Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 52
Текст из файла (страница 52)
Действительно, рассмотрим в пространстве С[ — 1, Ц оператор интегрирования а Ух (з) = ~ х (1) Ж; -1 по доказанному выше, Х вЂ” вполне непрерывный оператор в С[ — 1, Ц. Положим О, если — 1 ((1((0, х„(1) = п(, если 0 < 1» (1/и, 1, если 1/и < 1(»1. Тогда х ее С[ — 1, Ц, ]]х ]] = 1 для всех и и О, если — 1 (1(»0, у„(г) = Хх„(г) = пгз/(2, если 0 < 1( 1/и, 1 — 1/(2п), если 1/и < 1»(1. Ясно, что последовательность у„сходится в С[ — 1, Ц к функции О, если — 1»(г(»0, у (г) = если 0 < г(1, которая не является образом (при отображении /) никакой функции из С[ — 1, Ц, ибо функция у'(1) разрывна.
Однако можно доказать, что если пространство рефлексивно (например, гильбертово), то образ замкнутого единичного шара при компактном линейном отображении компактен. 2. Основные свойства компактных операторов. Т е о р е м а 1. Если (А ) — последовательность компактньбх операторов в банаховом пространстве Е, сходящаяся по норме к некоторому оператору А, то оператор А тоже компактен.
Дока за тел ь ство. Для установления компактности оператора А достаточно показать, что, какова бы ни была ограниченная последовательность хь хз ..., х„, ... элементов из Е, из последовательности (Ах ) можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Так как оператор А, компактен, то из последовательности (А,х„) можно выбрать сходящуюся подпоследовательность, Пусть хо>, х!'>, ..., хг'>, ... (6) ') Вито Вольтерра — итальянский математик, автор рнла работ по функциональному анализу н интегральным уравнениям, 242 линвпныв еэикционхлы и лингпныв опввхтоэы )гл.
(ч — такая подпоследовательиость, что (А(х<о) сходится. Рассмотрим теперь последовательность (Ахх(в). Из нее опять-таки можно выбрать сходящуюся подпоследовательность. Пусть х(') х(3> ... хя> ... и ' — такая подпоследовательность, выбранная из (6), что (Азхп)) сходится. При этом, очевидно, (Л(х(3)) тоже сходится. Рассуждая аналогично, выберем из последовательности (х(3)) такую подпоследовательность «(3) х(3) х(3) что (А3«(3)) сходится, и т. д. Возьмем затем диагональную последов ательность х<'> хп) ...
хм> ! ' 3''''' свг Каждый из операторов А(, А3,..., А„, ... переводит ее в сходящуюся. Покажем, что и оператор А тоже переводит ее в сходящуюся. Тем самым компактность А будет установлена. Так как пространство Е полно, то достаточна показать, что (Ахьэ)— фундаментальная последовательность. Имеем ДА«<") — Ах(')Д:а ДА«(„"> — Аэхэе/$+ +(Аэх<„"' — А„х('">(+ (А х<"' — Ах<'")(.
(7) Пусть ))х„)) ( С; выберем сначала й так, что !~А — Ль)) ( е/(ЗС), а потом выберем такое М, чтобы при всех л ) Ф и п)) М выполнялось неравенство (А„х<"> — А х<'">(( е/3 (это возможна, так как последовательность (Ахх(„")) сходится). При этих условиях из (7) получаем, что '( Ах(") — Ах( ) ( ( е для всех достаточно больших л и п). Теорема доказана. Легко проверить, что линейная комбинация компактных операторов компактна. Следовательио, в пространстве Ю (Е, Е) всех ограниченных линейных операторов, определенных иа Е, компактные операторы образуют замкнутое пикейное подпространство. Посмотрим теперь, будет ли совокупность компактных операторов замкнута относительио операции перемножения операторов.
На самом деле здесь справедливо даже существенно более сильное утверждение. 2 в) КОМПАКТНЫЕ ОПЕРАТОРЫ 243 Те о р ем а 2. Если А — компактный оператор, а  — ограниченный, то операторы АВ и ВА компактны. Дока з а тел ь ство. Если множество М с: Е ограничено, то ВМ тоже ограничено. Следовательно, АВМ предкомпактно, а это и означает, что оператор АВ компактен. Далее, если М огра. ничено, то АМ предкомпактно, а тогда, в силу непрерывности В, множество ВАМ тоже предкомпактно, т.
е. оператор ВА компактен. Теорема доказана. Следствие. В бесконечномерном пространстве Е компактный оператор не может иметь ограниченного обратного. Действительно, иначе единичный оператор г' = А 'А был бы компактен в Е, что невозможно (см. пример 1). 3 а м с ч а н и е. Теорема 2 показывает, что компактные операторы образуют в кольце всех ограниченных операторов м (Е, Е) двусторонний идеал '). Т е о р е м а 3. Оператор, сопряженный компактному, компактенн. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть А — компактный оператор в банаховом пространстве Е.
Покажем, что сопряженный оператор А', действующий в Е', переводит каждое ограниченное подмножество из Е* в предкомпактное. Поскольку всякое ограниченное подмножество нормированного пространства содержится в некотором шаре, достаточно показать, что А' переводит каждый шар в предкомпактное множество.
В силу линейности оператора А' достаточно показать, что образ А'5' замкнутого единичного шара 5' с: Е' предкомпактен. Будем рассматривать элементы из Е* как функции не на всем пространстве Е, а лишь на компакте А5 — замыкании образа единичного шара при отображении А, При этом множество Ф функций, отвечающих функционалам из 5', будет равномерно ограничено и равностепенио непрерывно.
Действительно, если )!ф)! ( 1, то вцр ! ф (х) ! = Епр ! ф (х) )()! ф )! Ецр )! Ах !! н-')! А )! л ы Лз х ы лз кыз !ф(х') — ф(х") !<!!ф)! !!х' — х"))~))х' — х"!!. Следовательно, это множество Ф предкомпактно в пространстве С[А5) (в силу теоремы Арцела). Но множество Ф с метрикой, индуцированной обычной метрикой пространства непрерывных функций С(А5), изометрично множеству А'5' (с метрикой, ') Идеалом (двусторонним) в некотором кольце к называется такое подкольцо П, что если и ен П, г си й, то пгем и н гаем ц.
244 ЛИНЕЙНЫЕ ФУНКЦИОНАЛЫ И ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ [ГЛ [У нндуцироваиной нормой пространства Е'). Действительно, если йт[ уя еп5', то 1[ А й — А'кт [1 = р ) (А'а, — А "аж х) 1= хм з = зцр)(к[ — к„Ах) )= зцр ) (у, — у, ) ~ а ма а м лэ з р ) (у уг, е) )= р (у[, уа), а -лз Поскольку [Р предкомпактно, то оно вполне ограничено; следовательно, вполне ограничено и изометричное ему множество А'5'.
Поэтому А*5* предкомпактно в Е*. Теорема доказана. 3 а м е ч а н н е. Нетрудно проверить, что множество Ф замкнуто в С[А5], так что оно компактно, поэтому компактно и множество А*5', хотя (как это видно из замечания на стр. 241) образ замкнутого единичного шара прн произвольяом вполне непрерывном отображении может не быть компактом. Ситуация в только что доказанной теореме отличается от общей тем, что замкнутый единичный шар 5* в Е* компактен в -слабой топологии пространства Е' (см. теорему 5 3 3). Отсюда и следует компактность (в метрике пространства Е") образа множества 5' для любого компактного оператора. У п р а ж н е н и я.
[. Пусть А — ограниченный линейный оператор в банановом пространстве. Докажите, что если оператор А" номпактен, то и А компактен. 2 Для того чтобы линейный оператор А в гильбертовом пространстве Н был компактен, необходимо и достаточно, чтобы (эрмитово) сопряженный к нему оператор А» был компактен, 3. Собственные значения компактного оператора. Теорема 4. Всякий компактный оператор А в банаховом пространстве Е имеет при любом б ) О лишь конечное число линейно независимых собственных векторов, отвечающих собственным значениям, по модулю превосходящим б. Доказательство.
Пусть Хн)гт, ..., Хя, ... какая-либо последовательность собственных значений оператораА (различных или с повторениями) таких, что ))я) ) б; хь хж ° ° ., х„, ...— отвечающая им последовательность собственных векторов, и пусть эти векторы линейно независимы. Воспользуемся леммой 1 (стр. 237) н построим такую последовательность векторов уь у„ ..., у,... что 1) у„~Е„, 2) ))уя))=1; 3) р(у„, Е„,)= [п1 )!уя — х))) 1/2, * ы Ел-г где Е„ — подпространство, порожденное х[, ха, ..., х„. '24б лннеиныв етнкцнонялы н лннвииыв опвгхтопы [гл. щ Наконец, в некоторых случаях удобно еще и такое определение компактности оператора в гильбертовом пространстве: оператор А называется компактным в Й, если он всякую слабо сходящуюся последовательность переводит в сильно сходящуюся.
Действительно, пусть это последнее условие выполнено и пусть М вЂ” ограниченное множество в Н. Каждое бесконечное подмножество множества М содержит слабо сходящуюся последовательность. Если она переводится в сильно сходящуюся последовательность, то АМ предкомпактно. Обратно, пусть Л— компактный оператор, (х4 — слабо сходящаяся последовательность и х — ее слабый предел. Тогда (Ах4 содержит подпоследовательность, сходящуюся сильно.
В то же время (Лх4 сходится слабо, в силу непрерывности А, к Ах, откуда следует, что (Лх4 не может иметь более одной предельной точки. Следовательно, (Лх ) — сходящаяся последовательность. 5. Самосопряженные компактные операторы в Н. Для само- сопряженных линейных операторов в конечномерном, евклидовом пространстве известна теорема о приведении матрицы такого оператора к диагональной форме в некотором ортогональном нормированном базисе. В этом пункте мы распространим эту теорему на компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. Результаты этого пункта справедливы как для действительного, так и для комплексного гильбертова пространства. Для определенности будем считать, что Н комплексно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
