Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 51
Текст из файла (страница 51)
е. Л= О есть точка спектра оператора. У и р а ж не н и я. Содержит ли спектр оператора (13) какие-либо точки, кроме Л = О? 3 а м е ч а н и я. (1) Всякий ограниченный линейный оператор, определенный в комплексном банаховом пространстве, имеющем хотя бы один отличный от нуля элемент, имеет непустой спектр.
Существуют операторы, у которых спектр состоит из единственной точки (иапример, оператор умножения на число). (2) Теорема 7 может быть уточнена следующим образом. Пусть т,с( Ан 11 и '+ (можно доказать, что этот предел существует для любого ограниченного оператора А), тогда спектр оператора А це,шкам лежит в круге радиуса г с центром в нуле. Величина т называется спектральным радиусом опера- тара А. (3) Резольвентиые операторы )?и и )?х, отвечающие точкам р и Л, перестановочны между собой и удовлетворяют соотношению )?и 1(Х=(" ))? % которое легко проверить, умножив обе части этого равенства на (А — Л()(А — р().
Отсюда вытекает, что если Ля — регулярная точка для А, то производная от )?х по Л при Л = Лс, т, е, предел )?Аннах )?х, 1пп ах.+а АЛ существует (в смысле сходимости по операторной норме) и равна )(хг У п р а ж н е н и е. Пусть А — ограниченный самосопряженный оператор в комплексном гильбертовом пространстве Н. Докажите, что его спектр есть замкнутое ограниченное подмножество действительной оси, $61 КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 237 $ б. Компактные операторы 1, Определение и примеры компактных операторов. В отличие от линейных операторов в конечномерных пространствах, для которых имеется исчерпывающее описание, изучение произвоЛьных линейных операторов в бесконечномерных пространствах представляет собой весьма сложную и, по существу, необозримую задачу.
Однако некоторые важные классы таких операторов могут быть описаны полностью. Среди них один из важнейших образуют так называемые к о м п а к т н ы е операторы. Эти операторы, с одной стороны, близки по своим свойствам к конечномерным (т.
е. ограниченным операторам, переводящим данное пространство в конечномерное) и допускают достаточно детальное описание, а с другой, играют важную роль в различных приложениях, в первую очередь в теории интегральных уравнений, которым будет посвящена гл.
1Х. О п р е д е л е н и е 1. Оператор А, отображающий ба нахова пространство Е в себя (или другое банахово пространство Е~), называется компактным, или вполне непрерывным, если он каждое ограниченное множество переводит в предкомпактное. В конечномерном нормированном пространстве всякий линейный оператор компактен, поскольку он переводит любое ограниченное множество в ограниченное, а в конечномерном пространстве всякое ограниченное множество предкомпактно. В бесконечномерном пространстве компактность оператора есть требование существенно более сильное, чем просто его непрерывность (т. е.
ограниченность). Например, единичный оператор в гильбертовом пространстве непрерывен, но отнюдь не компактен. (Докажите зто независимо от рассматриваемого ниже примера 1.) Рассмотрим некоторые примеры. 1. Пусть ! — единичный оператор в банаховом пространстве Е. Покажем, что если Е бесконечномерно, то оператор 7 ие компактен. Для зтого достаточно, очевидно, показать, что еднничньш шар в Е (который, разумеется, переводится оператором ! в себя) не предкомпактен. Это в свою очередь вытекает из следующей леммы, которая нам понадобится и в дальнейшем. Л е м м а 1. Пусть хь хм ... линейно независимые векторы в нормированном пространстве Е и пусть Š— подпространство, порожденное векторами хь ..., х,.
Тогда существует последовательность векторов уь уа...,. удовлетворяющая следующим условиям: 1) ~~у„~~=1; 2) у„ыЕ„; 3) р(у„, Е„,) > 1/2, где р(у„, Е,,) — расстояние вектора у от Е, и т. е. (п( 11 у„— х 11. хее 238 линепные ФУнкциОнАлы и линепные ОпеРАтОРы 1гл пт Д о к а з а т е л ь с т в о. Действительно, так как векторы хь ха, ... линейно независимы, то х„~тЕ„, и р(х„, Е„,) = а ) О. Пусть х* — такой вектор из Е ~, что 11х„— х'~~ (2а.
Тогда, поскольку а = р(х„, Е„ ~) = р(х„ — х', Е„,), вектор ка — к' 11 к„— к' 1! удовлетворяет всем условиям 1) — 3). За у1 при этом можно взять х~!!!х~!1. Лемма доказана. Пользуясь этой леммой, в единичном шаре всякого бесконечномерного нормированного пространства можно построить последовательность векторов (уа), для которой р(у ьу )ь1/2. Ясно, что такая последовательность ие может содержать никакой сходящейся подпоследовательиости.
Л это и означает отсутствие предкомпактности. 2. Пусть А — непрерывный линейный оператор, переводящий банахово пространство Е в некоторое его конечномерное подпространство. Такой оператор компактен, поскольку он переводит всякое ограниченное подмножество М с Е в ограниченное подмножество конечномерного пространства, т. е. в предкомпактное множество. В частности, в гильбертовом пространстве оператор ортогонального проектирования на надпространство компактен в том и только том случае, если это подпространство имеет конечную размерность.
3. Рассмотрим в пространстве 1а оператор А, определенный следующим образом: если х = (хь хгь ..., х„, ...), то 1 1 (% хя .~ 2а ха ) Этот оператор компактен. Действительно, поскольку всякое ограниченное множество из 1я содержится в некотором шаре этого пространства, достаточно доказать, что образы шаров предкомпактны, а в силу линейности оператора достаточно проверить это для единичного шара. Но оператор (1) переводит единичный шар пространства 1я в множество точек, содержащееся в основном параллелепипеде (см. гл. П, 5 7, п.
!). Следовательно, это множество вполне ограничено, а значит, и пред- компактно. У и р а не пенне. Пусть Ак =(а,кь а,кь ..., а„к„, ...); прн каких условиях на последовательность висел (а„» этот оператор а 1, компантен? 4. В пространстве непрерывных функций С [а, Ь] важный класс компактных операторов образуют операторы, представимые КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ в виде Ах=у(в) = ~ К(з, 1)х(1)йй а (2) Покажем справедливость следующего утверждения: если функция К(в, 1) ограничена на квадрате а < в < Ь, а 1 < Ь и все ее точки разрыва лежат на конечном числе кривых 1=~рА(в), й=1, 2, ..., и, Следом 6(з) этого множества на каждой прямой з = сопз1 слу- жит объединение интервалов а 6(з)= (-) 111' !1»РА(в)!< 1~ма 1' Пусть г — дополнение множества 6 до квадрата а < з, 1 < Ь.
Так как т' компактно, а функция К(в,() непрерывна на г', то существует такое 6 ~ О, что ! К(з 1) К(з 1 ) ! < З(А в) для любых точек (з', 1'), (з",1") из Р, удовлетворяющих условию !" —.- ~+!1 — 1«! < 6. (3) Оценим теперь разность у(з') — у(з") в предположении, что 1в' — в" 1< 6. Имеем !у(в') — у(з") !< $! К(з', 1) — К(з", 1) !! х(1) !й(; а для оценки стоящего справа интеграла разобьем промежуток интегрирования (а, Ь1 на объединение интервалов 6(з ) 0 6(з"), которое обозначим р, и остальную часть отрезка (а, Ь), которую где ~рд — непрерывные функции, то формула (2) определяет в пространстве С(а, Ь1 компактный оператор. Действительно, заметим, прежде всего, что в указанных условиях интеграл (2) существует для любого з из отрезка !а, Ь), т.
е. функция у(з) определена. Далее, пусть М= ецр !К(з, 1)! «~». » <Ь и пусть 6 — множество тех точек (з,1), для которых хотя бы при одном й = 1, 2,..., и выполняется неравенство !'- ()!<1м. обозначим Я. Заметив, что Р есть объединение интервалов, суммарная длина которых не превосходит е/(ЗМ), получаем ~~К('. !) — К(з", !)Их(!)~(! <+~х~~. Р Интеграл по Я допускает, очевидно, оценку ~)11х(Иг'~ < з 11х~' Таким образом, ~ у (з') — у (за) ] < е ~! х ~!. (4) Неравенство (4) показывает, что функция у(з) непрерывна, т.
е. формула (2) действительно определяет оператор, переводящий пространство С(а, Ь] в себя. Далее, из того же неравенства видно, что если (х(!)) — ограниченное множество в С[а, Ь], то соответствующее множество (у(з)] равностепенно непрерывно. Наконец, если ]1х~! < С, то ь ]у)= зпр]у(з) !~(зпр ~]К(з, !) Ц х(!)1й<(М(Ь вЂ” а) 1~х11. а Таким образом, оператор (2) переводит всякое ограниченное множество из С]а, Ь] в множество функций, равномерно ограниченное и равностепенно непрерывное, т. е. предкомпактное. 4а.
Расположение точек разрыва функции К(з,1) на конечном числе кривых, пересекающих прямые з = сопз( лишь в одной точке, существенно. Пусть, например, 1 при з < 1/2. К(з, !)= О при з)!/2; оператор (2) с таким ядром, заданным на квадрате О < з, 1 = 1 и имеющим точками разрыва весь отрезок з = 1/2, О < ! < 1, переводит функцию х(!) = 1 в разрывную функцию.
4б. Если положить К(з,1) =О при ! ) з, то опсратор (2) примет вид у(з) = ~ К (з, 1) х(!) й. а (5) Будем считать, что функция К(г,1) непрерывна при ! ( з; то- гда из сказанного в примере 4 следует, что оператор (5) вполне непрерывен в С(а, Ь]. 240 ли1!ейные ФункциОнАлы и линеиные ОпеРАтОРы 1гл. 1ч й б1 24! КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Этот оператор называется оператором типа Вольтерра '). 3 а м е ч а н и е. При принятом нами определении компактного оператора может оказаться, что образ замкнутого единичного шара некомпактен (хотя он предкомпактен).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
