Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 96
Текст из файла (страница 96)
величина зф(й) з, имеет высший порядок малости по сравнению с зйз. Дифференцируя равенство Ф(й, ф(й) ) = О, имеем: ФА (О, 0) й + Фг (О, О) ф' (0) й = ФА (О, 0) й + Аф' (0) й = О, откуда 1 (0)й= — А ФА(0,0)й= — А Р (хо)й=О. Поэтому в равенстве ф (й) = ф (0) + ф' (0) й + о ( ~/ й ~1) первые два слагаемых справа равны нулю, т. е. ф(й) =о(Дй Ц), что и требовалось. Теорема доказана. $ 3. Экстремальные задачи Один из самых старых и наиболее разработанных разделов нелинейного функционального анализа — нахождение экстремумов функционалов.
Изучение таких задач составляет содержание так называемого ва ри ацион ного и с ч и сл е пня. Большинство методов, существующих в вариационном исчислении, связано со специальным видом тех функционалов, экстремальные значения которых ищутся, Однако некоторые общие приемы и результаты могут быть сформулированы и для более илн менее произвольных функционалов. Не ставя себе здесь задачи сколько-нибудь полного изложения вариационных методов, мы воо эламннты диееагвнцихльного исчисления !гл.
х ограничимся кратким рассмотрением элементов общей теории, лежащих в основе вариационного исчисления. 1. Необходимое условие экстремума. Пусть г" — некоторый действительный функционал, определенный на банаховом пространстве Х, Говорят, что функционал Р достигает в точке хг минимума, если для всех х, достаточно близких к х„выполнено неравенство Р(х) — г(х,) ) О. Аналогично определяется максимум функционала. Если в данной точке хо функционал р достигает минимума или максимума, то мы будем говорить, что в этой точке функционал р имеет экстремум, К отысканию экстремумов тех или иных функционалов могут быть сведены многие физические и механические задачи.
Для функций и переменных хорошо известно следуюшее необходимое условие экстремума: если функция ! дифференцируема в точке х,=(хг х,", ..., хг) и имеет в этой точке экстремум, то в этой точке 4 = О или, что равносильно, ец д! д! дх, дхг ''' дхх Это условие легко переносится на функционалы на произвольном нормированном пространстве. Теорем а 1. Для того чтобы дифференцируемый функционал Р достигал в точке хг экстремума, необходимо, чтобы его дифференциал в этой точке равнялся нулю лри всех Ь: г"' (хг) Ь вЂ” О.
Иначе говоря, необходимо, чтобы г"'(х,) = О. Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению дифференцируемости имеем Р(х, + Ь) — Р(хг) = Р'(х,) Ь+ о(Ь). (1) Если Г(хо)ЬФ О для некоторого Ь, то при достаточно малых действительных Х знак всего выражения г"'(х,) (ХЬ)+ о(И) совпадает со знаком его главного члена р'(хг) (И). !!о г"'(хо) — линейный функционал, поэтому г'(х,) (М) = 1,Р'(хг) Ь. Следовательно, если Р'(хг)ЬФ О, то выражение (1) может принимать при сколь угодно малых Ь как положительные, так и отрицательные значения, т. е. экстремума в точке хг быть не может.
Рассмотрим некоторые примеры. 1. Пусть г где ! — непрерывно дифференцируемая функция. Этот функционал, рассматриваемый в пространстве С[а, О) непрерывных ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ % 21 функций на отрезке [а, 6)„дифференцируем. Действительно, г" (х+ Ь) — Р(х) = ь ь = $ () (Т, х (1) + Ь (г)) — 7 (г, х (1))) сй = $ ~~ (1, х (()) Ь (() сй + о (Ь), откуда г(Г = ~ 1,' (1, х (1)) Ь (1) 122. а Р авенство нулю этого линейного функционала для всех Ь ен С(а, 6] означает, что 1„'(Т, х(1)) =О. Действительно, при вся- ком х(1) еи С(а, 6) производная ~„' (Т, х(1)) есть непрерывная функ- ция от й Если в какой-то точке г'„она отлична от нуля, скажем.
1„'(1, х(Т )) > О, то это неравенство имеет место и в некоторой окрестности (а, р) точки 62. Тогда, положив (г — а)(р — г) при а((Т(р, Ь (1) = О при остальных 1, получаем ~ ~' (1, «) Ь (1) 1(1 > О. О Полученное противоречие доказывает наше утверждение. Уравнение 1„' (1, х) =О определяет, вообще говоря, некоторую кривую, на которой функционал (2) может достигать экстремума.
2, Рассмотрим на том же пространстве С1а, 6) функционал ь ь Р (х) 1 1 К (ь! ь2) х (ь1) х (ь2) ы Ньз (3) где К($1, е2) — непрерывная функция, удовл.творяю1цая условию К(51, е2)= К($2, $1). Нетрудно подсчитать, о дифференциал этого функционала равен ь ь (Р=21 1К6„$,)ха)Ь(4)а, (1,. О й Если при всяком Ьеп С(а,6) это выражение равно пулю, то в силу рассуждений, проведенных в примере 1, имеем ь К(Ц„52)х(з1)1(51=0 для всех $2, а(~~2(~6.
элементы диФФепенцилльного исчисления )гл. х Одно из решений этого уравнения — функция х — = О. Ответ на вопрос о том, имеется ли в этой точке экстремум и существуют ли другие точки, в которых экстремум возможен, зависит от вида функции К(сь $з) и требует дополнительного исследования. 3. Рассмотрим функционал Г (х) = 1 1 (у, х (у), х'(у)) (у, (4) определенный на пространстве С'(а, 6) непрерывно дифференцио'х (Г) руемых функций на отрезке (а, о), Здесь х'(ь) = а )(ь', х, х') — дважды дифференцируемая функция своих аргументов. Функционал (4) играет основную роль во многих вопросах вариационного исчисления. Найдем его дифференциал. Пользуясь формулой Тейлора, получаем ,Р (х + Ь) — Г(х) = ~ [) (г', х + Ь, х'+ Ь') — )'(г', х, х')] Ж = а ь = 1 КЬ + )„' Ь') И+ о Л Ь)(), а где |)Ь~! — норма функции Ь как элемента пространства С'(а, о), 'Итак, необходимое условие экстремума для функционала (4) имеет вид ,)Р=~()„'Ь+~'„,Ь') (У=О.
(5) а В такой интегральной форме это условие мало пригодно для на- хождения той функции х, на которой достигается экстремум. Преобразуем его к более удобному виду, проинтегрировав в (5) член ~„,Ь' по частям '). Получим ~„',Ь' (У=)„',Ь! — ~ Ь вЂ”,", ~„',а. ~а а а ') Эта операция требует дополнительного обоснования, поскольку сушегг ствованне производной х". входяШей в выражение — ) °, не предполагается. нг , См. по этому поводу любой курс вариационного исчисления. 504 ЭЛЕМСНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [Гл. х 1. Если функция [(х[, ..., х„) имеет в точке (хо[, ..., хо) минимум, то в этой точке да[) О. (Аналогично, если в точке (х[, ..., х') имеется максимум, то в этой точке Р(( 0.) 2. Если в точке (хо„..., х'„) выполнены условия а й(=0 и й'[= ~ в в йх,йх~>0 С аса (когда не все йх[=0), то в этой точке )(х) имеет минимум (аналогично максимум, если йа! < 0).
Короче говоря, неотрицательиость второго дифференциала н е о б х о д и м а, а его положительная определенность д о с т ат о ч н а для минимума. Посмотрим, в какой мере эти факты переносятся на функционалы, заданные на банаховом пространстве. Теорем а 2. Пусть Š— действительный функционал, заданный в банаховом пространстве Х и имеющий в некоторой окрестности точки х„непрерывную вторую производную. Если этот фУнкЦионал достигает в точке хо минимУма, то йау(хо) ) 0 '), До к аз а тел ь от в о. По формуле Тейлора получаем Е(хо+й) Е(хо)=Е'(хо)й+ — Еч(хо)(й, й)+о(!)Й)!'). Если в точке хо функционал Е имеет минимум, то Е'(хо) = 0 и остается равенство Е(хо+ й) — Е(хо) — ~ Е (хо)(й, й)+ о())й))а). (11) Если при каком-либо й выполнено неравенство Еч(к,)(й, й) <О, (12) то, поскольку Ен(хо) (ей, ей) = е' Е (хо) (й, й), существуют н сколь угодно малые по норме элементы й, для которых выполнено (!2).
Но при достаточно малых ))й!! знак всего выражения (!1) определяется знаком главного члена — Еп(хо)(й, й), и мы получаем Е(хо+ й) Е(хо) д Е (хо) (й Й) + 0(!) й )Г) < О, т. е. минимума в точке хо нет. Аналогичную теорему можно сформулировать для максимума. Доказанная теорема есть прямое обобщение соответствующей теоремы для функций конечного числа переменных. Иначе ') Это неравенство оаначает, что с "(ха) [6, Ь) а О лая всех 6. ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ обстоит дело с достаточным условием. Упомянутое выше условие Р" (хо) (Й, Й) ) О, достаточное для минимума в случае функции п переменных, не является достаточным для функционалов, определенных на банаховом пространстве бесконечного числа измерений.
Рассмотрим простой пример. Пусть в гильбертовом пространстве 14 задан функционал о Р (х) = ~' — "," — ~ х4. л=1 л=! В точке 0 первый дифференциал этого функционала равен О, л а второй — ряду 2 ~ †„," . т. е. представляет собой положительл=1 но определенный функционал. Тем не менее, в точке 0 нет минимума, так как Р(0) = 0 и Р(0, ..., О, !/п, О, ...)=1)нов л-! — 1/п4 (О. Следовательно, в любой близости от точки 0 существуют точки, в которых Р(х) ( Р(0). Введем следующее понятие.
Квадратичный функционал В называется сильно положительным, если существует такое постоянное число с ) О, что В(х, х) = с!~хР для всех х. Т е о р е м а 3, Если функционал Р, определенный в банаховом пространстве Х, удовлетворяет условиям 1) дР(хо) = О, 2) доР(хо) — сильно положительнь4й квадратичный функционал, то Р имеет в точке хо минимум. Доказательство. Пусть Р" (хо)(й,й)) с~~йР. Выберем е ) 0 настолько малым, чтобы при !!Ц ( е величина о(~)йР) в равенстве (11) удовлетворяла условию ~ о(е 6 ~1~) (< 4 1~ й 1~а. Тогда Р(хо+й) — Р(хо) Р (хо)(й Ь)+о(!1й!Р) ) !БАЙК)0 при ~~Ь!~(е.
В конечномерном пространстве сильная положительность квадратичной формы эквивалентна ее положительной определенности, поэтому (при равенстве нулю первого дифференциала) положительная определенность второго дифференциала достаточна для экстремума функции. В бесконечвомерном случае (как показывает приведенный выше пример) сильная положительность есть более сильное условие, чем положительная опре- деленность.
Условие сильной положительности второго дифференциала, гарантирующее минимум, удобно тем, что оно применимо к любому дважды дифференцируемому функционалу (независимо от, «оз элементы диеьеееицихльиого исчисления !гл. х его конкретного вида) в любом банаховом пространстве. Вместе с тем это условие обычно оказывается слишком грубым и трудно проверяемым в практически важных случаях. В вариационном исчислении устанавливаются более тонкие достаточные условия экстремума (использующие конкретный вид тех функционалов, которые рассматриваются в вариационных задачах); однако изложение этих вопросов пе входит в задачу данной книги. 3. Экстремальные задачи с ограничениями. Выше речь шла о нахождении экстремума для функционалов, заданных на всем пространстве, т.
е., как обычно говорят, об экстремальных задачах без ограничений. При наличии тех или иных ограничений, определяющих ту область, на которой задан рассматриваемый функционал, утверждения, приведенные в пп. 1 и 2, вообще говоря, несправедливы. Это видно уже на простейшем примере функции, заданной на отрезке: если такая функция достигает экстремума в граничной точке, то ее первый дифференциал в этой точке може~ быть отличен от нуля, а знак второго дифференциала может быть любым.
Рассмотрение экстремальных задач при наличии ограничений составляет обширную и важную область математики, включающую такие разделы, как классическое вариационное исчисление, оптимальное управление, линейное и выпуклое программирование и т. д. Мы здесь ограничимся тем, что приведем лишь один результат. Его доказательство основано на применении теоремы Люстериика, играющей важную роль во многих вопросах теории экстремальных задач. Пусть Х и У вЂ” банаховы пространства, Š— функция на Х и Ф: Х-~ У вЂ” отображенве пространства Х в У.
Допустим, что ищется минимум функции Г(х) на мнот естве„определяемом условием Ф(х) = О. Теор е м а. Пусть функция Е и отображение Ф непрерывно дифференцируемы в некоторой окрестности точки хы удовлетворяющей условию Ф(хч) = О, и пусть образ пространства Х пои отображении Ф'(хь): Х «. У замкнут. Если в точке хь достигается локальный минимум функции Е(х) на множестве (х: Ф(х) = =- О), то существуют число Ль и линейный функционал у', определенный на У, не равные нулю одновременно и такие, что Лоу(хо) + [Ф'(ха))*у =О. (13) Доказательство.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
