Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 55
Текст из файла (страница 55)
Теорема доказана. Из этой теоремы, в частности, следует, что для всякого измеримого Л 1А (Е ', А) = 1 — 1А (А). Т е о р е м а 7, Сумма и пересечение счетного числа измеримых множеств суть измеримые множества. р,*(В) » (1А" (А) + И''(Л сА В), устанавливаемого аналогично. Доказательство те о р е м ы 6. Как и в теореме 5, до- статочно рассмотреть случай двух множеств. Выберем произ- вольное е ) 0 и такие элементарные множества В~ и Вм что 1А'(А~ сь В,) ( е, (бт Н'(Ае сь Вз) <. в.
(7). Положим А = А~()АЕ и В = В~() Вь Множество А измеримо в силу теоремы 5. Так как множества А, и Аг не пересекаются, то В, Й Вэ ~ (А,АЬ В1)()(Агг.'Ь В ) и, следовательно, МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ. ИНТЕГРАЛ яво 1гЛ. У До к а з а тел ьст во. Пусть АНА,,..., Ал, л л Е л!А!!=л(0 А!)Лл'(А!. А-! Ф ! поэтому ряд .Е р(А„') сходится и, следовательно, для любого е О найдется такое л!', что х~, р(А;)< — '. л>М (11) У Так как множество С = !.) А„' измеримо (как сумма конечного л=! числа измеримых множеств), то для него найдется такое элементарное множество В, что 1т' (С Ь В) < е(2.
(12) Поскольку А Ь В ~ (С Ь В) () ( () А„'), то из (11) и (12) вытекает 1А*(А Ь В) < е, т. е. А измеримо. Так как дополнения измеримых множеств измеримы, то утверждение теоремы относительно пересечений вытекает из ра. венства 1 1 Ал = Е; ( ) (Е ', Ал). Теорема 7 усиливает теорему 5.
Следующая теорема представляет собой аналогичное усиление теоремы 6. — счетная система измеримых множеств и А= Ц Ал. Положим л=! л-! Ю А„'=А„~ () А„. Ясно, что А= () А„', причем множества А;, А ! л=! попарно не пересекаются. В силу теоремы 5 и следствия из нее все множества А'„измеримы. В силу теоремы 6 и определения внешней меры при любом конечном л вп МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ Теорема 8. Если (А ) — последовательность попарно непе- ресекающихся измеримых множеств и А = Ц А„, то р(А) Х р(А ). ч Доказательство. В силу теоремы 6 при любом й! .(Ц А.)=х ра.~ с р,А, Переходя к пределу при У-~. ео, получаем р(А)~ )~„р(А„).
(! 3) С другой стороны, согласно теореме 3 !А (А) ~,с р (А„). (14) Доказательство. Достаточно рассмотреть случай А = = 8; общий случай сводится к этому заменой А на А„',А. Имеем А, = (А,; А») 0 (А» 'с А») 0 ° А, (А„~,А„ч.,)0(А+~ "А т»)0 причем слагаемые не пересекаются. Поэтому, в силу а-аддитивности р р(А,) = '~ р(А»'~ А»+,) (15) р (А„) = л !» (А» '~ А»+1)! » ч (16) Из (13) и (14) вытекает утверждение теоремы.
Установленное в теореме 8 свойство меры было названо ее счетной аддитивностью, или а-аддитивностью. Из о-аддитивно,сти вытекает следующее свойство меры, называемое непрерывностью. Теорем а 9. Если А1-» А» э... — последовательность вложенных друг в друга измеримых множеств и А = П А„, то р(А) = 1нп !» (А„).
МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 1гл. ч так как ряд (15) сходится, то его остаток (16) стремится к О при и -Р оо. Таким образом, и(А„)-+О при и-+ со, что и требовалось доказать. Сл:едет вне. Если А1с„-Аз с„-.,„— возрастающая последовательность измеримых мноясеств и А= () А„, л то и (А) = 1! Гп 1А (А„). иФ Для доказательства достаточно перейти от множеств А., к нх дополнениям и воспользоваться теоремой 9.
Отметим в заключение еще одно очевидное, но важное обстоятельство. Всякое множество А, внешняя мера которого равна О, измеримо. Достаточно положить В = Йз; тогда и* (А сз В) = р' (А сх 8) = и' (А) = О ( а. Итак, мы распространили меру с элементарных множеств на более широкий класс Яв, замкнутый относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, т, е, представляющий собой о-алгебру. Построенная мера о-аддитивна на этом классе. Установленные выше теоремы позволяют составить следующее представление о совокупности измеримых по Лебегу множеств. Всякое открытое множество, принадлежащее Е, можно представить как объединение конечного нли счетного числа открытых прямоугольников, т.
е. измеримых множеств, и в силу теоремы 7 все открытые множества измеримы. Замкнутые мном'ества суть дополнения открытых, следовательно, они тоже измеримы. Согласно теореме 7 измеримыми должны быть и все ге множества, которые могут быть получены из открытых н замкнутых с помощью конечного или счетного числа операций взятия счетных сумм и пересечений. Можно показать, однако, что этими множествами все измеримые множества сщс нс исчерпываются. 3. Некоторые дополнения и обобщения.
Выше мы рассматривали только те множества, которые содержатся в единичном квадрате Е = (О ( х, у ( Ц. Нетрудно освободиться от этого ограничения, например, следующим образом. Представив всю плоскость как сумму полуоткрытых квадратов Е = (и ( х( -= и+ 1, т ( у т + Ц (и, т — целые), мы будем говорить, что плоское множество А измеримо, если его пересечение А„~ = А()Епг с каждым из этих квадратов измеримо. При Ъп МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ этом мы положим, по определению, )а(А) = ] )ь(А„). Ряд, стоящий справа, либо сходится к конечному значению, либо расходится к' + оо, Поэтому мера )т может принимать и бесконечные значения.
Все свойства меры и измеримых множеств, установленные выше, очевидным образом переносятся на этот случай '). Надо отметить лишь, что сумма счетного числа измеримых множеств конечной меры может иметь бесконечную меру. Класс измеримых множестч ча всей плоскости обоччачим й. Мы изложили в этом параграфе построение меры Лебега для плоских множеств.. Аналогично может быть построена лебегова мера на прямой, в трехмерном пространстве или, вообще, в евклидовом пространстве любой размерности и. В каждом из этих случаев мера строится по одному н тому же образцу: исходя из меры, определенной заранее для некоторой системы простейших множеств (прямоугольников в случае плоскости, интервалов 'та, Ь), отрезков [а, Ь] и полуинтервалов (а, Ь], [а, Ь) в случае прямой, и т.
п.), мы определяем меру вначале для конечных объединений таких множеств, а потом распространяем ее на гораздо более широкий класс множеств — на множества, измеримые по Лебегу. Само определение измеримости дословно переносится на множества в пространстве любой размерности. Вводя понятие меры Лебега, мы исходили из обычного определения площади. Аналогичное построение для одномерного случая опирается на понятие длины интервала (отрезка, г.олуинтервала). Здесь, однако, можно ввести понятие меры и иным, более общим способом.
Пусть Ь'(1) — некоторая неубывающая, непрерывная слева функция на прямой. Положим т(а, Ь) = Ь'(Ь) — Р(а+ 0)„т[а, Ь] = Р(Ь+О) — Ь'(а), т(а, Ь]=Р(Ь+О) — Ь'(а+О), т[а, Ь) =Р(Ь) — Р(а). Легко видеть, что так определенная функция интервала т неотрицательна и аддитивна. Применяя к ней рассуждения, аналогичные проведенным в настоящем параграфе, мы можем построить некоторую меру )ьи(А). При этом совокупность 6Р множеств, измеримых относительно данной меры, замкнута относительно операций взятия счетных сумм и пересечений, а мера )АР будет о-аддитивна.
Класс ди множеств, измеримых относительно )АР, будет, вообще говоря, зависеть от выбора функции Ь'. ') Однако в теореме 9 нужно добавить условие ИЕ1 (+ оо, чтобы стоднлса рад (15), приведите пример, покааывающиа, что беа етого условии теорема может стать неверной, МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ ~ГЛ. К Однако при любом выборе Г" открытые и замкнутые множества, а следовательно, и все их счетные суммы и пересечения заведомо будут измеримы. Меры, получаемые с помощью той или иной функции с", называются мерами Лебега — Стилтьеса.
В частности, функции Г(1) = (отвечает обычная мера Лебега на прямой Если мера и» такова, что она равна О для любого множества, обычная лебегова мера и которого равна О, то мера и» называется абсолютно непрерывной (относительно и). Если мера и» целиком сосредоточена на конечном или счетном множестве точек (это будет в том случае, когда множество значений функции Г" конечно или счетно), то она называется дискретной. Мера и» называется сингулярной, если она равна О для любого одноточечного множества, но имеется такое множество М лебеговой меры О, что мера и» его дополнения равна О Можно показать, что всякая мера р» представима как сумма абсолютно непрерывной, дискретной и сингулярной мер. К мерам Лебега — Стилтьеса мы еще вернемся в следующей главе.
Существование неизмеримых множеств. Мы видели, что класс измеримых по Лебегу множеств весьма широк. Естественно спросить, существуют ли вообще неизмеримые множества> Покажем, что этот вопрос решается положительно. Проще всего неизмеримые множества строятся на окружности, на которой введена линейная мера Лебега. Пусть С вЂ” окружность, длина которой равна 1, и а — некоторое иррациональное число.
Отнесем к одному классу те точки окружности С, которые могут быть переведены одна в другую поворотом окружности С на угол пап (н — целое). Каждый из этих классов будет, очевидно, состоять из счетного множества точек. Выберем из каждого такого класса по одной точке. Покажем, что полученное таким образом множество (обозначим его Фе) неизмеримо. Обозначим через Ф„множество, получаемое из ФР поворотом на угол пссп. Легко видеть, что все множества Ф попарно не пересекаются и в сумме составляют всю окружность С. Если бы множество Фе было измеримо, то были измеримы и конгруэнтные ему множества Ф .
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
