Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 47
Текст из файла (страница 47)
существует такая постоянная С„,ч (зависящая от р, д и ф), что 1хеф<«> (х)1< С, — оо < х < оо. (19» Сходимость в 5 определяется таким образом: последовательность (ф„(х)) называется сходящейся к ф(х), если для каждого д = О, 1, ... последовательность (ф~"'(х)» сходится равномерно на любом конечном интервале и если в неравенствах ~ хе%~~1 (к) ~ < С постоянные С„, «можно выбрать не зависящими от и.
При этом получается запас обобщенных функций несколько более узкий, чем в случае пространства К. Например, функция )(х)=е"* есть непрерывный линейный функционал на К, но не на 3 . Выбор 3 в качестве основного пространства удобен, например, нри рассмотрении преобразования Фурье обобщенных функций. Вообще, как показало развитие теории обобщенных функций, нет необходимости связывать себя раз и навсегда каким-то определенным выбором основного пространства, а целесообразно варьировать его в зависимости от рассматриваемого круга задач. При этом, однако, существенное требование состоит в том, чтобы, с одной стороны, основных функций было «достаточно много» (чтобы с их помощью можно было различать й]В линвиныв оункционалы и линвиныв опкнлтовы ггл. пг «обычные» функции, а точнее, регулярные функционалы), а с другой,— чтобы эти основные функции обладали достаточной гладкостью.
Упражнение. Проверьте, что в пространстве 5 можно ввести структуру счетно-нормированного пространства, положив, например, 1в(я-,'5', зпр ~(!+~к)')~р~б(х) ~ а+о ' <а <' ос.'у<о и что последовательность, сходящаяся в 8 в определенном вмше смысле, сходится и в топологии, определяемой этими нормами. й 5.
Линейные операторы 1. Определение и примеры линейных операторов. Пусть Е и Е, — два линейных топологических пространства. Линейным оператором, действующим из Е в Еь называется отображение у=Ах (хянЕ, уо=Е,), удовлетворяющее условию А(ах, +()хт)=аАх, +()Ах. Совокупность Рл всех тех хан Е, для которых отображение А определено, называется областью определения оператора А; вообще говоря, не предполагается, что Рл = Е, однако мы всегда будем считать, что 0„есть линейное многообразие, т. е. если х, у он Рл, то ах+ ()у он Рл при всех а, (). Оператор А называется непрерывным в точке хо он Рл, если для любой окрестности У точки уо = Ахо существует такая окрестность Р точки хъ что Ахен 'ьг, как только хоп Р П 0„.
Оператор А называется непрерывным, если он непрерывен в каждой точке х ~ Рл. Когда Е и Е~ — нормированные пространства, это определение равносильно следующему; оператор А называется непрерывным, если для любого е» О существует такое 6 ) О, что из неравенства !! х' — хм 1 ( 6 (х', х" ен Рл) следует 1 Ах' — Ак" 1 ( в.
Множество тек х он Е, для которых Ах = О, называется ядром линейного оператора А и обозначается КегА. Множество тех у о= Еь для которых у = Ах при некотором хон Рл, называется образом линейного оператора А и обозначается 1гпА. Как ядро, так и образ линейного оператора, являются линейными многообразиями.
Если оператор непрерывен и Рл = Е, то Кег А является подпространством, т. е. замкнуто. Что же ка- ЛИНЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ сается образа непрерывного линейного оператора, то он не обязательно будет подпространством в Е!, даже если Ол = Е. Понятие линейного функционала, введенное в начале этой главы, есть частный случай линейного оператора. Именно, линейный функционал — это линейный оператор, переводящий данное пространство Е в числовую прямую к!. Определения линейности н непрерывности оператора переходят при Е, = и! в соответствующие определения, введенные ранее для функционалов. Точно так же и ряд дальнейших понятий и фактов, излагаемых ниже для линейных операторов, представляет собой довольно автоматическое обобщение результатов, уже изложенных в 5 ! этой главы применительно к линейным функционалам.
Примеры линейных операторов. 1. Пусть Š— линейное топологическое пространство. Положим 1х = х для всех х еи Е. Такой оператор, переводящий каждый элемент пространства в себя, называется единичным оператором. 2. Пусть Е и Е, — произвольные линейные топологические пространства и пусть Ох=О для всех хееЕ (здесь Π— нулевой элемент пространства Е!). Тогда О называется нулевым оператором. 3.
Общий вид линейного оператора, переводящего конечно- мерное пространство в конечномерное. Пусть А — линейный оператор, отображающий и-мерное пространство К" с базисом е!, ..., е„в пг-мерное пространство и" с базисом 1!, ..., 1, Если х — произвольный вектор из й", то х= ~ х,е„ ! ! и в силу линейности оператора А Ах= У. х,Ае!. Таким образом, оператор А задан, если известно, во что он переводит базисные векторы е„ ..., е„. Рассмотрим разложения векторов Ае! по базису 1!, ..., ~ .
Имеем Ае,= ~, ам~А. А-! Отсюда ясно, что оператор А определяется матрицей коэффициентов !!аАД. Образ пространства К" в м'" представляет собой 220 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОРРАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ~ГЛ Р)Р линейное подпространство, размерность которого равна, очевидно, рангу матрицы ))аАД, т. е.
во всяком случае не превосходит и. Отметим, что всякий линейный оператор, заданный в конечномерном пространстве, автоматически непрерывен. 4. Рассмотрим гильбертово пространство Н и в нем некоторое подпространство НР Разложив Н в прямую сумму подпростраиства Н) и его ортогонального дополнения, т. е. представив каждый элемент Ь еи Н в виде Ь = Ь, + Ь, (Ь) я Н„Ь, ( Н,), положим РЬ = Ь). Этот оператор Р естественно назвать оператором ортогонального проектирования, или ортопроектором Н на Н).
Линейность и непрерывность проверяются без труда. 5. Рассмотрим в пространстве непрерывных функций иа отрезке [а, Ь[ оператор, определяемый формулой ь ф (з) = ~ К (з, г) ф (г) тг, ь где К(з,() — некоторая фиксированная непрерывная функция двух переменных. Функция ф(з) непрерывна для любой непрерывной функции ф(г), так что оператор (1) действительно переводит пространство непрерывных функций в себя. Его линейность очевидна. Для того чтобы говорить о его непрерывности, необходимо предварительно указать, какая топология рассматривается в нашем пространстве непрерывных функций. Читателю предлагается доказать непрерывность оператора в случаях, когда: а) рассматривается пространство С[а, ()[, т.
е. пространство непрерывных функций с нормой зф![= тах! ф(1) й ь ч Р) РО„, р„, „р„„.„С,),)1. Ир))-([р')))Р)) . Та 6. В том же пространстве непрерывных функций рассмотрим оператор р[)(г) =фо(1) ф (т) где фь(г) — фиксированная непрерывная функция. Линейность этого оператора очевидна.
(Докажите его непрерывность при нормировках, указанных в предыдущем примере.) 7. Один из важнейших для анализа примеров линейных операторов — это оператор дифференцирования. Его можно рассматривать в различных пространствах. а) Рассмотрим пространство непрерывных функций С[а, Ь[ и оператор О[() = Г(0, ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ действующий в нем. Этот оператор (который мы считаем действующим из С[а, Ь] опять-таки в С[а, Ь]) определен, очевидно, не на всем пространстве непрерывных функций, а лишь на линейном многообразии функций, имеющих непрерывную производную. Оператор Р линеен, но не непрерывен, Это видно, на. пример, из того, что последовательность сходится к 0 (в метрике С[а, Ь]), а последовательносгь Рф„(1) = соз л1 не сходится.
б) Оператор дифференцирования можно рассматривать как оператор, действующий из пространства С' непрерывно дифференцируемых функций на [а, Ь] с нормой [[ ф )[, = гпах [ ф (Г) ~ + гпах [ ф' (г) [ в пространство С [а, Ь]. В этом случае оператор Р линеен и непрерывен и отображает все С' на все С[а, Ь]. в) Рассмотрение оператора дифференцирования как оператора, действующего из С' в С[а, Ь], не вполне удобно, так как хотя при этом мы и получаем непрерывный оператор, определенный на всем пространстве, но не к любой функции из С' можно применить этот оператор дважды.
Удобнее рассматривать оператор дифференцирования в еще более узком пространстве, чем С', а именно, в пространстве С бесконечно дифференцируемых функций на отрезке [а, Ь], в котором топология задается счетной системой норм []ф[[ = зцр [ф'"'(г) [. О<А< „ а ~Ь ~Ь Оператор дифференцирования переводит все это пространство в себя, и, как легко проверить, непрерывен на нем. г) Бесконечно дифференцируемые функции составляют весьма узкий класс.
Возможность рассматривать оператор дифференцирования в существенно б ол е е ш и р о к о м пространстве и вместе с тем как н е и р е р ы в н ы й оператор дают обобщенные функции. В предыдущем параграфе мы уже говорили о том, как определяется дифференцирование обобщенных функций.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
