Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 100
Текст из файла (страница 100)
6). Значит, элемент е можно представить так: е = Ах, + у, где у ш Кег/. Отсюда следует, что е ен !. Значит, ! = Х. Противоречие доказывает лемму. Л е и м а 2. По всякому максимальному идеалу М можно однозначно построить линейный непрерывный мультиплггкотивньгй функционал ! еэ му такой, что М = Кег/. Действительно, в силу следствия из леммы 3 $3 М вЂ” замкнутый идеал. Применив теорему ! 4 3, мы получим, чта Х/М есть банахова алгебра. Но в силу леммы 2 4 3 Х/М не имеет нетрнвнальных идеалов, т.
е. алгебра Х/М не содержит необратимых элементов, отличных от нуля (см. следствие из леммы 1 б 3). Значит, Х/М есть поле, являюшееся банаховой алгеброй. В силу следствия 1 нз теоремы 1 5 2 поле Х/М изоморфно С. Это, по определению, означает, что для любого х ш Х найдется однозначно число /(х) гк С такое, что х=/(х) ° е+и, ишМ, (4) Покажем, что / есть гомоморфнзм. Докажем, например, что /(х у) = = /(х) . /(у).
Имеем х=/(х) с+и. игмМ, у = /(у) ° е + о, о сз М, ху = /(х) /(у) е -1- ш, м ш М. откуда Но это н означает, что /(х ° у) = /(х) /(у). Соотношения /(х + у) = = /(х) + /(у) н /(Ах) = А/(х) доказываются аналогично. Кроме того, если х ш М, то иэ (4) следует, что /(х) = О, а если х = е, то /(х) = 1. Лемма доказана. Итак, мы получили, что между макьнмальнымн ндеаламн (М) и функцноналамн / из й' сушествует взаимно однозначное соответствие. В снлу этого обстоятельства условимся функционалы из А' обозначать / , а буквой М соответствуюшие нм максимальные идеалы. Для множества всех максимальных идеалов (М) мы будем употреблять ту же букву лу, что и для соответствуюшего ему множества (/ ). Пусть х — некоторый элемент иэ Х. откуда либо /(е) = О, т.
е, / тривиален, либо /(е) = 1. (3) Иэ (2) и (3) следует, что нетривиальные линейные непрерывные мультиплнкатнвные функционалы имеют норму единица и, следовательно, д' есть подмножество единичной сферы в сопряженном пространстве Х*. Нулевое надпространство функционала / (т. е. совокупность тех х сн Х, для которых /(х) = О) обозначим Кег / и назовем ядром /. Л е м м а 1. Ядро Кег/ при / ся лу есть максимальный идеал.
Действительно, из усн! = Кег/ и хшХ 523 ОСНОВНЪ|Е ТЕОРЕМЫ Рассмотрим функцию х(М) на множестве й', задав ее формулой (М) = [ (х). (5) (Значение функции х(М), построенной по элементу х, на максимальном идеале М равно числу [м(х), т. е. значению на элементе х гомоморфизма, соответствующего идеалу М.) Мы получили реализаци|о элементов алгебры Х н виде функций на множестве М, о которой говорили в конце б 1, 2. Топология во множестве лу. Осноиные теоремы. Нам осталось доказать, что иу компактно в некоторой топологии и что функции х(М) непрерывны в той же топологии. Чуть ранее мы упомянули, что иу есть подмножество единичного шара. С другой стороны, в п. 4 3 3 гл.
1У было приведено доказательство для сепарабельного случая следующего утверждения. Единичный шар пространства Х', сопряженного к банихоеому пространсгеу, компактен е -слабой топологии. Доказательство этой теоремы в общем случае можно нгйти, например, в [21), стр. 459, Напомним, что «-слабая топология определяется системой окрестностей (Гх „ ([ ) = — ([ ом Х',[ 1(х ) — [ (х ) ~ < б, й = 1, ..., т). (6) [ [л|(х) — [о(х) ~ < б, [ [ ц (у) [о (у) ! < б [7„(х+у) — )о(х+у) [< б (7) Но [м есть гомоморфизм, т. е.
[м(х+ у) = [.(х) + [м(,), Тогда из (7) следует, что [ ( +у)=[ ( )+ [ (у). Аналогична показывается, что [о (ах) а[о (х) и [о (ху) = [о (х) ° [о (у), (Надо взять окрестности (гх, ах, з ([о) и (гх, у, ху, Ь ([о) ) Значит, [ есть непрерывный линейный мультипликативный функционал. Далее, взяв окрестности (ге,з (|о), мы получим, что [о(е) = 1, т.
е. [о нетривиален. Значит,[о|ж лу, т. е. лу замннуто. Покажем, что функция хо(М) =[м(хо) непрерывна на .м. Пусть Мо ом лу. Для е > О возьмем окрестность (гх а(Мо).Если МсиД„ го в силу (б) получится, что [[м(хо) — )мо(яо) [=[хо(М) -хо(Мо) [< й. Но это и означает непрерывность функции хо(М) в точке Мо, Лемма доказана. Множество лу мы рассмотрим именно в «-слабой топологии.
Компактность лу вытекает из сформулированного выше результата и следующей .леммы. Л ем м а 3, Множество А' есть замкнутое подиножесгео единичного шари в Х" и функции х(М) непрерывны на лу Действительно, пусть функционал [о принадлежит замыканию А'. Это значит, что внутри любой базисной окрестности отображения [о найдется гомоморфизм [м, порожденный максимальным идеалом М. Возьмем окрестности й ю о, «ьо, з([о). В силу (6) и определения х(М) мы получим ДОПОЛНЕНИЕ.
ЬАНАХОБЫ АЛГЕБРЫ Т е о р е м а !. Огооражение х х(М) заоиег гомоморфиэм алгебры Х з алгебру С.» непрерывных функций на компактном хаусдорфозом лросгранстзе А' максимальных идеилое алгебры Х; лри этом (( х (М) (~ шах ) х (М) ) о () х )(. (8) В силу скааанного выше в этом параграфе, нам остается доказать лишь соотношение (8). Заметим, что для всякого М элемент х — Гм(х)г по определению )м(х) принадлежит идеалу М, т. е. является необратимым. Поэтому )м(х) см о(х).
С другой стороны, взяв любое число Ао сж а(х), мы обнаруокнваем, что х — Аое иеобратим и, значит, принадлежит максимальному идеалу М, откуда 0 = )м(х — Хое), т. е. )о = (м(х). Итак, образ лу при отображении х(М) совпадает с о(х). Следовательно„ в силу утверждения 2' теоремы 1 8 2, мы получаем, что неравенство (8) справедливо.
Нам осталось лишь уточнить теорему 1 при разных допущениях об алгебре Х. Введем определения трех понятий. Определен не 2. Пересечение )с =- 1 ( А( всех максимальных идеаМс» лов называется радикалом Х. Если )с = (0), то говорят, что Х не имеет радикала. Банахова алгебра Х называется регулярной, если ((хгй = (~хат. Бапахова алгебра Х называется симметричной, если для всякой функции х(М) найдется элемент у ш Х такой, что у(М) = х(М). (Черта означает комплексное сопряжение.) Теорем а 2, а) Если ридикал алгебры Х состоит иэ одного нуля, га отображение х х(М) язляегсл взаимно однозначным.
б) Если алгебра Х регулярна, го Х изомегрически изокорфна со саами образом е С,», е частности, Х не йм ег радикала. в) Если алгебра Х симметрична, то образ Х лри отображении х-о-х(М) всюду плотен з С,». г) Если алгебра Х обладает свойсгеами б) и в), го Х изометрически изоморфна С,». До к аз а тельство. Сначала выведем последнее утверждение из остальных. В силу б) взаимно однозначное отображение хо-ьх(М) является изометрией: ))х(1 = птах (х(М)(.
Х м миг В силу в) (х(М)) всюду плотно в С,», Но Х вЂ” полное пространство. 8начкт, и (л(М)) (вследствие равенства норм в Х н в С.») полно, откуда (х(М))= С.». Докажем а). Пусть хо ~ О, а хо(М) мо 0 на ич. Это оаначает, что )м(хо) = 0 для всех М, т. е. хо еи Ксггм для всех М, значит, хо ш )с. Но )С = (0), откуда хо = О. Противоречие доказывает а). Для доказательства б) заметим, что из равенства )(хЧ = 'ах((т сразу следует, что зл Вга 'К/~! х'и() =)(х((. л -Оси Применив теорему о спектральном радиусе (теорема 2 5 2), мы получаем, что г (х) = )! х (Н (9) основнын ткордмы % 41 Тогда из (9), во.первых, следует, что радикал состоит только иэ нуля.
Действительно, если допустить, что 0 Ф хь ав Я. то для всех М выражение [м(хь) = О, т. е. о(хь) совпадает лишь с нулем, что противоречит тому, что г(хь) = 1!хь)! ч' О. Далее, из (9) следует, что отображение х -ьх(М), являюшееся иэоморфизмом Х и соответствующей подалгебры [х(М)) в С,м, будет изометрией, ибо в силу (8) [х(М)[„. = шах 1х(М) ) =г(х) =1(х[1. м ис Доказательство в) требует привлечения одной из весьма замечательных теорем алгебры н анализа — теоремы Стоуна — Вейерштрасса — которая звучит так: Пусть А есть аодалгебра банаховой алгебрьг Ст непрерывных функций на компакте Т такая, что: !) Единица (т.
е. функция е(1) — !) принадлежит А. 2) Алгебра А разделлег тачки Т (т, е, для любых 11 чь 1т существует функция х(1) ш А такая, что х(1~) чи х(1т)). 3) Алгебра А инвариантна по отношению к комплексному сопряжению (т. е. из «(1) гш А следует, что х(1) гм А). Тогда А всюду плотна в Ст. Доказательство теоремы Стоуна — Вейерштрасса см.
в [!3[, стр. 53 — 56; [2!), стр, 296 — 297: [261, стр. 20. Докажем теперь в). Пусть А = (х(М)) означает образ Х при отображении х-ь х(М). Из (4) сразу следует, что е-не(М) — 1, т. е. е(М) 1 ем А. Пусть М~ и М, два различных максимальных идеала. Это означает, что существует элемент хь, принадлежаший М~ и не принадлежащий Мз (или наоборот), отхуда хз(М~)=ум,(хо)=0 хо(Мт)=Ем,(хо)~0 т. е.
А разделяет точки ич. Далее, по самому определению, симметричная алгебра А инвариантна относительно комплексного сопряжения. Применение теоремы Стоуна — Вейерштрасса приводит к в), Теорема доказана. 3. Теореми Винера; уиражнеинв. Приложения теории банаховых алгебр весьма разнообразны. Напомним ряд результатов из алгебры и анализа, которые уже были получены нами по ходу дела.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
