Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Если исходная мера гл задана в пространстве Х на некотором полукольце без единицы, то введенное выше определение измеримости множества оказывается слишком узким. Например, если Х вЂ” это плоскость, то такие множества, как вся плоскость, полоса, внешность круга и т. п., имеющие бесконечную площадь, при таком определении не попадают в число измеримых, Естественно расширить понятие измеримости, допуская для меры и бесконечные значения, с тем, чтобы совокупность измеримых множеств была, как и в случае, когда исходная мера задана на полукольце с единицей, о-алгеброй (а ие только б-кольцом).
Мы ограничимся при этом практически наиболее важным случаем так называемой о-конечной меры, хотя соответствующее пост оение можно провести и в общем случае. К усть а-аддитивная мера т задана на некотором полукольце подмножеств множества Х. Мы скажем, что эта мера о-конечна, если все Х может быть представлено как сумма счетного числа множеств из ю (но не как сумма конечного числа множеств из ( ).
Примером о-конечной меры может служить площадь, определенная на всех прямоугольниках на пло- ЛЕВЕГОВО ПРОЛОЛЖЕННЕ МЕРЫ 777 Тогда Ив есть о-алгебра с единицей В (см. следствие из теоремы 6). Рассмотрим теперь совокупность 6 множеств А, имеющих измеримое пересечение с каждым Вн А П В! еи Ив! Иначе говоря, А еи т1 означает, что А представимо в виде А= Ц Аь где А! ее Ив . 1=! (4) Система 6 представляет собой о-алгебру (проверьте!), которую. мы назовем прямой суммой о-алгебр Иан Множества (4), составляющие а-алгебру 6, мы назовем измеримыми и определим меру р каждого такого А следующим образом: если А= () А!.
А! еи Ив,, ! ! то й(А)= Х «(А1). ! Поскольку мера всякого множества неотрицательна, стоящий здесь справа ряд сходится к некоторому неотрицательному зиа- ЧЕНИЮ ИЛН К +СО. скости. Простой пример не о-конечной меры можно получить следующим образом.
Пусть на отрезке (О, 1) задана некоторая функция )(к). Для каждого конечного подмножества А = = (хь ... „х ) отрезка положим р(А) = 2' ! (х1). Если множество точек к, в которых )(х) Ф О, несчетно, то такая мера на [О, 11 не будет о-конечной. Итак, пусть т есть о-аддитивная и о-конечная мера в Х, определенная на полукольце 6„,. Пусть Х= () Вь В,еи 8 .. 1 Перейдя от полукольца !т.
к порожденному им кольцу И(!в ) ь-! н заменяя Вь на Вь ~, ! ) В1, можно считать, что Х представлено как сумма счетного числа попарно н е п е р е с е к а !о ш и х с я измеримых множеств, которые мы по-прежнему обозначим В,. Вм ... Применив к 1п описанную в предыдущем пункте процедуру лебегова продолжения, мы получим меру р, определенную на 6-кольце И. Пусть В си И н Иа — система всех множеств нз И, содержащихся в В: И„=(С: Сед И, В с С). меРА, измеРимые Функции, интеГРАл )Гл ч '278 Те о р ем а 7. В сделанных выше предположениях справедливы следующие утверждения: 1) о-алгебра л и мера )з не зависят от выбора системы непересекающихся множеств В) из И, удовлетворяющих условию 6В,=Х; 2) мера )з о-аддитивна на а; 3) совокупность множеств А ~ л, для которых )А (А) ( оо, совпадает с Ь-кольцом И и на этом Ь-кольце )с= )а.
Доказательство. !) Заметим прежде всего, что А е- :а в 'том н только том случае, если АПС~ И для любого Сев И. Достаточность этого условия ясна, поскольку оно означает, в частности, что А () В, ~ И (( = 1, 2, ...); проверим его необходимость. Пусть А ен "а и Сев И. Положим С,=СОВА тогда А П С= О (А Д С,).
Так как при всяком ЬГ з()) )з за))<~()) с)<з)су, то в силу теоремы 6 множество АПС измеримо. Пусть (В)) и (В)) — две системы непересекающихся множеств из И, такие, что () В, = () В) = Х. Если А ен Я, то, поскольку мера р каждого множества из И неотрицательна, выполнены равенства р (А П В ) ~ )) (А Д В, Д В)) = ~„)) (А () В)), к/ ) т. е.
определяя )А(А) по системе (В)) или (В;), мы получим один н тот же результат. 2) Пусть А~), А~), ... енй, А~ ) П Аи) = О, йФ1 и А= (й) А~"'. Тогда в силу о-аддитивности меры р на И: )а (А)= ~ )з(АПВ))= ) )з (А~~)ДВ,)= — ь (л з 1А'" с з)) = ь з 1зщ~), т.
е. )з о.-аддитивна. Наконец, 3) непосредственно следует из теоремы 6. 3 а м е ч а н и е. Описанное выше расширение понятия измерямости (с допущением для меры беснонечных значений) возможно и без предположения л-конечности исходной меры, например, по следующей схеме. Ьз) 279 ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ Пусть Х вЂ” некоторое пространство и 61 — какое-то д-кольцо его подмножеств. Множество А с Х называется измеримым относительно %, если А ПВ гж% для любого В гм%, Нетрудно проверить, что система 6 измеримых относительно % множеств. есть а-алгебра с единицей Х, причем, если само % есть а-алгебра с той же единицей Х, то 6=%, Пусть теперь в Х задана некоторая а-аддитивная мера р, которую мы в силу п.
2 можем считать уже продолженной на некоторое Ь-колыго % ж пусть 6 — совокупность измеримых относительно % множеств из Х. Множество А гы 6 называется иулюмяожесгеом, если р (АПВ) =О для любого В гш %. Теперь на 6 опредеяяется мера и (принимающая, вообще говоря, ж бескоаечные значения) следующим образом: если для данного А гп 6 существует такое В ш%, что А УВ есть нуль-множество, то полагаем и (А) = р (В). Для всех остальных А гм 6 полагаем р(А) =со, Нетрудно проверить, что мера р а-аддитивна и на Ь-кольце % с 6 совпадает с гс.
4. Продолжение меры по )Кардену. Рассматривая в $ 2 этой глазы меры, удовлетворяющие лишь условию аддитивности, мы показали, что каждая такая мера ш может быть продолжена с полукольца б на минимальное кольцо И(Я ), порожденное этим полукольцом. Однако возможно и распространение меры иа некоторое кольцо, более обширное, чем И(ю ). Соот.
ветствуюшес построение называется продолжением меры по Жордену') Идея этого построения, применявшегося в ряде частных случаев еще математиками Древней Греции, состоит в приближении «изиеряемого» множества Л иножествами А' и А", которым мера уже приписана, изнутри и снаружи, т. е. так, что А'с А сА". Пусть ш — мера, заданная на некотором кольце И. О п р е дел е и и е 5. Будем называть множество А измеримым ло Жордину, если прн любом е ) О в кольце Я имеются множества А' и А", удовлетворяющие условиям А' с А с А", а (А" '~, А') С е. Справедливо следующее утверждение.
Т е о р е и а 8. Система И' измеримых по Жордону множеств является кольцом. Пусть 6 — система таких множеств А, для которых существует множе- ство В =з А из И. Для любого А нз И положим, по определению, р(А) = 1п( гs (В), Вюл р(А) = зир гп (В). Выл Функция р (А) и р (А) называготся соответственно «внешней» и «внутрен- ней» жордаиовой мерой множества А. Очевидно, что всегда р (А) ~ р (А). Теорема 9.
Кольцо И' соеиадпет с системой тех множесте А гш 6, для которых 1г (А) = р (А). Для множеств из 6 имеют место следующие теоремы: ~) Камилл )Кардан, французский математик (1838 — 1922), (гл. Р МЕРА. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 2ЕО Т е о р е м а 1О.
Если А с= Ц А ы то )с (А ) < ~ И (4 а). а ! Ь ! Теорема 1!. Если Аащ А (у =1, 2, ..., а) и Агй41 О, то Р(4)» ,'Е р(4). а-1 Определнм теперь функцию р на области 6Р= И' мак общее аначение внешней и внутренней меры: Р(А) р(А) р(А). Из теорем 1О и 11 и из того очевидного обстоятельства, что для А щ Я р(4) р(А) т(4) вытекает следующее утвержденяе: Те ор е и а 12.
Функция р(А) является мерой и нродолжением меры т. Изложенное построение прнменнмо к любой мере т, определенной иа кольце. В частности, его можно применить к множествам на плоскости. Прн этом эа исходное кольцо принвмается. совокупность элементарных множеств (т. е. конечных сумм прямоугольников). Кольцо элементарных множеств зависит, очевндно, от выбора системы координат на плоскости (берутся прямоугольники со сторонами, параллельными осям координат). Прн переходе к плоской мере Жордана эта зависимость ог выбора системы координат нсчезает: отправляясь от любой системы координат (хо хе), связанной с первоначальной системой (хи хе) ортогональным преобразованием х, =соса к~+ э(па хе+он х, = — э1па х, +сова.х, + а„ ыы получим одну и ту же меру Жордана. Этот факт вытекает нз следующей обсаей теоремы.
Теорема 13. Для того чтобы хсордановы яродолжения рн 1(т,) и Р, 1(те) меР т, и ть оЯРеделениых ни кольЦах Я~ и Иэ совладали, необходимо и достаточно выяолнения условий: Я, с=ЯР, т, (А) Р (А) на ЯР Яз~(БРР т (4) и, (4) на И. Если исходная мера т определена не на кольце, а на пояукояьце й , то ее жордановым продолжением естественно назвать меру 1(т) = 1(г(т) ), получающуюся в результате продолжения гл на кольцо Я((5и) и дальнейшего продолження по Жордаяу. 5.
Однозначность продолжения меры. Если множество А измеримо по Жордану относительно меры р, т. е, принадлежит И* Ие(<Ем), то для любой меры р, продолжающей т н определенной на Иэ, значение р(4) совпадает со значением г(4) жорданова продолжения l =/(т). Можно показать, что продолжение меры т за пределы системы И' множеств, измеримых го Жордану, не будет однозначно.
Более точно это значит следующее. Назовем множество А ма аж ест в ам однозначности для меры т,еслн: 1) существует мера, являющаяся продолжением меры т, определенная для множества А; й з) 2аг ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ 2) для любых двух такого рода ыер (И н рз р (А) =р (А). Имеет место теорема: система мнозсестз однозначности для меры ш соепадиет с сисгемоа мнозсестз, измеримых по Жердину относшельно меры ш„ т. е.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
