Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 63
Текст из файла (страница 63)
Положим л ! ТаК КаК На Вл фуНКцнн / И / ОГраНИЧЕНЫ И ВСЕГда Ч~(Х) = ~ /(х)+ 1, то ~ ~р (х) 4А < ~ / (х) Н1А + р (А) = Вш ~ /„(х) Фр + р (А)(~К + р (А). в в Л.+ л л 3 э, ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА Но ~ф(х)4 =,) Гр(А.). В г ! Ограниченность же этих сумм означает сходимость ряда ~ гр(А,) = ~ !р(х)др. г=! А Таким образом, интегрируемость ф на А доказана. Условие монотонного неубывани я функций ) (х) можно, очевидно, заменить в доказанной теореме условием их монотонного и е в озрастания.
С л е д с т в и е. Если ф (х) -: 0 и ~ 4>„(х) ди ( ьь, ь=! А то почти всюду на А ряд 2.' ф„(х) сходится и ь=! '! ! А, '!. (*!1ь - т, ) Ф. (*)ь А ь ! ь ! А Теорем а 8 (Ф а ту)„Если последовательность измеримых неотрицательных 4ункций ()' ) сходится почти всюду на А к ) и ~ ),(х) с(р~(К, А то ~ интеерируема на А и 1 ) (х) дн ( К. А Доказательство. Положим !р„(х) = !и! )ь(х); ь~ь измерима, так как (х: ф„(х) <с) = Ц (х: ~ь(х) <с). ь~л Далее, 0 ~~ф„(х) <)„(х), поэтому ф„интегрируемы, и ~ ф„(х) ди (~ ~ 7„(х) ди ( К; А А меРА, измеРимые Функции, интеГРАл !Гл. у наконец, ()<р ()< ...
<Е„(х)< !!щф„(х) =»(х) «.Ф.. почти всюду. Поэтому, применяя предыдущую теорему к (~Р,», получаем требуемый результат. 6. Интеграл Лебега по множеству бесконечной меры. До сих пор, ~оворя об интеграле и его свойствах, мы считали, что рассматриваются функции, заданные на том или ином измеримом множестве конечной меры. Однако часто приходится иметь дело с фуумциями, заданными на множестве, мера которого бесконечна, например, иа прямой с лебеговой мерой на ней. Поэтому важно распространить понятие интеграла и на этот случай. Мы ограничимся при этом тем практически наиболее существенным случаем, когда рассматриваемое множество Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств конечной меры: Х = !» Х„, р(Х„) < ьь, (24) Если пространство Х, в котором задана мера р, представимо каи сумма счетного числа множеств конечной меры, то мера !А на Х называется а-конечной (см.
п. 3 5 3). Примерами о-конечных мер служат меры Лебега на прямой, плоскости, в и-мерном пространстве. Меру, не удовлетворяющую условию а-конечности, можно получить, например, приписав каждой точке иа прямой вес 1. Тогда все подмножества прямой можно считать измеримыми, причем конечные множества будут иметь конечную меру, а остальные — бесконечную.
Назовем исчерпывающей последовательностью всякую монотонно возрастающую последовательность (Х„) измеримых подмножеств множества Х, удовлетворяющую условию (24). Введем теперь следующее определение. Определение 4. Измеримая функция», определенная иа множестве Х с о-конечной мерой р, называется суммируемой на Х, если она суммируема на каждом измеримом подмножестве А с Х конечной меры и если для каждой исчерпывающей последовательности (Х » предел !Цп )1(х)йр (25) "~" Х„ существует и не зависит от выбора этой последовательности Этот предел называется интегралом ог» по множеству Х и обозначается символом ~ »(х) др х $5! ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА Ясно также, что если функция ( равна нулю вне некоторого множества конечной меры, то для нее только что сформулиро- ванное определение интеграла равносильно тому, которое было дано в и.
3. 3 а меч ание. Определение интеграла от простой функции, данное в п. 2, можно дословно перенести на случай бесконечной меры. Ясно при этом, что для суммируемости простой функции необходимо, чтобы каждое отличное от нуля значение она при- нимала только на множестве конечной меры. Определение сум- мируемости, данное в п. 3, существенно связано с предположе- нием конечности меры множества Х. Действительно, если 55(Х) = оо, то из равномерной сходимости последовательности простых суммируемых функций (!Р ) не следует, вообще говоря, сходимость последовательности их интегралов (приведите при- мер!). Результаты, изложенные в пп.
3 и 4 для случая конечной меры, в основном переносятся на интегралы по множеству бес- конечной меры. Существенное отличие состоит в том, что в случае р(Х) = оо ограниченная измеримая функция на Х не обязана быть сум- мируемой, В частности, если р(Х) = оо, то никакая отличная от нуля константа не интегрируема на Х. Читатель без труда проверит, что теоремы Лебега, Б. Леви и Фату остаются справедливыми в случае бесконечной меры.
7. Сравнение интеграла Лебега с интегралом Римана. Выяс- ним связь между интегралами Лебега и Римана. При этом мы ограничимся простейшим случаем линейной меры Лебега на прямой. Т е о р е м а 9. Если суи(ествует интеграл Римана ь Т=Я) 1 Пхцх, а.
то ! интегрируема на [а, 6) ао Лебегу и 1 1(х)др=!. рм Ы Доказательство. Рассмотрим разбиение отрезка (а, Ь) на 2" частей точками А ХА=а+ Ео (6 — а) и соответствующие этому разбиению суммы Дарбу: ЕО о А=! А ! МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ ~ГЛ. У зов где М а — верхняя грань | на отрезке ха, «<х«(ха, а Гп„а — нижняя грань 1 на том же отрезке. По определению интеграла Римана, а.+а Положим 1„(х) =М„А при хА, «<х < хь, ~„(х) = т„а при хА, «( х < ха.
В точке х = Ь функции 1„и 1„можно доопределить произвольно. Легко вычислить, что 1„(х) и'Р = 0„, ~ 1„(х) Г(Р = э„. ~а. Ы ~а, Ы Так как последовательность (1„) не возрастает, а последовательность (1 ) ие убывает, то почти всюду 1„ (х) -+ 1(х) = 1(х), 1„(х) -+ 1(х) < «1(х). По теореме Б. Леви ~ ~ (х) Г(р =!ип 0„=1 = Бш ы„= ~ 1(х) Г(и. 1а, Ы 1а, Ы Поэтому ~ ~~(х) — Е(х)!Ф= ~ (1(х) — 1(х))Ф=О ~а. Ы !а, Ы и, следовательно, почти всюду Их) - Н.) =О, т. е.
1(х) =1(х) =1(х) 1(х) др =1. ~а, Ы Теорема доказана. Легко указать примеры ограниченных функций на некотором отрезке, интегрируемых по Лебегу, но не интегрируемых по Рпману (например, уже упоминавшаяся функции Днрихле на отрезке [О, (1, равная 1 для рациональных и О для иррациональных х). Неограниченные функции вообгце не могут быть интеГрируемы по Риману, но многие из них иптегрируемы по Лебегу. ИНТЕГРАЛ ЛЕВЕГА зов В частности, любая функция 1(х) ) О, для которой интеграл Римана ь ~ 1(х)е(х а+е существует прн каждом е ) О и имеет конечный предел 7 при Е-РО, интегрируема по Лебегу на (а, Ь), причем ~ 1 (х) е(н = В го ~ 1 (х) е(х. [а. ь1 а+в Несобственный интеграл 1нп ~ 1(х)е(х ' "а+е в случае, когда ь 11!и ~ 11(х) 1е(х = оо, е.+е а+в не существует в лебеговом смысле, поскольку, согласно свойству Ч1П п.
3, из суммируемости функции 1(х) следует, что и функция (1(х)1 тоже суммнруема. Например, интеграл ! 1 . ! — з(п — дх Х' Х П существует как (условно сходящийся) несобственный интеграл Римана, но ие существует как интеграл Лебега. Если рассматривается функция на всей прямой (или полу- прямой), то интеграл Римана для такой функции может существовать лишь в несобственном смысле. Опять-таки, если такой ии!еграл сходится абсолютно, то соответствующий лебегов интеграл существует и имеет то же самое значение.
Если же этот интеграл сходится лишь условно, то в лебеговом смысле функ!!и х цпя не ннтегрируема. Например, функция — хне ннтегрируема по Лебегу на всей прямой, поскольку игл. к меРА, измеРимые Функции, интегРАл а1о Однако несобственный интеграл как известно, существует, и равен и. $ 6. Прямые произведения систем множеств и мер. Теорема Фубини В анализе важную роль играют теоремы о сведении двойного (или вообще многократного) интеграла к повторному.
В теории кратных интегралов Лебега основным результатом является так называемая те о р е м а Ф уб н н н, которая будет доказана в конце этого параграфа. Предварительно мы установим некоторые вспомогательные понятия и факты, имеющие, впрочем, и самостоятельный интерес. 1. Произведения систем множеств. Множество Я упорядоченных пар (х, у), где хен Х, уен У, называется прямым произведением множеств Х и У и обозначается Х Х У.
Аналогично, множество Я упорядоченных конечных последовательностей (хь хь ..., х,), где х» ен Хм называется прямым произведением множеств Хь Хм ..., Х„и обозначается Х = Х1 Х Х» Х ... Х Х„= Я Х». В частном случае, когда х =х= ... =Х„=х, множество Х есть и-я степень множества Х: Я=Х". Например, координатное и-мерное пространство В" есть и-я степень числовой прямой В'. Единичный куб!", т. е. множество элементов из В" с координатами, подчиненными условию О~~х»» 1, й=1, 2, ..., и, является и-й степенью единичного сегмента !'=10, 1].
Если Яо Ж», ..., Ƅ— системы подмножеств множеств Х„ Х„..., Х„, то (й=е,хж х ... Хж„ обозначает систему подмножеств множества Х = Я Хы представимых в виде А =А1 ХА»Х ХА, где А» »на» $61 ПРЯМЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ СИСТЕМ МНОЖЕСТВ И МЕР ЗП Если Ж,=б»= ... =»о„=б, то Я есть п-я степень си- стемы 6: Я=Я". Например, система параллелепипедов в ??" есть п-я степень системы отрезков в ?6'. Теорема 1. Если Жи Жм ..., Ƅ— полукольца, то и Я = ЯЖ» есть полукольцо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
