Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Пусть [ф ) — полная ортогональная система в 1.2[а, Ь!. Тогда всевозможные попа рные произведения гр (в) гр (1) образуют полную систему в пространстве 1.2([а, Ь! Х [а, Ь[) (см. теорему ! п. 5 3 3 гл. Ъ'11) и, следовательно, К(з, 1)= 2: а „ф (з)ф„(1) Всякий оператор вида (3) называется оператором Фредгольма. Если же ядро К(в, 1) удовлетворяет условию (2), то он называется оператором 12ильберта — Шмидта. Исследование уравнения (1), разумеется, сводится к изучению свойств этого оператора.
Т е о р е м а ! . Равенство (3), где К(з, 1) — функция с интегрируемьыг квадратом, определяет в пространстве (.2[а, Ь! компактнгяй линейный оператор А, норма которого удовлетворяет нера- венству лнненные интеГРАльные уРАВнения 462 ИГЛ !Х Положим теперь ль л=! и пусть Аи — оператор, определяемый ядром КУ(я,1). Этот оператор компактен, поскольку ои переводит все Еь[а, б[ в конечномерное подпространство (в гл. 1Ч мы назвали такие операторы конечномерными). Действительно, если ф ен Ее[а, Ь[, то ь М ь Аьф= $ КУ(я, 1)ф(1) ь(1= ~ а „ф„(я) ~ ф(1)ф„(1)й= л ль, л=! л =~ ф„(я)~а „Ь„, т.
е. каждый элемент ф ен ЕЕ[а, б[ переводится оператором Аи в элемент конечномерного подпространства, порожденного векторами фь, фи. Далее Км(я,1) представляет собой частичную сумму ряда Фурье функции К(я,1), поэтому ь ь ~ ~(К(я, 1) — Кл(я, 1))ьс(яьН- О при Ф-ьоо. л л Отсюда, применив оценку (4) к оператору А — Аи, имеем [1 А — Ау[1-ьО при У-ьоо.
Воспользовавшись теоремой о том, что предел сходящейся последовательности компактных операторов компактен (п, 2 й б гл, 1Ч), получаем компактность оператора А. 3 а меча н и я. 1. В процессе доказательства теоремы 1 мы установили, что всякий оператор 1'ильберта — Шмидта может быть представлен как предел (в сиысле сходимости по норме) последовательности конечномерных интегральных операторов. 2. Пусть А ~ и Аь — два оператора вида (3) и К, (я, 1), К,(я,1) — отвечающие им ядра. Если операторы А1 и Аь равны, т. е. А1ф = Аьф для всех ф ен Еь[а, 6], то К|(я, 1) = Кь(я, 1) почти всюду.
Действительно, если А,ф — Аьф = ~ (К, (я, 1) — К, (я, 1)) ф (1) ьй = О л интегРАльные уРАВнения ФРедгольмА $2! для всех ф еи 12 [а, Ь[, то при почти всех в еи [а, Ь) б ~ [ К, (з, 1) — К, (з, г) [2 ((( = О а и, значит, ) [ К) (5 Г) К2 (3 Г) ~ ((в кй = 0> а а откуда и следует наше утверждение.
Таким образом, если мы, как обычно, не будем различать эквивалентные между собой суммируемые функции, то можно сказать, что соответствие между интегральными операторами и ядрил(и взаимно однозначно. Теорем а 2. Пусть А — оператор Тальберга — Шмидта, определяемый ядром К(в, )). Тогда сопряженный ему оператор А' определяется «сопряженным» ядром К(Г, з). Д о к а з а т е л ь с т в о. Используя теорему Фубини, получаем (А), к) — [( [к(, ())() к ~к()к— а а а ь б( б - [ [ к (, ()! (() к( ) а к.
= [ [ [ к ( , () к() к. [) (() к( = а а а а ь ( ь — [)(() [[к(., Ок(*)к ) к -(), к к). а а откуда и следует утверждение теоремы. В частности, оператор А вида (3) самосопряжен в к'.2[а, Ь), т. е. А* = А, тогда и только тогда, когда К(з, () = К(), е), В случае, когда рассматривается действительное гильбертово пространство (и, стало быть, действительные ядра), условием самосопряженностн служит равенство К(з, () = К(~, в), 3 а м е ч а н и е. Мы рассмотрели интегральные операторы, действуюшие в пространстве 2-2[а, Ь). Однако, как все сказанное выше, так и излагаемые ниже результаты переносятся без изменений иа тот случай, когда вместо отрезка [а, Ь[ берется л)обое другое пространство с мерой.
2. Уравнения с симметрическим идром. Рассмотрим интегральное уравнение Фредгольма второго рода ф (в) = ~ К (з, 1) ф (2) а)( + ( (з), а ЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 464 1ГЛ 1Х ядро которого удовлетворяет условиям ь ь $ ~~ К(з, 1) Газг(1 ( о, 2) К(, 1)=К(1, з). Мы будем называть такие уравнения уравнениями с симметри- ческим ядром. В силу теорем 1 и 2 предыдущего пункта соответ- ствующий оператор Фредгольма Аф = ~ К (з, 1) ф (1) Ж а (6) для А существует такая ортофункций (ф ), отвечающих не(Ла), что каждый з.темент Е из По теореме Гильберта — Шмидта нормальная система собственных нулевым собственным значениям 71 представим в виде е = Е а„тй„+ $', где А$' = О, Положим (АГ' = О) (8) н будем искать решение ф уравнения (7) в виде ф=~~' х„ф„+ф' (Аф'=О).
а (9) Подставив разложения (8) н (9) в уравнение (7), получим 2.х„ф„+ р'=2.х„Л,ф„+ХЬ„ф„+)'. Это равенствс удовлетворяется в том и только в том случае, когда 1' =ф' и х„'(1 — Ла) = Ь, (и = 1, 2, ...), компактен и самосопряжен. Следовательно, для него справедлива теорема Гильберта — Шмидта (п, 5 $ 6, гл. !Ъ'). Применим зту теорему для отыскания решений уравнения (5).
Поскольку для нас имеют значение лишь компактность и самосопряженность оператора (6), а не его интегральное представление, естественно писать уравнение (5) в символической форме ф=Аф+). (7) интеГРАльные уРАВнения ФРедГольмА т. е. когда !"= р', х„= " при Л„че 1, при Л„= 1. ь„=о Последнее равенство дает необходимое и достаточное условие разрешимости уравнения (7). Координаты х„, отвечаюшие тем и, для которых Л = 1, при этом произвольны. Мы получаем, таким образом, следующий результат. Те о р е м а 3. Если 1 не является собственным значением оператора А, то уравнение (7) при любом !' имеет одно и только одно решение. Если же 1 есть собственное значение оператора А, то уравнение (7) разрешилГо в том и только том случае, когда свободный член ! ортогонален всем собственным функциям оператора А, отвечаюи(им собственному зна~ению 1.
Если это последнее условие вгяполнено, то уравнение (7) имеет бесконечное множество решении. 3. Теоремы Фредгольма. Случай вырожденных ядер. Мы перейдем теперь к рассмотрению уравнений Фредгольма второго рода с ядрами, подчиненными условию ь ь ~ ~1 К (з, !) р йз й! < Ро ф(з)= ~ К(з,!)ф(!)й!+1(з), а (1О) ядро которого — вырожденное, т.
е. имеет вид К (з, !) = Х Р (з) (г; (!), (11) где Рь (г; — функции из Ем Оператор с ядром вида (1!) переводит всякую функцию Гр ее Ез в сумму а ь Р Г (з) ~ !г; (!) ф (1) сИ, т. е. в элемент конечномерного подпространства, порожденного функциями Р,, 1= 1, 2, ..., и. Заметим, что в выражении (!1) (обеспечивающему компактность оператора), но без условия симметрии. Предположим сначала, что рассматривается уравнение лингьзные инт игла иьныг уилвнгння (гл (х функции Р,, Ри можно считать линейно независимыми между собой.
Действительно, если это не так, то, представив каждую из функций Р, как линейную комбинацию независимых, мы получим, что то же самое ядро ц(з,г) можно записать в виде суммы меньшего числа слагаемых вида Р;(з)Ц,(!), так что функции Р! линейно независимы. Лналогичную редукцию можно проделать для функций ф.
Как легко видеть, после этих редукций получится ядро, в котором и Р, и Щ будут между собой линейно независимы. Итак, будем решать уравнение (10) с вырожденным ядром (11), в котором функции Рн..., Р„(так же как и Я),..., Я ) линейно независимы. Подставив в уравнение (!О) вместо К(з,!) соответствующую сумму, получим и ь я(з)=~ Р,(.) ~Я,(!)р(!)(!+1(з). (12) Введя обозначения ~ ьл)! (!) (р (!) Ж = (!(, О перепишем уравнение (12) в виде и р(з)= Х,а(Р (з)+!(з). Подставив это выражение для (р в уравнение (10)„получим Положив ь ~ ( )! (!) Р! (Г) гьг = ап, ~ Я( (г) 1(!) й = Ь „ а а запишем равенство (13) так: и и Г" Х )! и, () - Х и(*) [ " лис, ~- )] Функции Ро по предположению, линейно независимы, поэтому отсюда следует равенство соответствующих коэффициентов: л (!! = ~~' а()(!)+ Ь„(=-1, 2, ..., и. (14) (=! л л ь Г л з'др()))()=з'и()(а()) ьди,рн((~)~аы() ())) ( ! (=) а )=! 5п 4бт интГГРАльные уРАВнения ФРепгольмА Мы получили для коэффициентов у2 систему линейных уравнений.
Решив ее, мы найдем функцию ч ф (е) = Х уР (з) + !'(з) Эта функция удовлетворяет интегральному уравнению (!0), поскольку все выкладки, с помощью которых мы пришли от уравнения (!0) к системе (!4), можно проделать в обратном порядке. Итак, решение интегрального уравнения с в2ярожденн2ям ядром сводится к решению соответствующей ему системы (!4) линейных алгебраических уравнений. Для систем линейных уравнений хорошо известны условия существования и единственности решений.
1. Система линейных алгебраических уравнений Тх=у (Т=(~а,А!1, х=(х„..., х„), у=(ун ..., у„)) разрешима в том и только том случае, когда вектор у ортогонален каждому решению сопряженной однородной системы Т'г = 0 (Т* =- 11 аА; !!). ф (з) = ~ К (з, 1) ф (!) д! + ! (в), Р (! 5) 11. Если детерминант матрицы Т отличен от нуля, то уравнение Тх = у имеет при любом у одно и только одно решение. Если же детерминант матрицы Т равен нулю, то однородное уравнение Тх = 0 имеет ненулевые решения. 11!.
Поскольку матрица Т и сопряженная матрица Т' имеют один и тот же ранг, однородные системы 7х = 0 и Т"г = 0 имеют одно и то же число линейно независимых решений. В силу той связн, которая, как мы выяснили, существует между интегральными уравнениями с вырожденными ядрами и системами линейных алгебраических уравнений, эти утверждения можно рассматривать как теоремы, относящиеся к решениям вырожденных интегральных уравнений. Мы покажем в следуюгцем пункте, что, по существу, эти же теоремы имеют место и для уравнений с пр о и з в о л ь н ы и и (не обязательно вырожденными) ядрами. Однако, поскольку для невырожденных интегральных операторов такие понятия, как ранг матрицы и детерминант не имеют смысла, соответствующие теоремы нужно будет сформулировать так, чтобы эти понятия в них не участвовали.
4. Теоремы Фредгольма для уравнений с произвольными ядрами. Будем снова рассматривать уравнение ь лиисйныг иитегялльные угхвнения !Гл !х по теперь на его ядро будем накладывать лишь условие Гиль- берта — Шмидта ь ь ~ ~ ) К (з 1) ~где д1 < со а а (обеспечивающее компактность оператора), но не будем это ядро предполагать ни вырожденным, ни симметрическим. Нас будут интересовать условия разрешимости уравнения (15) и свойства его решений. При этом существенным для нас будет лишь свойство компактности оператора, отвечающего уравнению (15), а не его интегральное представление.
Поэтому мы будем все дальнейшие рассмотрения вести для операторного уравнения (16) считая, что А — произвольный компактный оператор, заданный в гильбертовом пространстве Н. Положив Т=! — А (где I — единичный оператор), перепишем уравнение (16) в виде тр=~. (17) Будем наряду с этим уравнением рассматривать однородное уравнение тая=о (!8) и сопряженные уравнения Т р=у, (19) т"~р,= о (20) (Т' = 1 — А*). Связь между свойствами решений этих четырех уравнений устанавливается следующими т е о р е м а м и Ф р е дгольма. 1, Неоднородное уравнение Тгр = 1 разрешимо при тех и только тех 1', которые ортогональны каждому решениго сопряженного однородного уравнения Т'~ь = О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
