Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Из сказанного там ясно, что дифференцирование есть линейный оператор в пространстве обобщенных функций, притом непрерывный в том смысле, что из сходимости последовательности обобщенных функций [[,(Г)) к Г(Г) следует сходимость последовательности их производных к производной обобщенной функции [(Г). 222 ЛИНЕИНЫЕ ФУНКБИОНАЛЫ И ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 1ГЛ, ПГ 2.
Непрерывность и ограниченность. Линейный оператор, действующий из Е в Еь называется ограниченным, если он определен на всем Е н каждое ограниченное множество переводит снова в ограниченное. Между ограниченностью и непрерывностью линейного оператора существует тесная связь, а именно, справедливы следующие утверждения. 1. Всякий непрерьчвный линейный оператор ограничен. Действительно, пусть М ~ Š— ограниченное множество, а множество АМ ~Е, не ограничено. Тогда в Е~ найдется такая 1 окрестность нуля У, что ни одно из множеств — „АМ не содержится в У.
Но тогда существует такая последовательность 1 х ен М, что ни один из элементов — Ах„не принадлежит У, н 1 мы получаем '), что — х„-РО в Е, но последовательность 1 — Ах„~ не сходится к 0 в Еп это противоречит непрерывности оператора А. П. Если А — ограниченный линейный оператор, действующий из Е в Еь и в пространстве Е выполнена первая аксиома счет- ности, то оператор А непрерывен. Действительно, если А не непрерывен, то найдется такая окрестность нуля У в Е| н такая определяющая система ((1„) окрестностей нуля в Е, что (г'„+1 с: (г„и для каждого и суще- 1 ствует такое х„~ — ()„что Ах, ф пУ.
Последовательность х и в Е ограничена (и даже стремится к О), а последовательность Ах„не ограничена в Е~ (поскольку она не содержится ни в одном из множеств пУ). Итак, если оператор А не непрерывен, а в Е имеет место первая аксиома счетности, то А и не ограничен. Наше утверждение доказано.
Итак, для оператора, заданного на пространстве с первой аксиомой счетности (к которым, в частности, относятся все нормированные и счетно-нормированные пространства),ограниченность равносильна непрерывности. Все операторы, приведенные в примерах 1 †в предыдущем пункте, непрерывны. В силу только что доказанного утверждения 1 все перечисленные там операторы ограничены. Если Е и Е, — нормированные пространства, то условие ограниченности оператора А, действующего из Е в Е„можно сформулировать так: оператор А называется ограниченным, если он переводит всякий шар в ограниченное множество. В силу линейности А это условие можно сформулировать так: оператор А 1) См.
уяражненяе 1 в я. 1, $5, гл. Ш, линвиныв опеихтоэы ограничен, если существует такая постоянная С, что для вся- кого ~ он Е 11 А1 11(С!1111. Наименьшее из чисел С, удовлетворяющих этому неравенству, называется нормой оператора А и обозначается 1!А!1. Теорем а 1. Для любого ограниченного оператора А, действующего из нормированного пространства в нормированное, 1!А!1= зир 1!Ах!!=зпр (2) акы! к~о ИкИ Доказательство. Введем обозначение а= зпр ИАх11. ИкИ С! В силу линейности А справедливо равенство а зпр 1!Ах!1= зпр —. ИАкИ !к!<! к, о ИкИ Поэтому для любого элемента х 11Ах1ЯхИ~(а, т. е.
11 Ах !1(аИ х11, откуда следует, что 1!А!1=1п1С- а. Далее, для любого е ) О существует такой элемент х, чь О, что а — в ~ 11 Ах, 1И! х, 11 или (а — )11х,11(<1!Ах,|1~(С!!к,11. Поэтому а — а ~( 1п1 С = 11 А 11, и, в силу произвольности е, а ( 11 А 11. Следовательно, 11 А 11 = а. 3. Сумма и произведение операторов. О и р е д е л е н и е 1. Пусть А и  — два линейных оператора, действующих из линейного пространства Е в пространство Е,.
Назовем их суммой А + В оператор С, ставящий в соответствие элементу х ~ Е элемент у = Ах + Вх ~ Е,. Он определен на всех элементах, принадлежащих пересечению Вл !1 Вв областей определения операторов А и В. Легко проверить, что С = А +  †линейн оператор, не- прерывный, если А и В непрерывны. Если Е и Е! — нормированные пространства, а операторы А и В ограничены, то А + В тоже ограничен, причем 1!А+ в 11~<11 А !1+ 1!в 11. (3) 224 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ (ГЛ. !7 Действительно, для всякого х ()(А+ В) х))=((Ах+ Вх)!~(((Ах((+!~ Вх()а-()~ А()+)) В)~)((х((, откуда и следует (3). О п р ед е л е н и е 2.
Пусть А и  — линейные операторы, причем А действует из пространства Е в Е|, а В действует из Е, в Ез. Произведением ВА операторов А и В называется оператор С, ставящий в соответствие элементу х еп Е элемент г = В(Ах) из Ез. Область определения Вс оператора С = ВА состоит из тех хеп!г)л, для которых Ах~Оп. Ясно, что оператор ВА линеен. Он непрерывен, если А и В непрерывны. У п р а ж в си н е. Доказать, что 0с — линейное многообразие, если 0„ н 0в линейные многообразия. Если А и  — ограниченные операторы, действующие в нормированных пространствах, то и оператор ВА ограничен, причем )) ВА() ~)) В)(. () А)!.
(4) Действительно, (( В (Ах)!(- ' (! В )~ ° !! Ах (((~ )) В (( ° (( А (| ° 1( к (), (5) откуда следует (4). Сумма и произведение трех и более операторов определяются последовательно. Обе эти операции ассоциативны. Произведение йА оператора А на число й определяется как оператор, который элементу х ставит в соответствие элемент йАх. Совокупность Ы(Е,Е,) всех непрерывных линейных операторов, определенных на всем Е и отображающих Е в Е! (где Е и Е, — фиксированные линейные топологические пространства), образует, по отношению к введенным выше операциям сложения и умножения на числа, линейное пространство.
Если Е и Е, — нормированные пространства, то Ю(Е, Е!) — нормированное пространство (с тем определением нормы оператора, которое было дано выше). Уп р а ж пенне. Пусть Š— нормированное, а Е, — полное нормированное пространства. Тогда: а) нормированное пространство 2'(Е, Е,) полно; б) если Аа ~.2'(е, й!) н ~' )~ Аа((( со, то ряд ~ Аа сходится к некотоз=! рому оператору А !и Я'(Е, Е!) и () А ( = ~ ~ Аа , '< ~ )) Аа ((. (6) з-! ! а-! 4.
Обратный оператор, обратимость. Пусть А — оператор, действующий из Е в Еь и Вл — область определения, а )шА— образ этого оператора. 225 $5) ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Определение 3. Оператор А называется обратимым, если для любого у ~ 1гпА уравнение Ах=у имеет единственное решение. Если А обратим, то каждому у ее 1)п А можно поставить в соответствие единственный элемент х ееЕ)л, явля)ощийся решением уравнения Ах = у. Оператор, осуществляющий это соответствие, называется обратным к Л и обозначается А '.
Т е о р е м а 2. Оператор А-', обратный линейному оператору А, такзсе линеен, Д о к а з а т е л ь с т а о. Заметим прежде всего, что образ 1т А оператора А, т. е. Ол ь есть линейное многообразие. Пусть уь узе=!тА. Достаточно проверить выполнение равенства А (а,у, +а,уг)=а,А у, + а,Л 'ут.
(Т» Пусть Ах1 = у1 и Ахт — — уз. В силу линейности А имеем А (а,х, + а,х,) = а,у, + а,у,. (8» По определению обратного оператора, -1 -! А у,=х„Л уз=хг* откуда, умножая эти равенства на а, и аз соответственно и складывая, получим -! -1 а~А у~ + атА уз = а1х1 + азхз. С другой стороны, из (8) и из определения обратного оператора следует„ что а,х, + азхг = Л (а,у, + аеуз), что вместе с предыдущим равенством дает Л (а,у, +атуз)=а,А 'у) + атА у,, Теорема 3 (теорема Банаха об обратном опе рат о р е).
Пусть А — линейный огриниченный оператор, взаимно однозначно отображающий банахово пространство Е на банахово пространство Еь Тогда обратный оператор А-' ограничен. Для доказательства нужна следующая лемма. Л е м м а. Пусть М вЂ” всюду плотное множество в банаховом пространстве Е. Тогда любой ненулевой элемент уееЕ можно разложить в ряд У = У1 + Уе + ° ° ° + Уь + ° ° ° ю где уь я М и )) УА )) ~ (3 !! у Ц2 . вев лингиные егнкционхлы и линеиные опеелтоеы ~гл.
пг Доказательство. Элементы уо будем строить последовательно: у~ выберем так, чтобы 11 у — у, 11 «(11 у 1у2. (9) Это возможно, так как неравенство (9) определяет сферу радиуса 11у!1/2 с центром в точке у, внутри которой должен найтись элемент из М (М всюду плотно в Е). Выберем уо еи М так, чтобы 11у — у, — уо!!» 11уЦ4, уо — так, чтобы!1у — у~ — уо — уо!1» » 1!у11/8 и вообще у„выберем так, чтобы 11у — у~ — ... — у„11» »«11уЦ2". Такой выбор всегда возможен, так как М всюду плотно в Е. В силу выбора элементов уо о у — ~ уо -+О при и-~ оо, о~ !! т. е. ряд ~ уо сходится к у. Оценим нормы элементов уо.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
