Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 101
Текст из файла (страница 101)
Банахова алгебра над полем С, явллющался полем, изометрически иэо- морфна С. Спектр любого ненулевого ограниченного оаератора в банахозом про- странстве не пуст. Для любого ограниченного оператора А в банаховом аространстве Х сугцествует аредел !!ш.у!1А" 1)=г(А), и спектр А целиком лежит в круге [Х[ ( г(А). Донажем теперь, используя теорию коммутатнзных банахозых алгебр, следуюшую теорему Винера: Если функция х(6) разлагается з абсолютно с~одящийся рлд фурье х(0) = ~ хье и нигде не обращается в нуль, то и функция у(6) = ыз З=- ы = !(х(6) также разлагается в абсолютно сходящийся ряд Фурье. Рассмотрим изометрнчески иэоморфные алгебры 11 и (р (см.
пример 4 и. 2 й !). Найдем пространство лу для них. Легко понять, что гомоморфизм (р в С достаточно задать иа функции х,(1) = е' и далее он распространится на йд ДОПОЛНЕНИЕ. БАНАХОБЫ АЛГЕБРЫ однозначно. Положим (м (хо) Ем(" ) = й. ]м (хо ) = Рм (а ' ) = Г ° Тогда В силу (2) [ь[ ] !м (хо) откупа )ь! = 1, т.
е, ь=е . Мы получили, чта,4' находится во взаимно ге однозначном соответствии с окружностью [ь] = 1, Для любой последовательности х = (..., х, ..., ха, ..., х, ...) гж)~ и соответствующей ей функции х (1) = ~: хае 1ьг ем )Тг имеем: а (х) =)м (х(1)) = ) (~ х е~~г) = ч~~~~ ха Р (ен)) = ~ лье!а = х(О). Позтому тот факт, что функция х(6) не обращается в нуль ни для каких — к ( 0 22 и, означает, что х не принадлежит ни одному максимальному идеалу.
Значит, в силу следствия нз леммы 1 3 3, зта последовательность обратима в алгебре )ь Положим У = х ' = (..., У вЂ”, ..., Уа, . У ). Тогда у(М)=]м(у)= ~„уаа =)(х )= ые -г 1 1 [(х) а=- а х елее ь а=- х(х)=~ хгл, ~~~,[хь](со, ! причем х(г) Ф О прн ]з[ (!. Тогда функция у(з) = — разлагается в ряд х (х) Тейлора, абсолютно сходящийся при [г) ( 1. 4. Обозначим через С [а, Ь] совокупность л раз непрерывно дифференцируеллых на [а, Ь] функций х(1).
а) Показать, что С" [а, Ь] становится банахавой алгеброн относительно обычных операций и нормы, задаваемой формулой. ]х)= хт — птах [ х 1(1) [. 1 ы! что и требовалось. Два других важных приложения теории банаховых алгебр — спектральную теорему для ограниченных операторов и теорему Стоуна — Чеха — мы сформулируем ниже в виде упражнений (см. упражнения 8 и 9).
У п р а ж не н и я. !. а) Показать, что пространства максимальных идеалов алгебры зв (см. пример 3 п. 2 и 1) можно взаимно однозначно и непрерывно сопоставить с тачками единичного круга [з[ ( 1. б) Показать, что лл регулярна, несимметрична и не имеет радикала, 2. Какое обстоятельство мешает тому, чтобы можно было утверждать, что 1, (см. пример 4 п. 2 3 1) изометрически изоморфиа пространству С.м, т. е, пространству всех непрерывных функций на окружности [ь[ = !) 3. Доказать, что имеет место теорема: Пусть 4 41 ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕМЫ 627 б) Найти максимальные идеалы С" [а, Ь] (см. [13], стр.
19, 20). в) Проверить, что С [а, Ь] есть симметричная алгебра без радикала, Чта дает в этом случае применение теоремы 2? 6. Пусть СВУ [О, !] означает алгебру непрерывных комплексных функций ограниченной вариации на отрезке [О, !] с нормой ] ! зпр [х(С)]+У'[х], ащс<с а) Показать, что СВУ [О, !] есть банахава алгебра.
б) Найти максимальные идеалы этой алгебры. Б Привести пример банаховой алгебры, совпадающей со своим радикалом. 7. Описать все замкнутые идеалы в алгебре С [а, Ь]. 8. Пусть Т вЂ” вполне регулярное топологическое пространство (см. п. 6 9 а гл.
Н). Обозначим через Вг множество всех определенных на Т ограниченных комплексных функций с обычными операциями и нормой !]х]! = знр[х(С) ]. сшг а) Проверить, что Вг есть регулярная симметричная алгебра без ра. дикала. б) Показать, что точки Т гомеоморфно вкладываются в пространство л(г максимальных идеалов алгебры Вг, причем образ Т при этом вложении является в Лу всюду плотным подмножеством. в) Показать, что любая ограниченная комплексная функция на образе Т при этом вложении допускает единственное непрерывное продолжение на й'. Утверждение б), дополненное тем, что .47 есть компакт (это последнее обстоятельство сразу следует из а), если применить теоремы ! и 2 6 4], составляет содержание известной теоремы Тихонова о бикампактиам расширении.
Утверждение в) принадлежит Стоуну и Чеху. Бикомпактное расширение, обладающее свойством в), называется макслмальньсм. Утверждение в) означает, чта оя есть максимальное бикомпактное расширение (см. [22], стр. 23). 9. Пусть Н вЂ” гильбертово пространство. В алгебре гх [Н, С() рассмотрим коммутативную подалгебру В(Ао), порожденную самосопряжеиным оператором Ао (т.
е, являющуюся замыканием линейной оболочки степеней Ао), а) Показать, что В(Ао) регулярна и не имеет радикала. б) Показать, чта В(Ао) симметрична, причем х (М) = х* (М), где х* — оператор, сопряженный к оператору х щ В(Ао), х(М) — отображение, построенное в 6 4. По поводу б) см. также упражнение !О в). Применение теоремы 2 $4 к алгебре В(Ао) приводит к так называемой спектральной теореме для самосопряженных операторов (см. ]22], гл.
Х; [26], гл. Н). !О. Говорят, что банахова алгебра (неабязательно коммутативная) есть алгебра с инвалюцией, если имеется отображение Х-ь Х, обладающее свойствами: (х + у)' = х' + у', (ху)* = у'х*, (ах)' = ах', (х*)' = х. Алгебра с инволюцией называется В'-алгеброй, если, кроме того, 1[хх*~! = = ]х!!с. а) Показать, гто алгебра 2'(7(,Н) есть В*-алгебра (см. [22], стр. 26). б) Показать, чта каммутативная В*-алгебра регулярна (см. [22), стр. 26). в) Показать, чта В*-алгебра симметрична, более того, х(М) = хо(М) (см. [22], стр. 27, лемма Аренса), 528 ЛОПОЛНЕННЕ.
БАНАХОБЫ АЛГГБРЫ Утверждения б) и в) в сочетании с теоремой 2 приводят к такому результату, принадлежащему Гельфанду и Наймарну и называемому иногда основной теоремой теории иоммутатипных баиаховых алгебр: Ко мутатиеная В'-алгебра изометрически изоморфна алгебре С,и и при атом изоморфизма л (М) =х'(М). Итак, абстрактный алгебраический объект, описываемый двадцатью че. тырьмя аксиомами (!3 аксиом коммутативной алгебры, 5 аксиом, связанных с нормой, аксиома полноты и 5 аксиом В"-алгебры), оказалось возможным реализовать в виде алгебры всех непрерывных функций на компактном хаусдорфовом тояологичесхом пространстве. Этот результат позволяет рассмотреть с единой точки зрения такие, каза. лось бы, весьма далекие друг от друга факты, как теорема Винера об абсо.
лютио сходящихся тригонометрических рядах, теорема о спектральном разложении самосопряженного оператора, топологические теоремы Тихонова, Сто. уна и Чеха и ряд других. ЛИТЕРАТУРА 1. А в е р б ух В. И., С мол я нов О. Г,, Теория дифференцирования в линейных топологических пространствах, УМН ХХ11, вып. 6 (138) (!967), 200 — 260. 2. А хе к с а н д р о в П. С., Введение в общую теорию множеств и функций, Гостех издат, 1948. 3. А х и еле р П. И., Гл а з м а н И. М., Теория линейных операторов, «Нзука», 1966. 4. Б а н а х С» Курс функцюнального акал(зу, Радяньска школа, Ки(в, 1948.
5. Б е р е з а н си и й Ю. М., Разложение по собственным функциям самосапряженных операторов, «11аукова думка», Киев, 1965. б. Б о х не р С., Лекции об интегралах Фурье, Физматгнз, !962. 7. Б у р б а к и Н., Общая топология. Основные структуры, Физматгиэ, 1958. 8. Б у р б а к и Н., Теория множеств, «Мир», 1965. 9. Б у р б а к и Н., Типологические векторные пространства, ИЛ, 1959.
10. В и л е н хи н Н. Я. и др., Функциональный анализ (серия «Справочная математическая библиотека»), «Наука», 1964. 11. В н н ер Н., Интеграл Фурье и некоторые его приложения, Фиэматгиз, 1963. 12. В н н е р Н., П эл и Р., Преобразование Фурье в комплексной области, «Наука», 1964. ! 3. Гельфанд И.
М., Р а н к о в Д. А., Ш илов Г. Е., Коммутативные нормированные кольца, Физматгиз, 1960. 14. Ге л ь ф а и д И. М., Ш и л он Г. Е., Обобщенные функции, вып. 1; Обобщенные функции и действия над ними, иэд. 2, Физматгиз, 1959. 15, Ге л ь ф а н д И. М., Ш и лов Г. Е., Обобщенные функции, вып. 2; Пространства основных н обобщенных функций, Физматгиз, 1968. 16. Г ель фа нд И. М., Ш илов Г.
Е., Обобщенные функции, вып 3; Неко. тарые вопросы теории дифференциальных уравнений, Физматгиз, 1958. 17. Гельфанд И. М., Виленкин Н. Я., Обобщенные функции, иып. 4; Некоторые применения гармонического анализа. Оснап!енные гильбертовы пространства, Фнзматгиз, !96!. 18. Г ох б е р г И, Ц„К р е й н М. Г., Введение в теорию линейных несамосопряженных операторов, «Наука», 1965. 19. Гох берг И.
Ц., Крей н М. Г., Теория вольтерровых операторов а гильбертовом пространстве н ее приложения, «Наука», !967. 20 В у л н х Б. 3., Теория получпорядоченных ирастряяств, Фиэматгнз, 1961. 2!. Да н форд Н., Шва р ц Дж. Т., Линейные операторы. Обн!ая теория, ИЛ, 1962. 22 Дан форд Н., Шва р ц Дж. Т., Линейные операторы. Спектральная теория, «Мир», 196о. 23. Дай М., Линейные нормированные пространства, ИЛ, 1961. 24. Д ь е дон н е Ж., Основы современного анализа, «Мир», 1964. 25.
Зигмунд А., Тригонометрические ряды, т. 1, 2, «Мир», !965 26. И ос и д а К„Функциональный анализ, «Мир», 1967. 27. К а н тор о в н ч Л. В., Функцноиальный анализ н прикладная математика, УМН, 1Н, вып. 6 (28) (1948), 89 — ! 86, ДОПОПНЕНИК. БАНАХОПЫ АЛГЕБРЫ 28. К а н т о р он н ч Л. В., А к ил он Г. П., Функциональный анализ в нормированных пространствах, Фнзматгнз, 1959.
29. К ел л и Дж, Л., Обшая топология, <Наука», 1968. 30. К р а с н ос ел ь с к и й М. А., Топологическне методы в теории нелинейных дифференциальных уравнений, Гостехнздат, !956. 31. К у р а то в с к и й К., Топология, т. 1, «Мнр», 1966. 32. Лебег А., Интегрирование и отыскание примитивных функций, ГТТИ, 1934, 33. Л о э в М., Теория вероятностей, ИЛ, 1962. 34. Л ю м и с Л., Введение в абстрактный гармонический анализ, ИЛ, 1956. 35. М н х л н н С. Г., Лекции по интегральным уравнениям, Фнзматгиз, 1959. 36. М о р е н К., Методы ~ильбертова пространства, «Мир», 1965.
37. На й м а р к М. А«Нормированные кольца, иэд. 2, «Наука», 1968, 38. Н а й м а р к М, А., Линейные дифференциальные операторы, изд. 2, <Наука», 1969, 39. Н ага н с он И. П., Теория функций вешествениой переменной, нзд. 2, Гостехнздат, 1957, 40. П л е с н е р А. И., Спектральная теория линейных операторов, «Наука», 1965. 41.
Р и с с Ф., Н а д ь Б. С, Лекции по функциональному анализу, ИЛ, 1954. 42. Р обе р т с о н А., Р о б е р т с о н В., Топологическне векторные пространства, «Мнр», 1967. 43. Р у д и н У, Основы математического анализа, «Мир», !966. 44. С а кс С., Теории интеграла, ИЛ, !949. 45. Т и т ч м а р ш Е., Введсние в теорию интегралов Фурье, Гостехиздат, 1948 46. Т р и ко м и Ф., Интегральные уравнения, ИЛ, !960. 47. Ф р е н к ел ь А„Б ар- Х ил л ел И., Основания теории множеств, «Мир>, 1966.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
