы, в которых и заменено на п — 1. Тогда для отображения Й' имеем .Ь' ( +Ь)=~'(~)+)т" (~)Ь+уГ' «(Ь, Ь)+ ... + („,,г""'(х)(Ь, ..., Ь)+го,(х, Ь), (22) где (!гв1(х, Ь) )! = О(!!Й!!" '). Интегрируя обе части равенства (22) по отрезку (х, х+Ь! и пользуясь формулой Ньютона — Лейбница (15), мы получим ! 1 .Ь'(х+ Ь) — Р(х) = ~ Р'(х+ й'.) Ьй1= ~ ( р'(х) +1Ь'"(х) Ь+ о о + — 11 Г'"(х)(Ь, Ь)+, 1" 'Е<">(Ь...,, Ь)~Ьй1+А>о (23) ! где )т'„= ~ от, (х, !Ь) Ь й(.
о 492 элементы диооеьанпихльиого исчисления ~гл. х Из (26) получаем Р(х+ й) — Р(х).=— = Р' ( ) й + 21 Рв ( )(й 6) + " + †„, Р'"'(х)(й, й) + Л., причем 1!Я„11( 11(ге,(х, И)11 11611Ж=о(116!!"). о Тем самым наше утверждение доказано. Формулу (21) называют формулой Тейлора для отображений. $ 2. Теорема о неявной фуикции и некоторые ее применения 1. Теорема о неявной функции. Одна из важнейших теорем классического аиализа, имеюшая разнообразные применения,— зто теорема о неявной функции. Мы сейчас покажем, что зта теорема переносится без больших изменений с числовых функций иа отображения произвольных баиаховых пространств. Теорем а !. Пусть Х, У, 2 — банаховы пространства, П— окрестность точки (хь, уь) еп Х Х У и Р— отображение П в 2, обладающее следующими свойствами: 1. Р непрерывно в точке (хм уь).
2. Р(хо, уо) = О. 3. Частная производная Р'„(х, у) существует в 0 и непрерывна в точке (хо,уо), а оператор Р'„(х„уь) имеет ограниченный обратный. Тогда уравнение Р(х, у)= О разрешимо в некоторой окрестности точки (хь, уь). Точнее зто означает следующее: существуют такие е ~ О и 6 ) О и такое отображение у=~(х), (1) определенное при 11х — хо!~ < 6 и непрерывное в точке хь, что каждая пара (х, у), для которой Нх — хь1~ < 6 и у = 7(х), удовлетворяет уравнению Р (х, у) = О, (2г и обратно, каждая пара (х, у), удовлетворяющая уравнению (2) и условиям 11х — ха~~ < 6, ~1 у — уь11<е, удовлетворяет и (1), Д о к а з а т е л ь с т в о.
Обозначим через Пы> с: У совокупность тех у, для которых (х, у) ~ 0 при данном х, Будем считать, что 11х — хь)~ настолько мало, что уь ~ Пыь и рассмотрим определенное иа Уы~ отображение Аыр А,„,у=у — (Р'(хь, у )1 Р(х, у). теооем4 о неяВнОЙ Фднкции 493 Ясно, что уравнение А<,>у = у равносильно уравнению Р(х, у) = О. Для доказательства существования решения уравнения (3) применим принцип сжимающих отображений.
С этой целью по-. кажем, что для каждого достаточно малого е ) О найдется та~ кое 6 ) О, что при 11х — ха!1 ( 6 отображение А<,> является сжимающим и переводит шар 11у — уо11 ( а в себя. Начнем с того, что вычислим и оценим по норме производную отображения А<„>. Имеем в силу формул (3) — (5) $1: А,'н (у) = 1 — Р'„' (х, у )~ Р'„(х, у) = = ! гд (хо Уо)~ >»гд (хо Уо) гд (х' У))' Р В силу непрерывности производной >од в точке (хо,уо) можно выбрать е и 6 так, что 11 А<х> (у) 11 ( у ( 1.
Это неравенство вследствие формулы конечных приращений означает, что отображение А(х) пространства У при любом х, удовлетворяющем неравенству 11х — хо!1(6 на шаре 11У вЂ” уо>1(е является сжимающим. Оценим теперь 1!А<,.>уо — уо11 Имеем: (!А< >уо уо1(<1Р'„(~о уа)! 1'!!Г'(х уо)1= ~1 ~6 д (хо' уо)1 1 <>! У (х уо) У (хо уо) ~' В силу непрерывности отображения Р в точке (ха, уо) последнее выражение можно сделать за счет выбора 6 сколь угодно малым. Пусть 6 ) О настолько мало, что !1 А<х>уа уо11( в(1 — (>) при 1!ха — х 11 ( 6. Проверим, что при таком выборе 6 отображение А<„> переводит замкнутый шар 11у — уо11 ( е в себя. Действительно, если !1х — хо!1 ( 6 и 1!у — уо11 ( а, то из формулы конечных приращений получим 1!А< >у — уо11(!1А< >уо — уо11+1!А<х>у — А< >уа11(» (е(1 — <>)+ анр ~А,',>(уа+О(у — уа))~ /!у — уоД<а(1 — и)+ау=а.
Итак, при 11х — хо!1 ( 6 отображение А<„> переводит замкнутый шар 11У вЂ” уа11 ( е в себя и является на этом шаре сжимающим. Значит, в этом шаре существует единственная неподвижная точка у* = < (х), т. е. точка, для которой у = у ) гд (хо уо)) г (х' у ) 494 элсмгнты диеееоенциольного исчисления !гл х т.
е. в силу условия 3 теоремы с (х, у*) =О. Отображение !' и есть искомое. Действительно, справедливость уравнения (2) уже проверена. Равенство !'(хо) = уо вытекает из единственности неподвижной точки для отображения Л<,.ь а непрерывность построенной функции ! следует из того, что в приведенных выше рассуждениях величина е может быть взята сколь угодно малой. 3 а м е ч а н и е. Нетрудно показать, что если в теореме ! предположить отображение У непрерывным в окрестности П (а не только в точке (хо, уо)), то соответствующее отображение ! будет непрерывно в некоторой окрестности точки хо.
Нижеследующая теорема устанавливает условия, при которых функция, определяемая уравнением вида г"(х, у) = О, дифференцнруема. Те о р е м а 2. Пусть выполнены условия теоремы 1, и пусть, кроме того, в П существует частная производная с'„, непрерывная в точке (хо, уо). Тогда отображение !' дифферениируемо в точке хо и ('(хо) = — [Р' (хо, Уо)1 Р' ('о Уо). (4) Д о к а з а т е л ь с т в о. Обозначим выражение, стоящее в (4) справа, через Л, Оно представляет собой линейный оператор, действующий из Х в У. Доказать, что этот оператор служит производной отображения ! в точке хо, это значит доказать сушествование для каждого е ) 0 такого 6 ) О, что прн любом х таком, что !!х — хо!!( 6, выполнено неравенство ~! ((х) — 1 (хо) — Л (х — хо) !! < е !! х — х, !!.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
