Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Доказать для такого уравнения если Х ча О. Поэтому всякая отличная от О точка спектра компактного оператора является его собственным значением конечной кратности. Кроме того, мы знаем, что множество таких собственных значений не более чем счетно. Ввиду следствия на стр. 243 О в с е г д а принадлежит спектру компактного оператора в бесконечномерном пространстве, но не обязан, вообще говоря, быть собственным значением. Компактные операторы, для которых О служит единственной точкой спектра, называются (абстрактными) операторами Вольтерра, 2. й4ы доказали теоремы Фредгольма для уравнения вида ф = Аф+ ), где А — компактный оператор в гильбертовом пространстве. Эти теоремы могут быть перенесены без существенных изменений и на случай произвольного банпхова пространства Е. При этом, разумеется, сопряженное уравнение = А'ф + и будет уравнением в пространстве Е*, условие ортогональности (), фа) = О нужно понимать как обращение в нуль на элементе ~е= Е каждого функционала нз подпространства Кег Т' ~ Е* решений уравнения Т'фе = О и т.
д. Изложение теорем Фредгольма для уравнений в банаховом пространстве со,держится, например, в книге Л. А. Л юс терн и ка и В. И. Соб о л е в а «Элементы функционально~о анализа». 5. Уравнения Вольтерра. Уравнением Вольтерра (второго рода) называется интегральное уравнение 473 интеГРАльныв уРАВнения ФРелтольмА теоремы Фредгольма в пространстве непрерывкам Функция. При этом роль «сопряженного уравнения» играет интегральное ураииеаие с транспоннроаанным ядром, а ортогональиость понимается а смысле Ее.
6. Интегральные уравнения первого рода. Абстрактным уравнением Фредгольма первого рода называется уравнение вида (27) т. е. уравнение, содержащее неизвестную функцию ф лишь под знаком компактного оператора. Решение такого уравнения представляет собой задачу, вообще говоря, более сложную, чем решение уравнения второго рода, и уравнение (27) не может иметь решения при любой правой части. Рассмотрим вначале в качестве простейшего примера уравнение « 1(з) = $ ф (1) с(г, в т. е.
уравнение с ядром 1 при 1» (з, 7((з, 1)= О,при 1> т. Оно имеет очевидное решение ф(з) = )'(з), если 7' абсолютно непрерывна и ее производная принадлежит (з, и оно неразрешимо в противном случае. Покажем, что и в общем случае уравнение (27) не может быть разрешимо при произвольном )ен Н.
Действительно, сушествование регпения уравнения Аф = 1 при любом ~~ Н означало бы, что этот оператор отображает Н снова на все Н. Покажем, что это невозможно. Все Н можно представить как сумму счетного числа шаров 5„(например, шаров радиуса 1, 2,... ..., п, ... с центром в нуле). Каждый из них переводится компактным оператором А в предкомпактное множество. Таким образом, замыкание 1тпА есть сумма счетного числа компактов.
Но в Н любой компакт нигде не плотен; в то же время Н, как и любое полное метрическое пространство, не может быть представлено как сумма счетного числа нигде не плотных множеств. Таким образом, 1гпА Ж Н; иными словами, каков бы ни был компактный оператор А в Н, уравнение Аф =1 не мохсет быть разрешимо при всех 1'и:-Н, Другой существенный момент состоит в том, что оператор, обратный компактному, не ограничен. Поэтому, если )~ и (ив два близких между собой элемента из Н и оба уравнения Афг = т'н Афа — — 7а линвиные интегялльныв эеквняния 474 1гл ~х разрешимы, то соответствующие решения ф~ = А '/~ и фг — — А '/г могут сильно отличаться друг от друга.
Иначе говоря, сколь угодно малая погрешность в свободном члене уравнения может привести к сколь угодно большой ошибке в решении. Задачи, в которых малое изменение исходных данных приводит к малому изменению решения (эта «малость> может в разных задачах пониматься по-разному), называются корректными. Решение интегрального уравнения первого рода (в отличие от уравнения второго рода) — некорректная задача.
За последнее время разного рода некорректные задачи и методы их регуляризации (т. е. сведения их к задачам, в том или ином смысле корректным) получили широкое развитие. Однако изложение этих вопросов выходит за рамки данной книги. $3. Интегральные уравнения, содержащие параметр. Метод Фредгольма 1. Спектр компактного оператора в Н. Будем рассматривать уравнение ф=ЛАф+ /, или, иначе, (/ — ЛА)ф=/, (1) где А — компактный оператор в гильбертовом пространстве Н, а Л вЂ” числовой параметр. В силу альтернативы Фредгольма возможны два и только два взаимоисключающих случая: 1.
Уравнение (1) имеет при данном Л одно н только одно решение для каждого / еи Н. 2. Однородное уравнение ф = ЛАф имеет ненулевое решение. В первом случае оператор / — Л4 отображает, и притом взаимно однозначно, Н на все Н. Отсюда следует существование ограниченного обратного оператора (/ — ЛА) '. Это равно- -1 сильно тому, что оператор (А — — /) определен на всем Н н Л ) ограничен; иначе говоря, в этом случае 1/Л не принадлежит спектру оператора А.
Пусть теперь имеет место вторая возможность, т. е. существует такой отличный от нуля элемент фх е= Н, что 1 фь = ЛАфм или Аф„= — фь; тогда 1/Л есть собственное значение оператора А. Мы получаем следующий результат: каждое отличное от нуля число и = 1/Л является собственным значением компактного оператора А либо регулярно. Иными словами, у компакт- % а1 интеГРАльные уРАВнения, содержАщие пАРАметР 475 ного оператора непрерывный спектр либо совсем отсутствуег либо состоит из одной точки р = О. Объединив только что сказанное с теоремой 4 $ б гл.
!Ч, мы получаем следующее описание спектра компактного оператора в Н. Спектр любого компактного оператора А в Н состоит пз конечного или счетного числа отличных от нуля собственных значений рь рм ..., р„,..., каждое из которых имеет конечную кратность, и точки нуль' ). Точка нуль — единственная возможная предельная точка для последовательности (ри). Сама точка р = О может быть собственным значением конечной или бесконечной кратности, а может и не быть точкой множества собственных значений. Как было показано в и. 5 $2 для уравнения р=ЛВр+)', где  — интегральный оператор вольтеррова типа, всегда имеет место первый случай альтернативы Фредгольма (разрешимость при любом ) е= Лт). Иначе говоря, спектр интегрального оператора типа Вольтерра состоит из одной точки р = О.
Вместе с тем в конце п. 4 $ 2 мы назвали абстрактным оператором Воль- терра компактный оператор, спектр которого сводится к точке О. Поэтому можно сказать, что интегральный оператор Вольтерра является и абстрактным оператором Вольтерра, и вся эта терминология оказывается оправданной. 2. Отыскание решения в виде ряда по степеням Л. Детерминанты Фредгольма. Формально решение уравнения (г' — ЛА) Ф =-1 можно записать в виде ~р = (7 — ЛА) (2) Эта Формула действительно определяет решение, если!!ЛА!, '< 1, 1 т.
е. ! Л ! < —, поскольку в этом случае оператор (7 — ЛА)-' 1А! ' существует, определен на всем Н и ограничен (см. и, 7 $ 5 гл. 1Лг). При этом оператор (7 — ЛА) ' можно представить как сумму степеннбго ряда (7 — ЛА) =!+ЛА+ЛтА'+ ... +Л"А" + ..., сходимость которого (по норме) обеспечивается условием ! Л ! < < 1л! А !!. Следовательно, решение (2) нашего уравнения (1) можно записать так: гр — ~+ЛА~+ЛтАт~+ ...
+ЛаАА( ! (ч) г) р = О обязательно прннадленснт спектру А, поскольку А-' не мо1кст быть ограничен в бесконечномерном Н (см, следствие на стр. 243). линеиные интегРАльные уРАвнения (гл (х Этот же результат получится, если искать решение уравнения (1) в виде степенно~о ряда РА=-фа+ уф(+ ... +(("Р„+ ... (где фа от Х уже не зависят). Подставив этот ряд вместо ф а правую и левую части уравнения ф = ХЛф+) и приравняв затем коэффициенты при одинаковых степенях Х в обеих частях равенства, мы получим фа=(, (р, =А(, ..., (р„= А(р„, =А"1', ..., т.
е. ряд (3). Покажем, что если А — интегральный оператор Гильберта — Шмидта, т. е. оператор, определяемый квадратично интегрируемым ядром К(з,1), то оператор (У вЂ” АА) ' при достаточно малых значениях Х может быть записан как сумма /+ ХГ(Х) единичного оператора ( и некоторого интегрального оператора 1.Г(Х) Гильберта — Шмидта с квадратично интегрируемым ядром, зависящим от параметра )(. Выясним сначала, каким образом записываются ядра операторов АВ, А' и т.
д. Рассмотрим для этого более общий вопрос: пусть даны два интегральных оператора ь ь А(р= ~К(е, ()(р(1)(((, В(р= ~о(е, 1)(р(1)(В, а а где В В ~ ~~К( ()((1 В йэ~ ~ ~1д( ())г ( В чз~ а а а а Найдем ядро оператора ЛВ, Имеем АВВ 1!Ка,4(а(,~(В(((В~)В а ~ а В~ В 1кЬ, (Ч(. ЮВ.)ку(кк а (а Возможность изменения здесь порядка интегрирования вытекает из теоремы Фубини, поскольку подынтегральная функции К (з, и) Я (и, 1) (р (() суммируема по совокупности переменных и и 1 как произведение двух функций К(з, и)ф(() и Я(и, (), квадрат каждой из которых суммируем.
Ч З1 интегРАльные уРАВнения. содеРжАщие НАРАметР Положим )с(з, г) = $ К(з, и)(г(и, 1)г(и; а в силу неравенства Коши — Буняковского имеем ь ь ! Р((з, ~) !г( ~ ! К(з, и) !гг(и ~ ! Я(и, Е) !гн". а а откуда ь ь ~ ~ ! )с(з г) (гИзг(Г (йгцг которое удовлетворяет условию ь ь Гьь 12 ~ ~(К ( ()(г ( лг~ ~ ~ ~)К( г)!г,) дг~ йа а а а а откуда !!Аг))(йг, где ь ь ьг ~ ~(К( ))!гл,() а а Аналогично получаем, что каждый из операторов А" определяется ядром К„(з, г)= ~К.,(з, и)К(и, й)г(и (и=2, 3, ...), а удовлетворяющим условию ь ь ~ ~ ! К„(з г) ~г(зг(г йга а а (5) Ядра К,(а„г) называются итерированными ядралги.
Итак, произведение двух интегральньях операторов типа Гиль- берта — Шмидта есть оператор того же типа, с ядром, определяемым формулой (4). В частности, положив А = В, получаем, что А' есть интегральный оператор с ядром К, (з, Г) = ~ К(з, и) К(и, 1)г)и, а линепные интетРАлы!ые уРАВнения 1гл гх 47а При 1Л) ( 1/й ряд К(з, /)+ЛКе(з, /)+ ... +Л" К„(з, /)+ сходится в силу оценки (5) в пространстве /.,([а, Ь) Х(а, Ь]) к некоторой функции Г(з, /; Л), квадрат которой суммнруем по х и 1 при каждом )Л((1/й.
Интегральный оператор Г(Л), для которого функция Г(з, /; Л) служит ядром, есть сумма сходящегося ряда А+ЛА + ... +Л" А" + (6) компактных операторов и, следовательно, он компактен. Домножив эту сумму на Л н прибавив к ней единичный оператор /, мы н получим оператор (/ — ЛА)-'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
