Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 97
Текст из файла (страница 97)
Введем обозначение Е = Ф'(хь)Х. По условию Š— замкнутое подпространство. Если Е Ф У, то, согласно следствию 3 теоремы Хана — Банаха (п. 3 ф 1 гл. 1Ъ') найдется ненулевой функционал уч~ У, равный нулю на Для пего при всех х ~ Х имеем ([Ф'(хч))'у',, х) =(уь, Ф'(хь) х) =О, так как Ф'(ха) хеп Е. Поэтому, приняв у, за у и положив Ло= О, получаем (13). вот экстоемольные злдочн Рассмотрим теперь случай, когда Ф(хо)Х = У. Применив к отображению Ф теорему Люстерника, получаем, (то для каждого Й ен Х, удовлетворяющего условию Ф (ха) Й = О, прн всех достаточно малых 1 существует такой элемент х (1 Й) хо + 1Й + г (1) что Ф(х(1, Й))=О, 1 ((г(1)1~- О при 1- О. Рассмотрим функцию 1(1) = г" (х(1, Й)).
Ее производная в нуле ф = г'(,)Й должна быть равна нулю. Действительно, если с"' (хо) Й = с Ф О, то знак разности р (х (1, Й)) — Р (хо) = с1 + Р' (хо) г (1) + о (1 ) определяется членом с1 и, следовательно, меняется прн замене 1 на — 1, а при этом в точке хо не может быть экстремума. Итак, мы получаем, что с'(хо)Й = О для всех Й таких, что Й ен Кег Ф'(х,). Иначе говоря, Й'(хо) есть элемент из Х*, ортогональный подпространству Кег Ф'(хо) с: Х. Но, согласно лемме об аннуляторе ядра оператора (см. стр. 232) [Кег Ф' (хо)]х =! гп (Ф' (ха))'.
Это означает, что если Й'(ха) е=(Кег Ф'(хо))х, то найде(си такой функционал у'~ У', что с'(хо) = — (Ф'(хо)Гу . (14) Положив Йа = 1 и взяв тот функционал у*, для которого выполнено равенство (14), мы и получим (13). Доказанная теорема представляет собой бесконечномерное обобщение известного нз классического анализа правила множителей Лагранжа для задач на условный экстремум. Действительно, если Х и У вЂ” конечномерные пространства, т.
е. если ищется минимум функции (о(х(, ..., х„) при условиях (((х(, ... ..., х„) = О, 1= 1, 2, ..., т, то функционал у' — это система т чисел Й(, ..., Й . Условие замкнутости образа пространства Х МЕТОД НЬЮТОНА 509 его главной линейной частью, т. е. элементом Р(хо) (хо — х), мы получаем из (3) линейное уравнение Р' (хо) (хо — х) = Р (хо), решение которого х~ =хо — [Р (хоЦ Р(хо) естественно рассматривать как следующее приближение к точному решению х уравнения (3) (существование оператора [Р'(хо)[ ' здесь, конечно,'предполагается).
Повторяя те же рассуждения,мы получаем последовательность хь ы — — х„— [Р' (х„Ц (Р (х„)) (4) приближенных решений уравнения (3). В бесконечномерном случае нахождение обратного оператора [Р'(х Ц ' может быть достаточно сложной задачей. Поэтому здесь бывает целесообразно пользоваться так называемым модифицировинным методом Ньютона (см. [27, 28)). Модификация состоит в том, что вместо последовательности (4) рассматривается последовательность, определяемая формулой х„», = х„— [Р (хоЦ (Р (х„)), (5) т. е. обратный оператор [Р'(х,Ц-' берется на каждом шаге при одном и том же значении аргумента х = хо. Хотя такая модификация уменьшает скорость сходимости, она часто оказывается целесообразной с вычислительной точки зрения.
Перейдем теперь к формулировке и доказательству точного утверждения. Те о р е м а 1. Пусть отобрижение Р сильно диффгренцируемо в некотором шаре В(хо, г) с центром хо и ридиусом г, а производная Р(х) удовлетворяет в этом шаре условию Липшица; [~ Р' (х,) — Р' (х,) 11 » (Т.
1~ х, — х, 11. Лусть [Р'(хо)[ ' существует и М=1[Р'(х.Ц '3, й=[![Р (х,Ц-'Р(х,)[, й=Мй(.. Тогда, если й < '/», то в шаре [1х — хоИ ( й»о, где 1о — меньший корень уравнения йг' — г+ 1=0, уравнение Р(х) = О имеет единственное решение х' и последовигельность [х„), определяемая рекуррентной формулой (5), сходится к этому ргшеншо. Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим в пространстве Х отображение Ах = х — [Р(хо))-'Р(х). Его сильная производная равнаО в точке хо, Это отображение переводит шар 11х — хо1) ( Ио а себя.
Действительно, Ах — хо = х — хо [Р' (хоЦ Р (х) = = [Р'(хоЦ (Р'(хо) (х — хо) — Р(х) + Р(хоЦ вЂ” [Р'(хоЦ 'Р(хо) элгошнты диеэеяенцнольного исчисления 1гл К Поэтому !! Ах — хо !! («!!(г'(хо)! ~ ' !! г (хо) (х — хо) — г (х) + г (хо) !! + +!! !г"'(хо)! Е( о) !1, т, е. )! Ах — хо !! «(М !! Г (х,) (х — хо) — Е (х) + Е (хо) !! + й. (6) Рассмотрим вспомогательное отображение Ф (х) = Е (х) — Р (хо) — Р' (хо) (х — х,). Оно дифференцируемо и его производная равна Ф",х) = = Г(х) — Р'(хо).
Если !~х — хо!! = й1о, то имеет место оценка !! Ф' (х) ~! = )! Р' (х) — Р' (хо) !! ( 1. !! х — хо !! «( 1.1ой. Отсюда по теореме о среднем (формула (9) 5 !) получаем !! Ф (х) !! = )! Ф (х) — Ф (х„) )! ( 7.1ой ~' х — х„~ ( 1.1ойо. (7) Итак, если !!х — хо!!«(1ой, то из (6) и (7) получаем !! Ах — хо ~ ( М 11ойо + й = й (МЫ'й + 1) = lг (1о1о' + 1) = й! а это и означает, что отображение А переводит шар !~х — хо~! ( ( й1о в себя. Покажем теперь, что А — сжимающее отображение этого шара. При !)х — хо!! ( л1о имеем А'(х)=-7 — (Р (хо)) ' Р'(х) =(Е'(хо)Г'(Е'(хо) — Е'(х)), ° ткуда !! А' (х) !~ ( «М !! Е' (хо) — Р' (х) !! «( МЕ. !! х — хо !! ( «М(.й1о. 'г!о 1о — меньший корень уравнения л1о — 1+ 1 =О, т.
е. 1о = ! — з1~ — ол Поэтому !А'(х)!!(«май!о=й1о — й,„—, — ц < —,, (6) откуда !~ Ах, — Ах.,~!( — !!х, — хо!!, т. е. А — сжимающее отобра- 1 жение. Следовательно, отображение А имеет в шаре !!х — хо!! ( й1о одну и только одну неподвижную точку х*. Для этой точки х'=х* — [г"'(хо)! 'г" (х'), т. е. Р(х') =О. Вместе с тем Ах = хо — (Е'(хо)) 'Е(х„) = хо+г МЕТОД НЬЮТОНА » 41 и, в силу теоремы о сжимающих отображениях, последовательность (х„) сходится к х'. Из неравенства (8) сразу вытекает следующая оценка скорости сходимости модифицированного метода Ньютона: 1!х„— х" ~~( —,' (~[Р(хо)1 'Р(ха)(), (9) т.
е. погрешность модифицированного метода Ньютона убывает как геометрическая прогрессия. Отметим для сравнения, что обычный метод Ньютона (в котором приближения определяются формулой (4), а не (5)] сходится быстрее, чем геометрическая прогрессия: для этого метода )!ха — х" ~(~ ~—,(26)« ' й. Если функция К(з,1, и) и функциональное пространство, в котором рассматривается уравнение (1О), таковы, что производная г"'(х) отображения г' может быть вычислена «дифференцированием под знаком интеграла», т. е. если г = г"' (х,) х означает, что а(з) =х(з) — ~ К'„(з, 1, ха(1))х(г)о1, а то уравнение (!1) принимает внд » Ьх(з) = ~ Ка(з,1, ха(1))бх(г)ги-1-ф (з), а (12) П р и м е р.
Рассмотрим нелинейное интегральное уравнение ь х(г) = ~ К(з, 1, х(1))Ж, (10) а где К(з, 1, и) — непрерывная и непрерывно дифференцируемая функция своих аргументов. Введя отображение у = г"(х), опре- деляемое равенством ь у(з) =х(з) — ~ К(з, 1, х(1)) а0, а запишем уравнение (10) в виде Р(х) = О, Пусть ха — нулевое приближение для решения этого уравне- ния. Тогда первая поправка Лх(г) = х~ — х, определяется из уравнения г (х«)ох= — г (хо). (11) ЭЛЕМЕНТЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ [ГЛ.
Х где Газ(з) = $ К(з, г, х,(г))~(~ — х (з). ч Аналогично находятся и следующие поправки. Таким образом, нахождение каждого следующего приближения сводится к решению л и н е й н о г о интегрального уравнения. Если применяется модифицированный метод Ньютона, то прн этом на каждом шаге приходится решать линейное уравнение с одним и тем же ядром.
Более подробное изложение метода Ньютона и связанных с ним вопросов имеется в книге [28), а также в статье Л. В. Канторовича (27), которому и принадлежат основные результаты, относящиеся к обоснованию метода Ньютона для операторных уравнений. Д О П О Л Н Е Н 14 Е БАНАХОВЫ АЛГЕБРЫ В. М. Тихомиров В третьей главе этой книги изучались линейные пространства.
Там был выделен важный класс линейных пространств — банаховы пространства. Здесь, в этом дополнении, будут изучаться б а н а х о в ы а л ге б р ы, т. е. банаховы «ространства, в которых определено умножение элементов. Наличие умножесия в сочетании с линейной и метрической структурой наделяет банаховы алгебры рядом замечательных свойств. ф 1. Определения и примеры банаховых алгебр 1. Банаховы алгебры, изоморфнзмы банаховых алгебр.
Напомним, что эинейиым пространством называется непустое множество злементон, в котором введены две операции — сложение и умножение на числа, удовлетворяюцие восьми аксиомам, сформулированным в й 1 гл, Н!. О п р е деле н ив 1. Линейное пространство Х называется алгеброй, если в нем введена еше одна алгебраическая операция — умножение, которое подчинено следующим аксиомам: (ху)г = х(уг). 2.
х(у+ я) = ху+ хг; (у+ г)х = ух+ гх. 3, а(ху) = (ах)у = х(ау). 4. Если существует элемент е см Х такой, что гх = хг = х для всех к см Х, то е называется единицей алгебры Х, а сама алгебра называется алгеброй с единицей '). б. Если операция умножения коммутативна, т. е. если выполняется ак. сиама: ху ух, го алгебру Х называют конмутативной алгеброй. Коммутативные алгебры с единицей и будут в основном объектом нашего Хальнейшего рассмотрения. Всюду в этом дополнении числовое поле, над которым рассматриваются саши алгебры, это поле С коиплексиых чисел. В б 3 гл. Н1 было введено понятие нормированного пространства, т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
