Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 81
Текст из файла (страница 81)
Отсюда вытекает соотношение (13), Оно означает, что нормы функционалов О, в пространстве непрерывных функций не ограничены в совокупности. Но тогда в силу теоремы о слабой сходимости функционалов эта последовательность не может быть слабо сходящейся на пространстве непрерывных функций, т. е. имеются непрерывные функции ), для которых и 11ш ~ О„(х)((х)!(х и.+ «1 не существует. 2. Условия равномерной сходимости ряда Фурье. Мы установили условия, достаточные для сходнмости ряда Фурье некоторой функции ! в каждой точке. Класс функций, удовлетворяющих этим условиям, весьма широк, и даже непрерывность вовсе не необходима для представимости функции суммой всюду сходящегося тригонометрического ряда.
Положение несколько изменится, если мы будем интересоваться условиями р а в н о м е риой сходимости ряда Фурье. Ясно, что если функция )(х)" имеет хотя бы один разрыв, то ее ряд Фурье не может сходиться к ней равномерно, поскольку сумма равномерно сходящегося ' УслОВия сходимости РядА ФуРье 4!э ряда непрерывных функций всегда непрерывна.
Таким образом, непрерывность функции есть необходимое (но, конечно, не достаточное) условие равномерной сходимости ее ряда Фурье. Простое достаточное условие дает следую!цая теорема. Те о р е м а 2. Если функция ! с периодом 2п абсолютно непрерывна, а ее производная !" принадлежит Ет'! — и, и), то ряд Фурье функции ! сходится к ней равномерно на всей пряной, Д о к а з а т е л ь с т в о, Обозначим через а„' и Ь'„коэффициенты Фурье функции 1'. Так как !' абсолютно непрерывна, то к интегралу ап = — ~ Г(х)созпхдх 1 можно применить формулу интегрирования по частям.
Полу- чаем ап = — ~ ! (х) соз пх дх = ! п П 1 5!ппх 1" 1 Ь„ = — ~ (х) — ~ — — ~ ~' (х) з(п их дх = — — "; П П !. ПП3 П аналогично, П и 1 Г а„ Ьп = ) Г(х) 5!ппх дх= и П Следовательно, — +~ !а!+1Ь1= э +) пп + — „" . (!6) ! Пь! ! ап! ~Ь„~ ( а„~ и=! п ! Этот ряд сходится, поскольку 2 5 а л Ь„' + а„' < Оь в силу неравенства Бесселя. Числовой ряд и=! (16) служит, очевидно, мажорантой для ряда Фурье функции !. Но тогда, по признаку Вейерштрасса, ряд Фурье функции !' равномерно (и абсолютно) сходится.
Остается показать, что сумма этого ряда есть 1. Пусть 5р — сумма ряда Фурье функции ~. Тогда !р имеет те же самые коэффициенты Фурье, что и Г. Отсюда в силу непрерывности обеих функций получаем, что Г = !р. 4)4 тРигонометРические Ряды, пРеОБРАВОВАние ФРРъе )гл.
ч!и Можно дать другое условие равномерной сходимости ряда Фурье, аналогичное условию Дйни, именно: Теорем а 3. Если на некотором множестве Е с:[ — и, и] суммируемая функция ) ограничена, а условие Дйни выполняется на Е равномерно, т. е. для всякого е» О существует такое б) О, что /!(х+х) !(х)! "3 е -ь одновременно для всех х ЕДЕ, то ряд Фурье функции / сходится к этой функции равномерно на Е. Доказательство этой теоремы основано на лемме, служашей усилением леммы ! (см. стр. 408). Л е м м а 2.
Если  — предкомпактное в метрике /.1 [ — и, и[ множество суммируемых функций, то для всякого е ) О найдется такое й! = й!(В), что ~ /(1) з)пЛ)й! < е х при Л ) /ч'(е) для всех /ен В одновременно. Для доказательства леммы возьмем в В конечную е/2-сеть ~рь..., <рь и выберем /т' так, чтобы ь <р~(1)з)ПЛГй! < —, != 1, 2, ..., й при Л) /у. х Если теперь / — произвольная функция из В, то при некотором ! )1/ — (р, !! < е/2 и, следовательно, ! ь ! ь ! ь ~ [(!)Б)ИЛ! й! (~ ~ ф,(!) Б)ПЛ)й! + ~(/ — ф ) з)ПЛгд! < е. ч х ч Тем самым лемма доказана.
Применение этой леммы основано на том легко проверяемом факте, что в условиях теоремы 3 множество функций сь(!) = /(х+ !) — /(х) предкомпактно. Дальнейшие подробности доказательства предоставляем читател|о. До снх пор мы говорили о функциях, заданных на отрезке [ — н,и[. Ясно, что все сказанное может быть автоматически пере- % 2) 415 ТЕОРЕМА ФЕЯЕРА 9 2.
Теорема Фейера 1. Теорема Фейера. Пусть ) — непрерывная функция с периодом 2п на прямой. Эта функция определяется своим рядом Фурье -е+ Х~! а„совах+ Ь„з!ппх (1) однозначно. Действительно, если )! и )2 — две непрерывные функции, имеющие одни и те же коэффициенты Фурье, то )! — )2— непрерывная функция, равная нулю почти всюду и, следовательно, тождественный нуль. Однако поскольку ряд Фурье непрерывной функции, вообще говоря, не обязан сходиться, мы не можем такую функцию ) получить непосредственным суммированием ее ряда Фурье.
Способ восстановления непрерывной функции по ее ряду Фурье дает излагаемая ниже теорема, доказанная в !905 г. Фейером. .Пусть а! ЯА (х) = — '+ т а) соз )х + Ь! з)п)х 2 ! ! (2) — частичная сумма ряда Фурье функции ). Положим Во (х) + 5! (х) + ... + Ях ! (х) о„(х)— (3) Выражения о„— средние арифметические сумм ЯА — называются суммами Фейера функции !. Теорема 1. (Ф ей ер), Если !' — непрерывная Функция с периодом 2п, то последовательность (о ) ее сумм Фейера сходится к ) равномерно на всей числовой оси. Д о к а з а т ел ь с т в о.
Воспользуемся полученным в предыдущем параграфе интегральным представлением частичных сумм ряда Фурье: я хь 4-! г мп — х ЗА(х) = ) ! (я+2) йз. -и 2 2!П— несено на функции, определенные на отрезке произвольной длины 21. Для случаи нескольких независимых переменных тоже можно сформулировать как условия, достаточные для сходимости ряда Фурье в каждой точке, так и условия равномерной сходи- мости ряда Фурье. !"2ы не будем на этом останавливаться. Подставив эти интегралы в равенство (3), получим для а„(х) следующее выражение: л . 2а+1 5!п — 2 а«(х) = — ~ ~~1 ~(Х+ 2)1тг, -л А о в1п2 которое с помощью формулы ') «-1 з)п (2(е + 1) г = — '" "а может быть представлено в виде так называемого интеграла Фейера: л 1 2 51П Л а«(х) = 2 ~ [ (х+ 2)122.
в1п 2 (4) Выражение в Ф„(г) = — „ называется ядром Фейера. Формулу (4) можно переписать в виде а„ (х) = ~ ) (х + г) Ф„ (2)г(г. (б) Нам нужно доказать, что при а-1. оо это выражение равномерно стремится к [(х). Отметим предварительно следующие свойства ядра Фейера: Ф„(г) )» О, ~ Ф«(г)е(2=1, 2) 3) прн любом фиксированном б ) О и л-ь со имеем -в л Ф„ (2) с(г = ~ Ф« (2) с(2 == т)„ (б) — 1 О. -л в ') Эту формулу легко получить, суммируя по л равенства 2ып(2А+1) а Мпа = сов 2ая — со«2(а+1) а.
4И ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ [ГЛ. УИ1 ТЕОРЕМА ФЕИЕРА Первое из этих свойств очевидно, второе получается из равенства (б), если положить /(х) =— 1 и учесть, что для такой функции о (х) = 1 прн всех л; наконец, третье свойство сразу вытел Еб кает из того, что если 6 < 2 < и, то з1п — ) — „и, следовательно, — -РУ Учитывая эти свойства ядра Фейера, нетрудно доказать теорему, Так как функция / — непрерывная и периодическая, то она ограничена и равномерно непрерывна на всей прямой.
Иначе говоря, существует такая постоянная М, что для всех х ! /(х) !ч М (7) и для каждого е ) О найдется такое 6 ) О, что ! / (х") — /(х') ! < е/2, (8) как только 1х" — х'! < б. Для доказательства теоремы нам нужно оценить разность л /(х) — а„(х)= ~ 1/(х) — /(х+2)]Ф„(г)сЬ2, -л которую можно представить в виде суммы следующих трех интегралов: -ь (! (Х) /(Х + 2)) Фл (2)П2 -л /О= ~ (/(Х) — /(х+2)) Ф„(2)г/2, л /+ = ~ (/(х) — /(х+ 2))Ф„(2)дг. Из (7) и (8) непосредственно вытекают следующие оценки: ! / ! (» 2МТ1„(6), ! l, ! ~ (2М11„(б), ! /о!~ (~ ~ Фл(2)С(2 < —,'.
418 ТРиГОномгтРические Ряды. пРеОБРАЭОВАние ФуРье 1гл. ч!п Выберем теперь лэ настолько большим, чтобь1 при и ) пе и дан- ном 6 выполнялось неравенство 2Мз1„(6) < е/4. ! / (х) — о„(к) ! < е/2 + е/4 + е/4 = а, Тогда откуда в силу произвольности Б и следует утверждение теоремы. Отметим, что прн доказательстве мы использовали только свойства !) — 3) ядра Фейера. Это позволяет получать различные обобщения теоремы ! (см., в частности, и. 3 этого параграфа). 2. Полнота тригонометрической системы. Теорема Вейерштрасса.
Из теоремы Фейера следует полнота тригонометриче. ской системы в пространстве /.Я[ — и, и). Действительно, в силу этой теоремы любая непрерывная функция есть предел равномерно (а значит, и в среднем) сходящейся последовательности тригонометрических многочленов аь. Остается заметить, что непрерывные функции всюду плотны в /.ь Теорему Фейера можно рассматривать как усиление теоремы Вейерштрасса об аппроксимации непрерывных функций тригонометрическими много- членами: эта последняя устанавливает, что всякая непрерывная функция есть равномерный предел какой-то последовательности тригонометрических многочленов, а теорема Фейера указывает в п о л н е о п р е д е л е н н у ю последовательность, обладающую этим свойством,— последовательность сумм Фейера (3).
Из теоремы Вейерштрасса о равномерной аппроксимации непрерывной периодической функции тригонометричесними многочленами легко следует и вторая теорема Вейерштрасса — об аппроксимации алгебраическими многочленами любой функции, непрерывной на некотором отрезке [а, Ь). Действительно, если А' й /(х) — такая функция, то, положив ! = и, т. е. х= 1(Ь вЂ” а) +а, мы получим функцию р(!) от /, заданную на [О, п). Продолжим ее вначале на полусегмент [ — И,О), положив ср( — 1) = ~Р(1), а потом, по периодичности, на всю прямую.
Построим теперь тригонометрический многочлен Т„, удовлетворяющий условию ! Т, (!) — <р (1) ! < е/2 при всех г. ! Т„(!) — Р (1) ! < е/2 при 0 <! ~ и, Далее, всякий тригонометрический многочлен разлагается в ряд Тейлора, сходящийся равномерно на любом конечном интервале. Пусть Рм — частичная сумма ряда Тейлора для Т„, такая, что й з1 419 ИНТЕГРАЛ ФУРЬЕ Тогда [ Ф (1) —. Р (1) ] ( а п ри 0 < 1 < я. х — а Сделав в Р (1) обратную замену 1 = з я, мы получим многочлен Я (х), удовлетворяющий условию ] [(х) — Я (х) [(е при а(х(Ь.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
