Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 53
Текст из файла (страница 53)
Установим прежде всего некоторые свойства собственных векторов и собственных значений самосопряжеииых операторов и Н, вполне аналогичные, впрочем, соответствующим свойствам конечномериых самосопряженных операторов. 1. Все собственные значения самосопряженного оператора А в Н действительны В самом деле, пусть Ах = ) х, ~(х~( Ф О, тогда Х(х, х) =(Лх, х)=(х, Ах)=(х, Хх) =Х(х, х), откуда Х = х. 1!. Собственные векторы самосопряженного оператора, отвечающие различнгям собственным значениям, ортогональны. Действительно, если Лх = Хх и Ау = иу, причем Х Ф и, то Х(х, у)=(Ах, у) =(х, Ау)=(х, ру)=1г(х, у), откуда (х, у) = О. Докажем теперь следующую фундаментальную теорему.
Теорема 5 (Гильберт — Ш м и дт). Для любого компактного самосопряженного линейного оператора А в гильбертовом пространстве Н существует ортогональная нормированная система (~р4 собственных векторов, отвечающих собственным КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ значениям (А„) (Х„чь О), такая, что каждый элемент $ ~ Н записывается единственным образом в виде е= ~'„с»~р»+ в, где вектор $'ея КегА, т. е. удовлетворяет условию А$'.= О; при. этом А$ = 2, А»с»~р» и если система (~р„) бесконечна, то 11тХ„= О (и-Р оо).
Для доказательства этой основной теоремы нам понадобятся следующие вспомогательные утверждения, Л ем ма 2. Если (В„) слабо сходится к $ и линейный оператор А компактен, то Я($„)=(А$„, $„)-+(А$, $)=Я(е). Доказательство. Для всякого и ! (А$„, $„) — (А$, $) !((! (А$„, $„) — (А$, $„) !+!(Ае, $„) — (А5, $) ! Но ! (А$„, 5„) — (А$, $„) ! ( !! $„!! !! А ($ — $) !! 1(АЕ„, В) — (АВ, $) !=!($, А($„— В)) !(!!В!!. !1А($„— В) !1, и так как числа !|е„!! ограничены, а !1А(е„— е)!!-»О, то 1(АВ„, В„) — (АВ, В) 1-»0, что и требовалось доказать. Л е м м а 3. Если функционал !!ей) 1=! (А5, $) !, где А — ограниченный самосопряженный линейный оператор, достигает на единичном шаре максимума в точке $ы то из (В», Т1) = О вытекает, что (А3з, Т1) = ($» Ат)) = О. Доказательство.
Очевидно, Ц»!! = 1. Положим й»+ ич ~тчтяРТ Р где а — произвольное комплексное число. Из !!В»!! = 1 следует. что !! В !! = 1 Далее Я(В)= 11 !,1,1„1*%(В»)+й(А$», т1)+а(%о, Ч)+!а10(Ч')- г48 линеиные фтнкционхлы и линенные опеохтогы )гл. и Число а можно взять сколь угодно малым по модулю и таким, что а(А$о, и) — действительная величина. Тогда а(А$о, т)) = = а(А1о, т)) и Я ($) = (4 (ао) + 2а (А$о т)) + О (аг) Из последнего равенства ясно, что если (А$о, Ч) Ф О, то а можно выбрать так, что ! Я($) ! ) ! Я До) ), а это противоречит условию .леммы. Из леммы 3 непосредственно вытекает, что если )Я(8) ! достигает максимума при $ = $о, то во есть собственный вектор оператора. Доказательство те о р ем ы 5.
Будем строить элементы фо по индукции, в порядке убывания абсолютных величин соответствуюших им собственных значений: ! ~" 1 !» ! Хг ! » «' ' ' ~~ ! ~'о !»~ Для построения элемента ~рв рассмотрим выражение)Щ)! = =-! (А$, $) ! и докажем, что оно на единичном шаре достигает максимума. Пусть о= вцр )(А$, ~) ! ооон~ и $ь $г..., — такая последовательность, что Цо)! =! и ! (А%„%„) !-~ 5 при и — ъ оо. Так как единичный шар в Н слабо компактен, то из ($ ) можно выбрать подпоследовательность, слабо сходяшуюся к некоторому элементу Ч. При этом )!Ч)! «=' 1 и в силу леммы 2 ! (АЧ, Ч) != з.
Элемент Ч мы и примем за ~р,. Ясно, что ))Ч)! в точности равняется 1. (действительно, пусть ))Ч!)<1; положим Ч,=Чл)Ч!); тогда ))т), ))=1 и !(Ат)„т)) !) о, что противоречит определению о.) При этом А% = ХРь откуда )(Ать ф,) ! (Фв т1) Пусть теперь собственные векторы 'р~ Фг ° ° ° Фа отвечаюшие собственным значениям Х,, Лг, ..., Л„, уже построены, Пусть М (~рп щ...., ф„) — подпространство натянутое на ~р„<рг, ..., ~р„. Рассмотрим функционал 1(А$, $) ! КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ на совокупности элементов, принадлежащих М„=НЭМ(фн ф„..., ф„) (т. е. ортогональных фь фм ф ) и удовлетворяюших условию )~5~1(1. Множество М есть подпространство, инвариантное относительно А (так как подпространство М(~ь фь..., ф„) инвариантно и А самосопряжен). Применяя к М, проведенные выше рассуждения, получим„что в М» найдется вектор (обозначим его фэ ы), собственный для оператора А.
Возможны два случая: 1) после конечного числа шагов мы получим подпространство М~„в котором (А$, $) — = 0; 2) (Ле, е) чм Ф 0 на М~ при всех и. А В первом случае из леммы 3 вытекает, что М,ч переводится оператором А в нуль (положите т1 ='А$Р), т. е. целиком состоит из собственных векторов, отвечающих Х = О.
Система построенных векторов (ф„) состоит из конечного числа элементов. Во втором случае получаем последовательность (ф„) собственных векторов, для каждого из которых А„Ф О. Покажем, что А„-+О. Последовательность (ф) (как и всякая ортогональная нормированная последовательность) слабо сходится к нулю, поэтому элементы Лф =Х ф должны сходиться к нулю по норме, откуда !й ! =1!Аф„!1 -+О. Пусть М' = Н Е М (ф„ф,, ..., р„, ...) = Й М„' ~ О.
л Если $ЕЕМ и ЕчьО, то (А$, Е)(~Х„~!$У для всех и, т. е. (А$, $) =О. Отсюда в силу леммы 3 (при гпах! (А$, е) ) =О), примененной к МА получаем Л$ = О, т. е, подпространство МА переводится оператором А в нуль. Из построения системы (фР) ясно, что всякий вектор можно представить в виде $= 2 сьфА+ 5', где А$'=0 откуда вытекает, что А$ = ~, ААСАфА.
Теорема доказана. Эта теорема играет фундаментальную роль в теории интегральных уравнений, о которых будет идти речь в гл. 1Х. 3 а меч а и не. Доказанная теорема означает, что для всямого компактного самосопряженного оператора А в Н сушествует ортогональный базис пространства Н„состояший из собственных векторов этого оператора. Действительно, для получе- "2бо линейные ФункционАлы и линеиные ОпеРАтОРы [Гл. Нт ния такого базиса достаточно дополнить построенную в доказа.тельстве теоремы систему собственных векторов (ч>и) произвольным ортогональным базисом подпространства МА переводимого оператором А в нуль. Иными словами, здесь получается результат, вполне аналогичный теореме о приведении матрицы конечиомерного самосопряженного оператора к диагональному виду в ортогона([ьном базисе.
Для иесамосопряженных операторов в и-мерном пространстве такое приведение, вообще говоря, невозможно, однако верна следующая теорема: всякое линейное преобразование в и-мерном пространстве имеет хотя бы один собственный вектор. Не-трудно убедиться, что это утверждение не переносится на компактные операторы в и. Действительно, пусть оператор А задан .В >2 формуЛой Ах=А(х,, ха»... х„, ...)=(0> хн —, . °, — "', ° ° .) (8) 'Этот оператор компактен (проверьте[), но не имеет ни одного собственного вектора (докажите это). Упражиеине. Найдите спектр оператора (8).
ГЛАВА Ч МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ Понятие меры п(А) множества А является естественным- обобщением понятий: 1) длины 1(А) отрезка А, 2) плошади 3(г) плоской фигуры г, Э) объема 1'(б) пространственной фигуры б, 4) приращения ф(Ь) — ф(а) неубывающей функции ф(1) на.. пол интервале (а, Ь), ) интеграла от неотрицательной функции, взятого по неко-. торой линейной, плоской или пространственной области, и т. п. Это понятие возникло в теории функций действительного переменного, а оттуда перешло в теорию вероятностей, теорию динамических систем, функциональный анализ и многие другие области математики. В $1 этой главы мы изложим теорию меры для множеств на, плоскости, отправляясь от понятия плошади прямоугольника. Общая теория меры будет изложена в Ц 2 и 3.
Читатель легко заметит, что все рассуждения, проведенные в $1, имеют общий. характер и в абстрактной теории повторяются без существенных изменений. й 1. Мера плоских множеств 1. Мера элементарных множеств. Рассмотрим систему Ж множеств на плоскости (х, у), каждое нз которых определяется. одним из неравенств вила а ( х ( Ь, а (~х < Ь, а < х(~ Ь„ а < х < Ь н одним из неравенств вида с (~ у (~с(, с (~ у < с( с < у (» д, с < у < с1 где а, Ь„с и с( — произвольные числа.
Множества, принадлежащие этой системе, мы будем называть ирямоугольникама. Замк-. нутый прямоугольник, определяемый неравенствами а(х~(Ь, ск,.у~И, 1гл, ч мвэм измвэимыв втикции. иитагэ»л я52 представляет собой прямоугольник в обычном смысле (вместе с границей), если а ( Ь и с(0, отрезок (если а = Ь и с д или а ( Ь и с = а)„точку (при а = Ь, с = а) и, наконец, пустое множество (если а ) Ь или с ) д). Открытый прямоугольиик а<х<Ь, с<у<0 будет в зависимости от соотношения между а, Ь, с и д прямоугольником без границы или пустым множеством. Каждый из прямоугольников остальных типов (иазовем их полуоткрытыми) представляет собой настоящий прямоугольиик без одной, двух или трех сторон, интервал, полуиитервал, либо, наконец, пустое м иожество. Класс всех прямоугольников иа плоскости обозначим Я.
Для каждого из прямоугольников определим его меру, в соответствии с известным из элементарной геометрии понятием площади. Именно: а) мера пустого множества равна 0; б) мера иепустого прямоугольника (замкиутого, открытого или полуоткрытого), определяемого числами а, Ь, с и д, равна (Ь вЂ” а) (Ы вЂ” с). Таким образом, каждому прямоугольнику Р из ю поставлено в соответствие число гп(Р) — его мера; при этом выполнены следующие условия: 1) мера гл(Р) принимает действительные неотрицательные значения; 2) мера т (Р) аддитивна, т.
е. если Р= () Р» и Р, Д Р» = 8 » 1 при (чай, то л т(Р)= ~ т(Р»). » ! Наша задача — распространить, с сохранением свойств 1) и 2), меру а»(Р), определенную пока для прямоугольников, иа более широкий класс множеств. Сначала мы распространим меру иа так называемые злемеитарные множества. Назовем плоское множество элементарным, если его можно представить хотя бы одним способом как объединение конечного числа попарно иепересекаюшихся прямоугольников. Для дальнейшего иам понадобится следующая теорема: Т е о р е м а 1, Объединение, пересечение, разность и симметрическая разность двух элементарных множеств также являются элементарными множествами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
