Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 84
Текст из файла (страница 84)
Следовательно, производная функцля д существует и имеет место (6). Если [ такова, что абсолютно интегрируемы функции [(х), х[(х), ..., хР[(х), то, как показывают аналогичные рассуждения, функция й имеет производные до р-го порядка включительно, причем йчь>(Д)к-Е[( — бх)А[(х)] ('г=О, 1, ..., р). 7. Если потребовать, чтобы функция [ убывала на бесконечности еще быстрее, то а будет еще более гладкой функцией.
Из предположения, что хР[(х)~ Е,( — оо, со) при всех р, вытекает бесконечичя днфференцируемость функции д. Допустим теперь, что еь~"~ )(х)~ Е1( — оо„оо) при некотором 6 = О. Тогда к(Х) распространяется с действительной оси А как аналитическая функция в полосу на плоскости Ь = Х+ гр комплексного переменного, причем ширина этой полосы тем больше, чем больше 6. Во всяком случае можно утверждать, что д будет аналитической функцией при ]у ] ( 6.
Действительно, интеграл ) (х) е !кз дг очевидно, будет сходиться при ]р] ( 6 и определять непрерывную функцию, совпадающую с преобразованием Фурье функции ) на действительной оси. Тот факт, что эта функция дифференцируема при ]р] ( 6 в смысле теории аналитических функций, доказывается совершенно так же, как свойство б. % 41 ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ, СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 431 3. Полнота функций Эрмита и Лагерра. Используя соображения, изложенные в предыдущем абзаце, можно показать, что если измеримая функция 1' почти всюду на интервале (а, Ь), где — Оо ( а ( Ь - со, отлична от 0 и удовлетворяет условию 11(х) ~( Се 41 "1, где 6) О, то система функций (х"1(х)), и = = О, 1, 2,..., полна в Ез(а, Ь).
Отсюда, в частности, будет следовать, что функции Эрмита образуют полную систему в Е,( — ОО, ОО), а функции Лагерра— в Ез(0, ОО) (см. п. 7 ~ 3 гл. ЧП). Докажем сформулированное утверждение о полноте. Предположим, что система (х"1(х)) не полна. Тогда в силу теоремы Хана — Банаха найдется такая ненулевая функция Ь е= Ег( — со, СО), что ~ х"1 (х) Ь (х) с(х = 0 (и = О, 1, 2, ...). (Ыы использовали теорему об общем виде линейного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве; если рассматривается комплексное Ер(а, Ь), то вместо Ь(х) надо писать Ь(х).) Ясно, что 1Ь еп Е,(а, Ь) и, более того, е'1" 11Ь~ Е, (а, Ь) при любом б~ ( б. В дальнейшем удобно считать, что 1(х) и Ь(х) определены на всей прямой, продолжая их, если необходимо, за (а, Ь) нулем. Пусть д — преобразование Фурье функции )Ь, т.
е. к(А) = ~ 1(х)Ь(х)е м" дх. Из сказанного выше следует, что функция д продолжается как аналитическая в полосу )1тп ь1( б. С другой стороны, в силу свойства 6 все производные этой функции при ). = 0 обращаются в О, так что д(Ь) = О. По свойству единственности, доказанному в п. 1, отсюда следует, что )(х)Ь(х) = 0 почти всюду и, следовательно, Ь(х) = 0 почти всюду, так как 1(х) почти всюду отлична от О.
Но это противоречит нашему предположению о том, что Ь вЂ” ненулевая функция. Полученное противоречие и доказывает полноту системы (х )(х)). 4. Преобразование Фурье быстро убывающих бесконечно дифференцируемых функций. Пользуясь тем, что при переходе от функции ) к ее преобразованию Фурье д свойства гладкости функции и убывания ее на бесконечности меняются ролями, легко указать естественные классы функций, которые переводятся преобразованием Фурье сами в себя. Пусть 5 — совокупность бесконечно дифференцируемых функций на прямой, для каждой из которых существует набор 432 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРСОБРАЗОБАНИЕ ФУРЬЕ !ГЛ. УН1 постоянных Сре (зависящих от самой функции / и чисел р, д) таких, что ! х /14'(х) ! с.
С (7) Покажем, что если / Бе 5„, то и а=-г" Щ я 5, Прежде всего из (7) следует абсолютная интегрируемость каждой из функций хР/Оп(х). Действительно, поскольку (7) выполняется при всех р и 17,то ! хр/141 (х) ! ~( Ср~ 1 4/хх, т. е. функция хр/<ч>(х) убывает не медленнее, чем !/х'. Отсюда в свою очередь следует, что функция /г(/) имеет производные всех порядков. Наконец, согласно п. 2, из суммируемостн /~41(х), »7 = ), 2, ..., следует что д = Р(Д убывает на бесконечности быстрее, чем )/) А! ч. Рассмотри л теперь функции (1..)4, (ц=(-;) г((.
/(х!)14); каждая из них, как преобразование Фурье интегрируемой функции, ограничена некоторой постоянной В„ч. Таким образом, если / я 5, то и и = Е(/) е-=5 . Обратно, пусть л я 5, тогда, по доказанному, функция /'(х)= ~ а(Х)е 1А'с/» входит в 5 . Положим /(х)= — /'( — х). Ясно, что /еи5 . ! В то же время по формуле обращения а (Х) = — ~ /' (Х) Е»хх»/Х =- ~ / (Х) Е-1Х»(Х, 1 2н т. е. д есть преобразование Фурье функции /Бп 5„.
Итак, преобразование Фурье переводит класс 5 снова в весь класс 5, Ясно, что это отображение взаимно однозначно. Ю Упражнение. Пусть /»ВЗ н ~ хрг(х)»»х Опрн всех р) О Сле. дует лн отсюда, что /(х) нч От б. Преобразование Фурье и свертка функций. Пусть /1 и/х— интегрируемые иа всей прямой функции. Функция М /(х)= 1 11К)/х(х — 4)(~ ч %и пявоьялзовлние этеьа, своиствл и ппимеиания 433 называется их сверткой.
Функция 1(х) определена при почти всех х и интегрнруема. Действительно, двойной интеграл ~ 1~(014(х а)с%с(х существует, поскольку существует интеграл Ю Ю ~ ~1 (в)1 (т))(йяйл (см. замечание к теореме Фубини, стр, 318). Следовательно, существует и интеграл Э ~ 1(х) йг = ~ Нх ~ 1, 5) 1, (х — $) й$. Функция 1 обозначается символом Ж . Вычислим преобразование Фурье свертки двух функций из (.ь Применяя теорему Фубини и полагаЯ х — еч = П, полУчаем ~ 1(х) е ""Их= 12) р!1!) р [1„).
И~як, преобрезовпние Фурье переводит операцию свертки в блее простую операцсио — умножение функции. Этот факт играет важную роль во многих применениях преобразования Фурье. б, Применение пРеобразования Фурье к решению уравнения теплопроводностн. Применение преобразования Фурье к дифференциальным уравнениям основано на том (см. п. 3), что оно переводит операцию дифференцирования в операцию умножения на независимое переменное. Следовательно, если у нас 434 ТРИГОНОЛ!ЕТРИЧРХКИЕ РЯДЫ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ (гл и!!Г имеется линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами Уы'+а!Уы и+ ...
+а„,у'+ а„у=!р(х), (8) то преобразование Фурье переводит его в а л ге б р а и ч е с кое уравнение вида (!))" г+ а, (!)р)' г+ ... + а„!!ХЕ+ а„г=ф()), (9г где г = г" [у) и ф = Т(гр). Однако для обыкновенных дифференциальных уравнений этот прием не открывает каких-либо существенно новых перспектив, так как решение линейных уравнений с постоянными коэффициентами и без того не представляет больших трудностей. Кроме того, переход от (8) к (9) возможен, если неизвестная функция у = у(х) иитегрируема на всей прямой, а для решений линейных уравненяй с постоянными коэффициентами это, вообще говоря, не имеет места. Более существенно применение преобразования Фурье к уравнениям с частными производными, где оио позволяет, при определенных условиях, свести решение такого уравнения к решению обыкновенного дифференциального уравнения, Покажем это на примере решения задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Будем искать решение уравнения ди(х, О дРи(х,О (10) д! дх! при — оо ( х ~ ОО и ! -» О, обращающееся при ( = 0 в заданную функцию ир(х). Физический смысл этой задачи состоит в нахождении температуры бесконечного теплопроводящего стержня в любой момент времени ( ) О, если в начальный момент ( = 0 его температура в каждой точке есть ир(х) . Предположив, что ир(х), ир (х) и йр (х) принадлежат Т.!( — ОО, со), будЕМ ИСКатЬ РЕШЕНИЕ ПОСтаВЛЕННОй ЗадаЧИ В классе функций и(х, (), удовлетворяющих следующим условиям: 1) функции и(х, (), и„(х, !), и„„(х, () абсолютно иитегрируемы по всей оси х при любом фиксированном г ) 0; 2) функция и!(х, () имеет в каждом конечном интервале 0 = ( ( Т интегрируемую мажоранту )(х) (не зависящую от (): ( и! (х, () (» (! (х), ~ ! (х) г(х < ОО.
Выполним в уравнении (10) преобразование Фурье по х. При этом справа мы получим г" (и„„(х, ()) = — )ррп ()р, (), где О (Х, () = г (и (х, ()), Ч 4~ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ, СВОЙСТВА И ПРИМЕНЕНИЯ 435 а слева в силу условия 2) имеем г" [и4) = ~ и,(х, 1) е-""4(х= — ~ и(х, 1) е 4А" 42х= о,(Л, 1). д Таким образом, преобразование Фурье переводит уравнение '(!0) в обыкновенное дифференциальное уравнение о (Л 1) = — Лзо(Л 1) для которого нам теперь нужно найти решение, обрашаюшееся при 1 = 0 в функцию о,(Л) =г [и,(х)[= ~ ио(х)е ""4(х. Таким решением будет, очевидно, о (Л, 1) = е Ачоо (Л).
Теперь для того чтобы получить решение вашей первоначальной задачи, остается найти ту функцию и(х, 1), преобразованием Фурье которой служит функция о(Л,1). Используя пример 4 п. 1, получаем е-А44 Р е 44 Поэтому к' 1 г о (Л, 1) = Р ~ е 44 ~ ° г" [ив (х)[ = г" ~ — е 44 * ие (х) ь 2 усиГ 2 З/лг т. е.
г м и (х, 1) = ) е 44 и (х — В)44$. Мы получили так называемый интеграл Пуассона для решения уравнения теплопроводности. 7. Преобразование Фурье функций нескольких переменных. Преобразованяе Фурье, рассмотренное нами для функций одной переменной, легко переносится на функции нескольких переменных. Пусть [(хь хв ..., х„) — функция, интегрируемая по всему и-мерному пространству 14 . Ее преобразованием Фурье 436 ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ Рядм. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬе ~гп щм называется функция Д(~п ~„ ..., ~„) = и ~ 1(хи х„.. „хп) е '("'"'+"' '+ "'+' " ) 2(х, ... г(х Зтот л-кратный интеграл, заведомо существующий, поскольку 1(хь х2, ..., х ) интегрируема, можно записать, по теореме Фубини, в виде следующего повторного интеграла: ЫР"О ~2 ' 1 )~п) Х е '"А г(х2 ° ~ е "пхп ух .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
