Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 57
Текст из файла (страница 57)
й-1 Переходя здесь к пределу при и -».Фь, получаем первое утверждение теоремы. Докажем второе утверждение. Поскольку Я есть кольцо, множества п — ! Вл=(А»Д А) ', ! ) А» й-1 принадлежат Я. Так как А= () Вл, В„СА„ л 1 и множества Вл попарно не пересекаются, то !н(А) = ~' т (Вл) ( ~, о» (Ал). 3 а меч ание. Утверждение 1е доказанной только что теоремы не опирается, очевидно, иа о-аддитивность рассматриваемой меры; оно остается справедливым и для любых аддитивных 271 ЛЕЬЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ мер.
Наоборот, утверждение 11, существенно использует о-аддитивность меры. Действительно, в приведенном выше примере аддитивной, но не о-аддитивной меры все пространство А; имеющее меру 1, покрывается счетной суммой одноточечных множеств, каждое из которых имеет меру О. Более того, нетрудно убедиться, что свойство ПР на самом деле равносильно о-аддитивности. Действительно, пусть р — некоторая мера, определенная на полукольце ю.
Пусть множества А, Аь Аь ..., А„, ... принадлежат Ь, А = 0 Аь и все Аь попарно не пересекаются. Тогда в силу свойства 1Р (которым, как мы видели, обладает любая мера) ~ р(АЕ)~(р(А). Если же р обладает и свойством П,ь то (поскольку Аь в совокупности покрывают А) 2'„' р (Аь) =» р (А) н, таким образом, 2' р (А„) = р (А) . Проверить счетную полуаддитивность меры (свойство П,) бы- вает часто проще, чем прямо установить ее о-аддитивность. й 3. Лебегово продолжение меры 1.
Лебегово продолжение меры, определенной на полукольце с единицей. Если мера е, заданная на полукольце Ж, обладает лишь свойством аддитивности (но не о-аддитивности), то ее продолжением на Я(Я, ) исчерпываются в значительной степени все возможности распространения такой меры с исходного полукольца на более широкий класс множеств. Если же рассматриваемая мера о-адднти в н а, то она может быть распространена с Ь на класс множеств значительно более обширный, чем кольцо Я(Ь~), н в некотором смысле максимальный.
Это можно сделать с помощью так называемого лебегова п р о до л ж е н и я. Сначала мы рассмотрим лебегово продолжение меры, задаНной на полукольце с единицей. Обший случай будет рассмотрен в следующем пункте. Пусть на некотором полукольце множеств ю„, с единицей Е задана а-аддитивная мера т. Определим на системе 6 всех подмножеств множества Е функцию р'(А) — внешнюю меру следующим образом.
272 меРА. измеРимые Функции, интеГРАл (гл. ч О п р е де л е н и е 1. Внешней мерой множества А ~ Е называется число и'(А) = 1п1 ~, ат(В„), (1) где нижняя грань берется по всем покрытиям множества А конечнымн или счетными системами множеств В„ен Ж . Следующее свойство внешней меры играет основную роль во всем дальнейшем построении. Теорема 1 (счетная полуаддитивн ость).
Есш А с() А„, Р где (А„) — конечная или счетная система множеств, то р'(А) ~ (~ р'(А„). Доказательство этого утверждения совпадает с доказательством теоремы 3 5 1 и мы не будем его повторять. О п р е д е л е н и е 2. Множество А называется измеримым (по Лебегу), если, каково бы нн было е ) О, найдется такое Вен ее б((~Б ), что р'(А Ь В) < в. Функция р', рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой (или просто мерой) и обозначается р. Ясно, что все множества из ю„и из б1(Ж ) измеримы. При этом, если А ~ ЯР„то р (А) = т (А).
Это равенство доказывается точно так же, как н его аналог для множеств на плоскости. Из равенства А, Ь Ат=(Е', А,) Ь (Е'~,АЗ) следует, что если А измеримо, то его дополнение тоже измеримо. Установим теперь основные свойства измеримых множеств и определенной на них лебеговой меры. Теорема 2. Система Й всех измеримых множеств есть кольцо. Доказательство. Так как всегда А,ДА,=А, ',(А, '~Аз) и А ()А~= Е ',((Е' А,)()(Е;А)), то достаточно показать следующее. Если А,сей, АзенЙ, то и А=А, ~, Аген Й.
левегово пРодолжение меРы 2ГЗ получаем р'(А тл В) < а. В силу произвольности е ) 0 отсюда вытекает измеримость множества А. 3 а м е ч а н и е. Очевидно, что Е есть единица кольца 22, которое, таким образом, является а л г е б р о й м н о ж е с т в. Теорем а 3. На системе дй измеримых множеств функция р(А) аддитивна. Доказательство этой теоремы представляет собой дословное повторение доказательства теоремы 6 2 1. Теорема 4.
На системе йй измеримых множеств функция р(А ) о-аддитивна. До к аз а тельство. Пусть А= Ц А„, А, Аь Аь ... Ее%, А ПА~= И при 1Ф/. л=! В килу теоремы 1 р(А) < Е р(А„), а (2) а в силу теоремы 3 при любом Ф тн к и р(А) ~~ р ~ () А„)) = ~'„р(А„), откуда р(А)> Е р(А.). (3) Из (2) и (3) следует утверждение теоремы. В $1, рассматривая плоскую меру Лебега, мы показали, что не только конечные, но и счетные суммы и пересечения измеримых множеств также измеримы. Это верно и в общем случае, т. е.
справедлива следующая теорема: Теорема 5. Система 9)1 измеримых ло Лебегу множеств является и-алгеброй с единицей Е. Доказательство. Так как П А„=Е ', () (Е ~, А„) Пусть А, и Аз измеримы; тогда существуют В, ~Я(б„,) и Весей(6 ) такие, что р'(А, .Ь В,) < а/2 и р' (Аз Ь В,) < е/2.
полагаа В= В, ', Взенй1(со ) и пользУЯсь соотношением (А, ~ А,) Ь (В, ', Вз) ~ (А, Ь В,) Ц (А, Ь В,), меРА, измеРимые Функции, интеГРАл [ГЛ 274 и так как дополнение измеримого множества измеримо„то достаточно показать следующее. Если Ль Ам ..., А„, ... принадлежат Я, то А= ! ) Ал также принадлежит ей. Доказательство л этого утверждения, проведенное в теореме 7 $ 1 для плоских множеств, дословно сохраняется и в обгцем случае. Так же как и в случае плоской меры Лебега, из о-аддитивности меры следует ее непрерывность, т.
е. если р — о-аддитивная мера, определенная на о-алгебре, А, ~ А, ~...:з А„~...— у б ы в а ю щ а я цепочка измеримых множеств и А=!!А л то р(Л) =!!Гп р(Ал), л-+ а если А, с: г!, с:... с Ал ~... — в о з р а с т а ю щ а я цепочка измеримых множеств и А= () Л„, то рА= !!гп р (А,). Доказательство, проведенное в $ 1 для плоской меры (теорема 9), дословно переносится иа общий случай.
Итак, мы установили, что система Я представляет собой о-алгебру, а определенная на ней функция р(А) обладает всеми свойствами о-аддитивной меры. Тем самым оправдано следующее определение. Определение 3. Лебеговь[м продолжением р = ['.([п) меры т называется функция р(А), определенная на системе измеримых множеств % и совпадающая на [й! с внешней мерой [[*(А).
2. Продолжение меры, заданной на полукольце без единицы. Если полукольцо Ь, на котором определена исходная мера т, не имеет единицы, то построение лебегова продолжения, изложенное в предыдущем пункте, претерпевает некоторые, впрочем, незначительные, изменения. Определение 1 внешней меры сохраняется, но внешняя мера р' оказывается определенной только на системе В„таких мнон[еств А, для каждого из которых существует покрытие () Вл множествами нз Ь с конечной суммой 2„гп(В„). Определение измеримости сохраняется без всяких изменений.
Теоремы 2 — 4 и заключительное определение 3 сохраняют силу. Предположение о существовании единицы использовалось 275 $31 ЛЕБЕГОВО ПРОДОЛЖЕНИЕ МЕРЫ лишь в доказательстве теоремы 2. Чтобы дать доказательство теоремы 2 в общем случае, надо установить независимо, что из А, ен й, Ая ен й вытекает А! () Аз ен й. Но это следует из включения (А, () Аз) х."х (В, () В,) ~ (А, сь В,) ()(Ая ьх Вз). В случае, когда Ь не имеет единицы, теорема 5 заменяется следующей теоремой: Теорема 6.
?Три любой исходной мере гп система множеств й, измеримых по Лгбггу, является 6-кольцом; измеримасть множества А= () А„при измеримых А„имеет место а=! у" "" г ' а ~ з ) " Р "а=! некоторой константой, нг зависящей от Л'. Доказательство этого утверждения предоставляется читателю. 3 а м е ч а н и е. Поскольку сейчас речь идет о мерах, принимающих лишь к о н е ч н ы е значения, необходимость последнего условия очевидна. Из теоремы 6 вытекает следующий факт. Следствие.
Система йл всех множеств Венй, являющихся подмножествами фиксированного множества А енй, образует в-алгебру. Например, система всех измеримых по Лебегу (в смысле обычной лебеговой меры на прямой) подмножеств любого отрезка )а, Ь] есть о-алгебра множеств. В заключение отметим еще одно свойство лебеговыл мер. Определен не 4. Мера )ь называется полной, если из )х(А) = О и А' ~ А вытекает, что А' измеримо. Очевидно, что прн этом )х(А') = О. Без труда доказывается, что лгбггово продолжение любой меры полно. Это вытекает из того, что при А'с: А и р(А) = О неизбежно )ь'(А') = О, а любое множество С, для которого )з'(С) = О, измеримо, так как Я еи 6? (Я,„) н Р'(С Л !у1) = Р'(С) =О.
Всякую о-аддитнвную меру на о-алгебре можно продолжить до полной, положив ее равной нулю для любого подмножества каждого множества нулевой меры. Дополнительные замечания. !. Предположение о том, что исходная мера гл задана на полукольце (а не на некоторой произвольной системе множеств), существенно для однозначности ее продолжения. Рассмотрим в единичном квадрате систему вертикальных и горизонтальных прямоугольников, т. е. таких прямоугольников, у которых или длина или ширина равна 1 (рнс. 18), и припишем каждому такому прямоугольнику меру, рав. ную его площади.
На порожденную этими прямоугольниками алгебру (а тем МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ, ИНТЕГРАЛ (ГЛ. Ч более б-алгебру) такая мера может быть продолжена неоднозначно (укажите хотя бы два разлнчных продолжения). 2. Укажем на связь между процессом продолжения меры по Лебегу н процессом пополнения метрического пространства. Заметим для этого, что щ'(А г.'т В) можно принять за расстояпне между элементами А н В кольца Я(гв ). Тогда 8)(ю ) становится метрическим (вообще говоря, неполным) пространством н его пополнение состоит как раз нз всех нзмернмых множеств (прн этом, однако, с метрической точки зрения множества А н В неразлнчнмм, еслн И(А Ет В) = О).
У и р а ж н е и н я. П Пусть мера пг задана на полукольце (с еднннцей) В~ множеств нз Х н р» — отвечающая ей верхняя мера. Доказать, что множество А нзыернмо (по Лебегу) а том н только том случае, если оно обладает следующим свойством, называемым измеримостью по Карпгеодори: для л ю б о го подмножества 2 ~ Х нмеет место ра- У венство р (2) = и'(Я П А) + р'(г'; А). 2.
Пусть и-адднтнаная мера т задана на кольце Н с еднннцей Х н щ(Х) = !. Введем для каждого А г= Х наряду с внешней мерой р» внутреннюю меру рм положив и,(А) ) — И'(» А). Легко видеть, что всегда р,(А) ( и'(А). Доказать, что и,(А) р'(А) ( ° ) Рнс. )8. в том н только том случае, если множество А измерима (в смысле определения 2). В случае, когда мера задана на кольце с еднннцей, равенство (») часто принимается за оп р е дел е н не нзмернмостн множества. 3. Расширение понятия измеримости в случае о-конечной меры.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
