Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 50
Текст из файла (страница 50)
Отображение у = Ах можно записать в виде системы равенств у; = ~, а,!х1, ! = 1, 2, ..., т, г=! а функционал 1(х) — в виде л ! (х) = ~, ггх!. Из равенства 1(х)=д(Ах)= ~' д!у! = ~ ~,а!а!!х;= )', х! ~'„д!а!! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! получим, что 1! = К у,аи. Так как 1 = А'у, отсюда следует, что оператор А' задается матрицей, транспонированной по отношению к матрице оператора Л. Следующие свойства сопряженных операторов вытекают сразу из определения.
1. Оператор А' линеен. 2. (А + В) ' = Л' + В'. 3. Если !г — число, то (яА) * = яАл. Если А — непрерывный оператор из Е в Е!, то А' есть непрерывный оператор из (Е!, Ь) в (Е', Ь) (проверьте это!), Если Е и Е, — банаховы пространства, то это утверждение может быть уточнено следующим образом; Теорема 6. Если Л вЂ” ограниченный линейный оператор, отображающий банахово пространство Е в банахово пространство Е!, то !! А'!!=!! А !!. Доказательство. В силу свойств нормы оператора имеем ! (А'у, х) ! = ! (у, Ах) ! Я !! у !! ° !! А !! ° !! х !!, 232 линеиные оункционАлы и линейные ОпеРАТОРы (Гл, пт Теорема доказана. У и р аж и е и и е. Пусть Е и Е~ — рефлеисивиые баиаховм пространства и А <и Ю(Е, Е|).
Докажите, что А** = А. Следующее утверждение представляет собой еще одно полезное следствие теоремы Банаха об обратном операторе. Л е м м а (об аннуляторе ядра оператора). Пусть А — непрерывный линейный оператор, отображающий Е на все Еи где Е, Е1 — банаховы пространства. Тогда (Кег А) = 1т А*. (!4) Действительно, проверим сначала включение (Кег А):з1т А'. (16) ЕСЛИ (я1тА', тО СущЕСтВуЕт таКОй ЭЛЕМЕНТ Ат ЕН Е;, ЧтО 1 = А'д, и для всех х ~ Кег А имеем: ((,х)=(А'д,х)=(д, Ах) =О, т. е. 1~(Кег А)~.
Докажем теперь обратное включение: (Кег А) с: 1щ А'. Пусть 1~(КегА) з. Тогда для отображений )': Е-ь)1 и А: Е- Е, (16) выполнены условия леммы о тройке (следствие 2). Поэтому существует такой элемент д ен Е;, что (1, х) =(д, Ах), т. е. 1 = А'д. Тем самым включение (16), а значит, и ранено~во (!4) доказаны. 6. Сопряженный оператор в евклидовом пространстве. Самосопряжеиные операторы. Рассмотрим случай, когда А — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве О (действительном или комплексном). Согласно теореме об общем виде линей- откуда !!А'61!(~1! А!! ° !! д!1; следовательно, !!А"!)Я!А(!. (13) Пусть хя Е и Ахль О; положим ус= — „еиЕ,; очевидно, что ~!уо(!= 1. По следствию из теоремы Хана-Банаха существует такой функционал й, что !!д!1=! и (д, уе) = 1, т.
е. (к, Ах) = = 1!Ах!!. Из соотношений 1! Ах !! = (е, Ах) = ! (А "д, х) ! ~( <!!А"й!! !(х!!<!!А'~1 ° !!д!! ° !!х!!=!!А*!! !!х!( получаем !1А!!~(!!А'!!, что вместе с неравенством (13) дает !1 А" !! = !! А !!. $51 ЛННЕИНЫЕ ОПЕРАТОРЫ ного непрерывного функционала в гильбертовом пространстве отображение т, сопоставляющее каждому у ее Н линейный функционал (ту) (х) = (х, у), есть изоморфизм (или сопряженный изоморфизм, если Н комплексно) пространства Н на все сопряженное пространство Н', Пусть Л' — оператор, сопряженный оператору Л. Ясно, что отображение Х* = т 'Л'т представляет собой ограниченный линейный оператор, действующий в Н; легко видеть, что для любых х,уЕН (Ах, у)=(х, А'у).
Так как ~) А'~)= ~) А ~), а отображения т и т — ' изометричны, то в А ~~=1) Ле. Все сказанное справедливо, разумеется, и для конеч нож е р н о го евклидова пространства, действительного или комплексного. Примем следующее соглашение. Если )г — евклидово пространство (конечной или бесконечной размерности), то оператором, сопряженным к действующему в Н оператору А, мы назовем определенный выше оператор А', действующий в том ж е пространстве Н. Следует подчеркнуть, что это определение отл и ч а е те я от определения сопряженного оператора в произвольном банаховом пространстве Е, согласно которому сопряженный оператор А' действует в сопряженном пространстве Е". Иногда оператор А', в отличие от А', называют эрмитово-сопряженным.
Чтобы не усложнять терминологии и обозначений, мы будем писать А" вместо 4' и говорить о сопряженном операторе, помня, однако, что в евклидовом случае сопряженный оператор все гда понимается в смысле, указанном в этом пункте. Ясно, что в евклидовом пространстве Н оператор, сопряженный к А, можно определить как такой оператор, который при всех х, у ее Я удовлетворяет равенству (Ах, у)=(х, Л у). Поскольку операторы А и А' действуют теперь в одном и том же пространстве, возможно равенство А = Л'. Выделим важный класс операторов в евклидовом (в частности, гильбертовом) пространстве. О п р е дел е н и е.
4. Ограниченный линейный оператор А, действующий в евклидовом пространстве й, называется само- сопряженным, если А = Л', т. е. если (Ах, у) =(х, Ау) для всех х, у ее )т. 234 линейные Функпиондлы и линейные ОпеРАТОРы (гл.!у Отметим следующее важное свойство оператора А; сопря- женного к оператору А. Подпространство )ч'! евклидова про- странства Я называется инвариантным относительно оператора А, если из хеп)с! вытекает Ахеи)ч!. Если надпространство 1(! инвариантно относительно А, то гго ортогональное дополнении )с! инвариантно относительно А'. Действительно, если уе=Е!, то для всех х ~ Е! имеем (х, А"у) =(Ах, у) =О, поскольку Ах еп Е!. В частности, если А — самосопряженный оператор, то ортогональное дополнение к любому его инвариант- ному подпространству само инвариантно относительно А. У п р аж вен не. !(окажите, что если А и  — ограниченные линейные операторы в евклидовом пространстве, то справедливы равенства: (аА + йВ)' аА'+ йВ', (АВ)' = В'А', (А')' А, !' = ! (! — единичный оператор).
7. Спектр оператора. Резольвента'). Вряд ли можно указать более важное понятие в теории операторов, чем понятие спектра. Напомним прежде это понятие для конечномерного случая. Пусть А — линейный оператор в и-мерном пространстве С". Число Х называется собственным значением оператора А, если уравнение Ах= Хх имеет ненулевые решения. Совокупность всех собственных значений называется спектром оператора А, а все остальные значения Х вЂ” регулярными. Иначе говоря, к есть регулярная точка, если оператор А — к1 обратим. При этом (А — л1) ' определен на всем С" и, как и всякий оператор в конечномерном пространстве, ограничен.
Итак, в коиечномериом пространстве существуют две возможности: 1) уравнение Ах = Хх имеет ненулевое решение, т. е. Х есть собственное значение для А; оператор (А — Х1) ' при этом не существует; 2) существует ограниченный оператор (А — )с1) ', определенный на всем пространстве, т. е. л есть регулярная точка. Но если А — оператор, заданный в бесконечномерном пространстве Е, то имеется еще и третья возможность, а именно: 3) оператор (А — д1) ' существует, т.
е. уравнение Ах = лх имеет лишь нулевое решение, но этот оператор определен не на всем Е (и, возможно, неограничен). ') Всюду, где речь идет о спектре оператора, мы считаем, что оператор действует в к о м п л е к с н о м пространстве. ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ Введем следующую терминологию. Число Л мы назовем регулярным для оператора А, действующего в (комплексном) банаховом пространстве Е, если оператор )с„=(А — Л7)-', называемый резольвентой оператора А, определен на всем Е и, следовательно (теорема 3), ограничен.
Совокупность всех остальных значений Л назыиается спектром оператора А. Спектру принадлежат все собственные значения оператора А, так как если (А — Л1)х = О при некотором х Ф О, то (А — Л1) — ' не существует. Их совокупность называется точечным спектром. Остальная часть спектра, т.
е. совокупность тех Л, для которых (А — Л!)-' существует, но определен не на всем Е, называется непрерывным спектром. Итак, каждое значение является для оператора Л или регулярным или собственным значением, или точкой непрерывного спектра. Возможность наличия у оператора непрерывного спектра — существенное отличие теории операторов в бесконечномерном пространстве от конечномерного случая.
Пусть А — ограниченный оператор, действующий в банаховом пространстве Е. Если точка Л регулярна, т. е. оператор (А — Л() ' определен на всем Е и ограничен, то при достаточно малом б оператор (А — (Л+ б)1)-' тоже определен на всем Е и ограничен (теорема 4), т. е. точка Л+ б тоже регулярна. Таким образом, регулярные точки образуют открытое множество. Следовательно, спектр, т.
е. дополнение этого множества,— замкнутое множество. Теорем а 7, Если А — ограниченный линейный оператор в банаховом пространстве Е и ~Л! ) |~А~~, то Л вЂ” регулярная точка. Доказательство. Так как, очевидно, А — Л(= — Л (1 — — А), ! Л то )7„=(А — Л7) '= — —,(7 — —,) ! А ' ! Л При !!А ~! ( !Л) этот ряд сходится и задает определенный на всем Е ограниченный оператор (теорема 5). Иначе говоря, спектр оператора А содержится в круге радиуса ~~А~! с центром в нуле.
При меры. !. В пространстве С(а, б'! рассмотрим оператор А, определяемый формулой Ах(!) =!х(!). (! 7) Тогда (А — Л7) х (1) = (! — Л) х (г), Оператор (17) обратим при любом Л, так как из равенства (! — Л) х (!) = О йзе линейные ФункциОнАлы и линейные ОпеРАтОРы Лгл. гу следует, что непрерывная функция х(() тождественно равна нулю. Однако при Лен(а, Ь) обратный оператор, задаваемый формулой (А — Л1) х (1) = — „х (1) определен не на всем С(а, Ь) и неограничен. (Докажите зто)) Таким образом, спектр оператора (17) представляет собой отрезок (а, Ь), причем собственные значения отсутствуют, т. е.
имеется лишь непрерывный спектр. 2. Рассмотрим в пространстве 1а оператор А, определяемый следующим образом: А: (хи х„...)-ь(0, хн х„...). (18) Этот оператор не имеет собственных значений. (Докажите зто)) Оператор А-' ограничен, но определен в 1х лишь на подпространстве х~ =- О, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
