Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 98
Текст из файла (страница 98)
>ииейного пространства, снабженного нормой йх)), удовлетворяющей трем аксиомам, сформулированным на стр. 139. О п р е д е л е н и е 2, Нормированное пространство Х называется нор«си>агонией алгеброй, если оно является алгеброй с единицей и при этом выюлнены еше две аксиомы: 6. 1)е !) = 1. 7, (ху)(~((х! )(у(!. Если нормированная алгебра Х вдобавок полна (т. е, является банасовым пространством), то она называется банахогой алгеброй. ') Единица в алгебре всегда единственна, ибо если бы элемент е' так«ке «бладал свойством 4, то мы бы получили ге' = г =- г'.
514 ДОПОЛНЕНИЕ, БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ Отображение Р; Х-» У называют гомоморфизмом алгебры Х э У, если удовлетворяются условия: р (х + у) = рх + ру, р (пх) = арх, с" (ху) = рх ру. (1) (2) (3) Дне алгебры, Х и У, называют изоморфными, если существует из а и м н о од ноз н а ч и ое отображение Р, удовлетворяющее условиям (!) — (3). Нормированные пространства Х и У называют изометричяыми, если сущсстаует взаимно однозначное отображение Р; Хе-»У, для которого выполнены условия (1) и (2) и, кроме того, (! рх'!у ='!" (х.
О п р е д е л е н и е 3, Дне банахозыс алгебры Х и У мы назовем изометрически изоморфными, если существует алгебраический изоморфизм Р: Х» — »У, являющийся изометрией Х н У как нормированных пространств, 2. Примеры банахоных алгебр. !. П ол е С. Комплексные числа (з) доставляют простейший пример балахоной алгебры, если ннести норму формулой: (! з) = ! с ! = '~Ух + у" (з = х + ту). Ранее и гл. П и ПГ рассмзтриэался частный случай простраистэа С,, когда Т = (а, Ь) есть отрезок нешестаенной прямой.
Другим важным частным случаем пространства Сг является пространство С" = ((сь ..., з )) я-мерных комплекснмх векторов, т. е. функций на пространстве из а точек. Сложение, улгножеине на числа и умножение элементов С" производится покоординатно, а норма определяется формулой ((з! = гпах ! з, !. !~!~я Алгебра Сг является коммутатиаиой баиахозой алгеброй. Единицей э Сг служит функция е(1) — 1. Проверка всех ансном не составляет труда. 3. Алгебра зэ аналитических функций и круге.
Обозна. чим через вд линейное пространство всех функций х(з) колгплексного переменного з, определенных и нспрерызных а круге К а (з:(з! ~ ~1) и аналитн ческих внутри этого круга. Определим умножение и зд, как обычное умно. жение функций и зададим норму формулой ! х (!= гпах ! х (г) !. Этим путем мы превратим з» и коммутатинную банахону алгебру с единицей, Спранедлнзость всех аксиом и здесь вполне очевидна, Комплексные числа образуют пол е С.
В С для нсех элементов, кроме нуля, определено деление — операции, обратная умножению. Мы покажем и дальнейшем, что С есть единственная нормированная алгебра, являющаяся полем. 2. А л ге бр а Ст. Пусть Т вЂ” некоторое компактное хаусдорфопо топо- логическое пространстно.
Обозначим через Ст линейное просграистао всех непрерыниых комплексных функций х(1), заданных на Т с обычными для функций операциями сложения и умножения на число, я котором норма опре,деляется раненстаом (! х !! = !пах ! х [1) ! . г юг % 11 ОНРЕДЕЛЕНИЯ И ПРИМЕРЫ БАНАХОВЫХ АЛГЕБР 515 4. Алгебра 1ь Обозначим через 11 совокупность всех двусторонних абсолютно суммируемых комплексных последовательностей х = (..., х ...,х ьхэ,хь...,х,...) снормой ы ( 1- Произведением х . у двух 'таких последовательностей: х = (..., х „, , хэ, ..., хл ° ° ) У = ( У- , " ° Уэ ° У ) (4) назовем их свертку х = х ч у, т.
е, последовательность, члены которой определяются так; х„=(х* у) = ~ х„у . (5) э=— Если каждой последовательности х из 11 сопоставить ряд Фурье х(!) = ~ хэя, 0~(1~(2п, то последовательность, определенная формуыс э лой (5), соответствует произведению функпий х(1) у(!), построенных по последовательностям х и у.
Таким образом, алгебра 11 и алгебра )уг функций х(!) с абсолютно сходящимися рядами Фурье и нормой, определяемой (4), изометрически изоморфны, Поэтому большинство аксиом алгебры и нормированного пространства для 1, проверяются без труда, тан как для йг они верны тривиально. Проверим аксиому 7. Имеем для х = х ч уг )( Э)) = ~ ( Х ) = ~ ! 2 Хя АУА ! ~( ~ 2 ) Хэ А (( УЭ ( ( Х ( х„э )) (Уэ (= (х) ° )У(.
э ч л Алгебра йт, очевидно, коммутативна, следовательно, коммутативиа и ал- гебра 1ь Единицей в 11 служит последовательность э, соответствующая функ- ции е(!) = — 1; у этой последовательности все компоненты суть нули, за ис- ключением компоненты с нулевым номером, которая равна единице. В даль- нейшем мы будем пользоваться изоморфизмом 1г — )Р и соответствием (х„) -ь х(1), ие оговаривая этого особо. 5 Банахова алгебра ограниченных операторов Пусть Х вЂ” банахово пространство.
Рассмотрим пространство йэ(Х, Х) всех линей- ных непрерывных операторов, преобразующих Х в себя, с обычными для опе- раторов действиями сложения, умножения оператора на число и умножения (гл. ГЧ, $5, п. 3). Единицей в х(Х, Х) служит тождественный оператор. Превратим жг(Х, Х) в банахову алгебру, определив норму как обычно: (А(= знр ))Ах~). зх))< ! Действительно, аксиома 7 была уже проверена ранее (см. формулу (4) нэ стр.
224). Доказать полноту х (Х, Х) предоставлялось читателю в упражне- нии, приведенном там же. Алгебра ж (Х, Х) — один из важнейших примеров' н е к о м м у т а т и в н о й банаховой алгебры с единицей. 3, й(аксимальные идеалы, О предел е н и е 4. Идеалом ! коммутативной алгебры Х иэзываетсв подпростРанство К, обладающее тем свойством, что для всякого у ге ! и лю- бого х из Х произведение ух принадлежит 1, Идеал, состоящий из одного нуля, а также идеал, состоягдий из всего Х, мы называем тривиальными 'и в дальнейшем исключаем иэ рассмотрения. Максимальным называется идеал, не содержащийся ни в каком другом нетривиальном идеале.
введенные понятия рассмотрим на примере алгебры Ст, ДОПОЛНЕНИЕ, БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ В!О Пусть У' — нспустос подмножество компакта Т. Множество М. - = (х (1) вм С!.>.х (!) О, 1»м У ), состоящее из функций, обращающпхся в нуль иа й, образует, как легко видеть, идеал в Сг. Максимальные идеалы в Сг допускают простое описание, являющееся к тому же ключом к пониманию всего замыслатеории коммутативных банаховых алгебр. Л е м м а !. Максимальный идеал алгебры Сг есть совокупность всех функций из С„, обращающиеся в нуль в какой-либо одной фиксированной тачке тв множества Т.
Доказательство. а) ПУсть М, =(х(1) вы С!.> х(та) О). Тогда Мт, есть идеал. Покажем, что оз максимален. Действительно, пусть ха(1) (м М,, т. с. х (т )тьО, Длч любого у(1) вм С положим: х(1) у(1) в —. Ђ (тв) хв(1) о о Т хв (тв) Тогда х(та) О и, следовательно, г (1) принадлежит М, Итак, добавление любого элемента не из М приводит к тому, что идеал, порожденный Мт тв н этим элементом, стачовнтся тривиальным. Следовательно, М вЂ” максималея.
б) Пусть наоборот, М вЂ” какой-либо максимальный идеал из С . Покажем, что все функции, входящие в этот идеал, обращаются в нуль в неноторой точне. Действительно, если это не так, то для наждой точки квм Т найдется функция хт(1) вж М такая, что хт (т)чьО. В силу непрерывности х, (1) По ! найдетсн такаЯ окРестпость 0« точки т, что х„(1)чьО в (1«. Из открытого покрытия Т в:!! (! выберем конечное покрытие (1«,..., (/« .
т Тогда в силу определения идеала ха(1)=х, П) ., (1)+. ° +х, П)х, (П= 2 ~х, (1)~з А=! принадлежит М. В силу того, что хв(1) ) О всюду на Т, функция 1/хв(1) будет непрерывной. Поэтому 1 = (1/х,(1)) хв(1) выМ. Но идеал, содержащий единицу алгебры, содержит н любой элемент алгебры, ибо у(!) = у(1) . !. Поэтому М— тривиальный идеал, что противоречит предположению о том, что М вЂ” максимальный, а следовательно, нетривиальный идеал.
Таним образом, мы получили, что между мансимальными идеалами и точками из пространства-носителя Т люжно установить взимно однозначное соответствие. Это позволяет трактовать функции на Т как «функции на пространстве максимальных идеалов». Мы покажем, — и в этом цель излагаемой ниже теории коммутативных банаховых алгебр, — что всякая такая алгебра Х допускает реализацию в виде подалгебры алгебры непрерывных функций иа компактном хаусдорфовом топологичсском пространстве, образованном се максимальными идезлами, Э 2.
Спектр и резпльвента В этом параграфе алгебра Х ие обязательно коммутативна, но имеет единицу. Многие рассмотрения здесь подобны тем, которые проводились в Г> б гл, 1А>, 1..Определения и примеры. 0 п р еде лен и е. Элемент х щ Х называется обратимым, если он имеет обратный, т. е. если найдется такой элемент х-', что х х-' х-' х=с. В противном случае элемент х называется необратима>м. 'Спектром а (х) элемента х вж Х называется множество комплексных чисел А, для которых элемент Ае — х необратим. Если А ~ а(х), точку А называют регулярнащ СПЕКТР И РЕЭОЛЬВГНТА 517 Функпия ]!А.С",а(х)-эХ, Иах=х(Л)=(йе — х) определенная на множестве регулярных точек элемента х, называется резоль вентой этого элемента.
Спектральным радиусом г(х) элемента к ~ Х называется число г(х) = ьпр ) Л]. Л ю б !х! Введенные важные понятия проиллюстрируеи на примерах. г) Если Х = С, то обратимы все элементы кроме нуля; б) Если Х = Ст, то для обратимости х(1) необходимо и достаточно, чтобы функция х(1] была всюду отлична от нуля. Спектр о(х) совпадает с множеством значений х(1); резольвента Ил имеет вид ! Л вЂ” х(1) ' г (х) = !1 х !! = щах ! х (1) ( . в] Если Х = .2'(У, У) — алгебра ограниченных операторов, то обратилчые элементы суть обратимые операторы, спектр и резольвента в этом случае совпадают со спектром и (с точностью до знака) резольвентой оператора, которые были введены в п.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
