Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 49
Текст из файла (страница 49)
ага 1! у, 11 = 1! у, — у + у !! «(!! у, — у 11 + !! у !1 «(3 1! у !у2, 1! у !1 = !! у + у, — у + у — у, 1! (11 у — у, — у !1 + !! у — у, 11 < 3 !! у 1!(4. Наконец, 11у.!!=!!у.+у; + " +у — у+у — у — " — у.— 11( (1!у-у,— ... — у„!!+!!у — у,— ... — у„,!!(311уР". Лемма доказана. До к аз а тельство те ор е м ы 3. В пространстве Е~ рассмотрим множество Мо — совокупность тех у, для которых выполняется неравенство 1!А 'у!1» й!!у11. Всякий элемент простраиства Е, попадает в некоторое Мо, т.
е. Е~ = ( ) Мо. По теореме о ! Бэра (теорема 2 из п. 3 5 3, гл, П) хотя бы одно из множеств Мо, скажем, М, плотно в некотором шаре В. Внутри шара В выберем шаровой слой Р с центром в точке из М; слой Р— зто совокупность точек г, для которых справедливо неравенство р ( 11г — уо'!1 ( а, где О < р < а, уо еи М . Перенеся слой Р так, чтобы его центр попал в начало координат, получим шаровой слой Ро = (г: О < р < 11г!1 ( а).
Покажем, что в Ро плотно некоторое множество Мн. Пусть .г ее Р П М; тогда г — уо си Ро и 3А (г — уо)6(«!!А а!+НА 'уоф~(л(!!г!!+!!уо!!)(« «<п(11г- уо 1!+ 211 уо11) =и!!а — уо11(1 + — ~" ) «< «( и 11 г уо!1 (1 + 2 !! Уо !о'р) (1О) ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Величина п(1+ 2~[у»К) не зависит от г. Положим' ) )у = 1 + и [1 + 2 1[ уо Ф. Тогда в силу (10) к — усенМн, а из того, что М плотно в Р, следует, что Мн плотно в Р».
Рассмотрим произвольный ненулевой элемент у из Еь Всегда можно подобрать Л так, чтобы было р (Ру[[( а, т. е. Луа Рс Так как Мн плотно в Ры можно построить последовательность у» вн Мн, сходящуюся к Лу. Тогда последовательность 1 — у» сходится к у. Очевидно, что если у» ен Мн, то и — у»вн М„при любом действительном Л чь 0; таким образом, 1 Мн плотно в Еь/(0), а потому и в Е,. Рассмотрим ненулевой элемент уенЕ!; по доказанной лемме его можно разложить в ряд по элементам иэ Мн! У=у!+ У»+ ° ° ° + У»+ ° причем 1! У» [1 ( 3 !( у ДУ2». Рассмотрим в пространстве Е ряд, составленный из прообразов элементов ум т.
е. элементов х» — — А-'ум Этот ряд сходится к некоторому элементу х, так как имеет место неравенство [1 х» !!=[А 'у» 1 )У [ у»!! < 3й[ 1[ у (~2~; при этом [[х ![( ~~! [! х» ![~ 31У [! у !! ) — = Зй!'[~ у 11 »=! » ! В силу сходимости ряда ~ х„и непрерывности оператора А » ! можно применить почленно А к этому ряду. Получим Ах=Ах, + Ах»+ ... =у, + у»+ ... =у, откуда х = А 'у. Кроме того, [ А 'у [ = [[ х )!» 31У [[ у 1), и так как оценка верна для любого учаО, то с оатор А-т ограничен. Приведем некоторые важные следствия этой теоре.
Пре- жде всего дадим ее естественное обобщение на случай, когда отображение А не взаимно однозначно. Следствие 1 (теорема об открытом отображении). Ли- нейное непрерывное отображение А банакова пространства Е О Скоб»н [ 1 означают целую часть часла. 228 линейные ФункционАлы и линейные ОпеРАтОРы 1гл, 1ч на (все) банахово пространство Е, открыто.
Это вгятекает иэ доказанной теоремы и следующей леммы. Л ем м а. Пусть Š— банахово пространство и Ь вЂ” некоторое еео замкнутое надпространство. Отображение В пространства Е на фактор-пространство Е)Е, ставящее в соответствие каждому х ~ Е класс смежности, содержащий х, открыто. Действительно, пусть л = Е/Ь, а 6 — открытое множество в Е и Г = ВО.
Пусть геенГ. Тогда найдется элемент хь, принадлежащий В 'гь(! 6. Пусть теперь О(хь) — е-окрестность точки х„целиком лежащая в 6, и пусть г — произвольный элемент е-окрестности точки г,ен Г, т. е. !!г — гь!!~ е. В соответствии с определением нормы в фактор-пространстве это означает существование такого элемента хан В-'г, что !!х — хь!! ~ е, т.
е. хе О(хь)с 6. Но тогда ген ВО = Г, т. е. е-окрестность точки гь содержится в Г. Следовательно, Г открыто. Лемма доказана. Представив отображение А пространства Е на Е, как супер- позицию отображения В пространства Е на Е)КегА = Е (открытого в силу леммы) и взаимно однозначного отображения С пространства с на Е, (открытого в силу теоремы 3), получаем, что А открыто.
Следствие 2 (лемма о тройке). Пусть Е, Еь Ет — банаховы пространства и А,  — непрерывные линейные операторы, из .Е в Е, и из Е в Е2 соответственно, причем В отображает Е на все Ет (т. е. 1гп В = Е;). Если при этом КегА:з Кег В, (11) то существует такой непрерывный линейный оператор С, отображающий Ет в Еь что А = СВ. Символически это удобно изобразить такой схемой: в Кег В- Š— Е, !1 (! 'с КегА — +Š— Е, Действительно, рассмотрим для каждого элемента г ен Ет его голный прообраз В-'ген Е, Из условия (1!) следует, что все элементы х, принадлежащие В-'г, переводятся оператором А в один и тот же элемент у.
Этот элемент у мы и поставим в соответствие элементу г. Полученный оператор С отображает Ет в Е, и, очевидно, линеен, Он непрерывен (а следовательно, и ограничен). Действительно, если 6 — открытое множество в Еь то его полный прообраз С-'6 при отображении С может быть записан как В(А-'6). Но А '6 открыто в силу непрерывности оператора А, а тогда и В(А-'6) открыто в силу следствия 1. линпинып операторы % в! У п р а н: и е и и я. !.
Пусть Е, Е, — иормироваииые пространства; линейный оператор А, действующий из Е в Еь с областью определения гу» «Е, представляющей собой линейное миогообразие, иазывается замкиугым, если из условий х„ысг», х»-«х, Ах» -«у следует, что хая О» и Ах = у. Проверьте, что всякий ограниченный оператор замкнут, 2. Рассмотрим прямое произведеиие Е Х Е| пространств Е и Еь т.
е. линейиое нормированное пространство, состоящее из всевозможных пар [х,у], хщЕ, ущ.Е» с нормой ]][х,у]]]=]]х]]+]]уЬ(]! ]! и ]! ]]~ — нормы в Е, Е соответственна). Оператору А можно сопоставить множество Ол=([х, у] х щ Дж у= Ах) «Е Х Е„иазываемое его графиком. Проверьте, что 0»вЂ” линейное миогообразие в Е Х Еь замкиутое тогда и только тогда, когда оператор А замкнут. Докажите, что если Е, Е, — банаховы пространства, а оператор А определен на всем Е и замкнут, го ои ограничен (теорема Баиака о замкнутом графике). Указание. Примените теорему 3 к оператору Р: [х, Ах]-«х, действующему из О» в Е, 3.
Пусть Е и Е> — полные счетно-нормированные пространства. Докажите, что если А — непрерывный линейный оператор, взаимио однозначно отображающий Е иа Еь то обратный оператор А ' непрерывен. Сформулируйте и докажите теорему о замкиутом графике для счетно-нормированных простраиств, Рассмотрим множество 2'(Е, Е|) ограниченных линейных операторов А, отображающих банахово пространство Е в банахово пространство Е,.
Это — банахово пространство. Выделим в нем множество з2'(Е,Е~) операторов, отображающих Е на все Е, и имеющих ограниченный обратный. Это множество открыто в Ю(Е, Е~). Именно, справедлива следующая теорема. Теорема 4. ]Тусть Аое= з2'(Е, Е~) и пусть ЛА — произвольгный оператор из Ю(Е, Е1) такой, что ]! ЛА [! < 1/]] Ао ]!. Тогда оператор (Ао + ЛА) -' существует и ограничен, т.
е. А = = А о + ЛА ~ УЫ'( Е, Е|) Д о к а з а т е л ь с т в о. Фиксируем произвольный элемент уев Е~ и рассмотрим отображение В пространства Е в себя, определяемое формулой Вх = Ао у — Ао ЛАх. -! Из условия []ЛА]]<(Ао ][ следует, что отображение В сжимающее.
Так как Е полно, то существует единственная неподвижная точка х отображения В: х=Вх=Ао ~у — Ао ЛАх, откуда Ах = Аох + ЛАх = у, Если Ах' = у, то х' — тоже неподвижная точка отображения В, так что х' = х. Таким образом, для всякого у ~ Е, уравнение Ах = у имеет в Е единственное решение, т. е. оператор А обладает обратным А ', определенным на всем Е,. По теореме 3 оператор А ' ограничен, что и требовалось доказать. 23Э линвнные охнкционхлы и линипныв операторы (гл. пг Теорем а 5.
Пусть Š— банахово пространство, 1 — тожде'ственный оператор в Е, а А — такой ограниченный линейный оператор, отображающий Е в себя, что ((А(!( 1. Тогда оператор (1 — А)-' существует, ограничен и представляется в виде (1 — А) '= 2 А». (12) Доказательство. Существование и ограниченность оператора (1 — А) ' выте-ает из теоремы 4 (впрочем, это следует также и из приводимого ниже рассуждения). юч Так как ((А((< 1, то „г, (1А»(((~ !!А(!" < оо. ПространствоЕ полно, поэтому из сходимости ряда Д, (! А» (! вытекает, что сумма ряда Д, А представляет собой ограниченный линейный оператор.
Для любого и имеем и и (1 — А) Е А = ~ А (1 — А) = ! — А" ~; »~ »-о переходя к пределу при и-ь оо и учитывая, что ((Аи+'!1< (((А(!и ы -+ О, получаем (1 — А) Х А = ~ А»(1 — А)=1, откуда чч (1 — А) '=~ А", »=о что и требовалось доказать. Упражнение. Пусть А — ограниченный линейный оператор, отображагощий банахово пространство Е на банахово пространство Еь Докажите, что существует такая постоянная и > О, что если Вен 2(Е,Е,) и 1(А — В(! < ( а, то В отображает Е на все Е, (Банах). 6. Сопряженные операторы.
Рассмотрим непрерывный линейный оператор у = Ах, отображающий линейное топологическое пространство Е в такое же пространство Е,. Пусть у— линейный функционал, определенный на Еь т. е. Вен Е1. Применим функционал д к элементу у = Ах; как легко проверить, д(Ах) есть непрерывный линейный функционал, определенный на Е; обозначим его !. Функционал ! есть, таким образом, элемент пространства Е*. Каждому функционалу Вен Е~ мы поставили в соответствие функционал ! ~Е', т.
е. получили некото- линеЙные опеРАТОРы 231 рый оператор, отображающий Е!' в Е'. Этот оператор называется сопряженным к оператору А и обозначается А'. Обозначив значение функционала ! на элементе х символом (1, х), получим, что (д, Ах) = (1, х), или (д, Ах)=(А'д, х). Это соотношение можно принять за определение сопряженного оператора. П р и м е р. Сопряженный оператор и конечномерном пространстве. Пусть действительное п-мерное пространство Кл отображается в пространство и (пг-мерное) оператором А и пусть )!аи!! — матрица этого оператора.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
