Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 54
Текст из файла (страница 54)
э и МЕРА ПЛОСКИХ МНОЖЕСТВ Таким образом, по терминологии, введенной в $ 5 гл. 1, элементарные множества образуют кол ь но. Доказательство. Ясно, что пересечение двух прямоугольников есть снова прямоугольник. Поэтому, если А=(е) Р» и В=) )Яг / — два элементарных множества, то н их пересечение АПВ= ()(Р,ПЕ ». » — элемента рное м нож ест во.
Разность двух прямоугольников есть, как легко проверить элементарное множество. Следовательно, вычитая из прямоугольника некоторое элементарное множество, мы снова получим элементарное множество (как пересечение элементарных>. Пусть теперь множества А н  — элементарные. Найдетсг, очевидно, прямоугольник Р, содержащий каждое из них. Тогда множество А () В = Р '~ НР; А) П (Р; В)3 в силу сказанного выше будет элементарным. Отсюда и из равенств А ~, В =АП(Р ~, В) и А л в=(Аив)' (АПв) следует, что разность н симметрическая разность элементарных множеств являются элементарными множествами. Теорема доказана. Определим теперь меру т'(А) для элементарных множеств следующим образом: если где Р» — попарно непересекающиеся прямоугольники, то гп' (А) = Х т(Р»).
Покажем, что л»'(А) не зависит от способа разложения А в сум- му конечного числа прямоугольников. Пусть А = („) Р» = )Т) Ян где Р» и Я» — прямоугольники, и Р,П Р» — — О, Я»П ч»= Я при ачь й. Так как пересечение Р»П Я; двух прямоугольников есть ~гл. у МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ прямоугольник, то, в силу аддитивности меры для прямоуголь- ников, ~, т(Р„) = Х т(Р ПЯ~) = Е т(Я;).
А А,Г В частности, для прямоугольников мера т' совпадает с исходной мерой т. Легко видеть, что определенная таким образом мера элементарных множеств неотрицательна и аддитивна. Установим следующее важное свойство меры элементарных множеств. Т е о р е м а 2. Если А — элементарное множество и (А )— конечная или счетная система элементарных множеств такая, что А 0А.. т' (А) « (~'„т' (Ал). л то Доказательство. Для любого е ) О и данного А можно, очевидно, найти такое з а м к н у т о е элементарное множество А, которое содержится в А и удовлетворяет условию т'(А);»т'(А) — е/2.
(Достаточно каждый из й составляющих А прямоугольников РА заменить лежащим внутри него замкнутым прямоугольником с площадью большей, чем т(Р<) — е/(2й).) Далее, для каждого А„можно найти о т к р ы т о е элементарное множество Х, содержащее А и удовлетворяющее условию т' (Ал) ( т' (Ал) + Ясно, что Ас:. ()А„. л т' (А) ( 2,; т' (А„,) (так как иначе А оказалось бы покрытым конечным числом прямоугольников, суммарной площади меньшей, чем т'(А), что не- Из (Ал) можно (по лемме Гейне — Бореля) выбрать конечную систему Але ..., А„,, покрывающую А. При этом, очевидно, мвэа плоских множеств возможно). Поэтому в '(А)< '(А)+ф<~ '(А.,)+ — , '<Х 'А)+-', < ! ! !! <~ч!~ и!'(А„)+,'» — ', + — '=~ гп' (А„)+а, откуда в силу произвольности е 0 вытекает (!).
Свойство меры и!', устанавливаемое теоремой 2 (мера множества не превосходит суммы мер покрывающих его множеств, взятых в конечном или счетном числе), называется полуаддитивносгью. Из него вытекает свойство так называемой счетной аддитивности, или п-аддитивности, состоящее в следующем. Пусть элементарное множество А представлено как сумма счетного числа н е п е р ее е к а ю щи хе я элементарных множеств А„(л = 1, 2, ...): А=О А„; тогда и!'(А) = ~ !и'(А„) (т. е. мера суммы счетного числа непересекающихся слагаемых равна сумме мер).
Действительно, в силу аддитивности при любом !У имеем: гн ~ и и!'(А))т'~ Ц А„) = ~!и'(А„). Переходя к пределу при !у -ь ео, получаем т'(А)в ~ !и'(А„). В силу теоремы 2 имеет место и противоположное неравенство. Таким образом, о-аддитнвность меры и!' доказана. 3 а меч а н не. У читателя может сложиться впечатление, ято а-аддитивность меры на плоскости получается автоматически из ее аддитивности, путем предельного перехода. На самом деле это не так (в доказательстве теоремы 2 мы, используя лемму Гейне — Бореля, существенно опирались на связь между метрическими и топологическими свойствами плоских множеств). В $2 при изучении мер на произвольных абстрактных множествах мы увидим, что из аддитивности меры, вообще говоря, ее о-аддитивность не следует.
!гл. у МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 25б 2. Лебегова мера плоских множеств. Элементарные множества не исчерпывают всех множеств, которые встречаются в геометрии и в классическом анализе. Поэтому естественно попытаться распространить понятие меры, с сохранением ее основных свойств, на класс множеств более широкий, чем конечные объединения прямоугольников со сторонами, параллельными осям координат. Решение этой задачи, в известном смысле окончательное, было дано А. Лебегом в начале ХХ века.
При изложении теории меры Лебега нам придется рассматривать не только конечные, но и бесконечные объединения прямоугольников. Для того чтобы при этом сразу же не столкнуться с множествами «бесконечной меры», ограничимся сперва множествами, целиком принадлежащими квадрату Е = (0<х < 1; 0 ~< и «< ! ). На совокупности всех таких множеств определим функцию в«(А) следующим образом. О и р е д е л е н и е 1. Внешней мерой множества А называется число !»'(А) = !и! ~ т (РА), (1) АС ЧАРА Л где нижняя грань берется по всевозможным покрытиям множества А конечными или счетными системами прямоугольников.
3 а м е ч а н и я. Если бы мы в определении внешней меры рассматривали покрытия, состоящие не только из прямоугольников, но нз любых элементарных множеств (взятых в конечном или счетном числе), то мы получили бы, очевидно, то же самое значение ц'(А), поскольку всякое элементарное множество есть сумма конечного числа прямоугольников. 2. Если А — элементарное множество, то р.'(Л) = т'(А). Действительно, пусть Рь ..., Є— составляющие А прямоугольники. Тогда, по определению, т'(А)= ~ т(Р,). Так как прямоугольники Р, покрывают А, то /А'(Л)К~ Х т(Р;)= -,/ы, =т'(А). Но если ((//) — произвольная конечная или счетная система прямоугольников, покрывающая А, то в силу теоремы 2 т'(Л)< ~, т(Я/), поэтому /с'(Л) = т'(Л). / Теорема 3.
Если А~ (.) А„, л 257 меРА плоских множеств где А — конечная или счетная система множеств, то (А)«»Х 1А (А») (2) В частности, если А с:. В, то )А'(А)«»)А'(В). Д о к а з а т е л ь с т в о. По определению внешней меры, для каждого А» найдется такая система прямоугольников' (Р ь), конечная или счетная, что А„с: () Р„, и А ш (Р»А)»«р (,4») + — » где е » О выбрано произвольно. Тогда А и~Р., 1А'(А)«» Х' Х ш(Р„А)»«' ~ 1А'(А„) + е. Поскольку е ) О произвольно, отсюда вытекает утверждение теоремы.
Так как на элементарных множествах т' и и' совпадают, го теорема 2 представляет собой частный случай теоремы 3. О и редел е н не 2. Множество А называется измеримым (в смысле Лебега), если для любого е ) О найдется такое элементарное множество В, что )А'(А Ь В) < е. Функпия 1А*, рассматриваемая только на измеримых множествах, называется лебеговой мерой.
Будем обозначать ее через р. 3 а м е ч а н и е. Введенное нами определение измеримостн имеет достаточно наглядный смысл. Оно означает, что множество измеримо, если его можно «сколь угодно точно приблизить» элементарными множествами. Итак, мы определили некоторый класс Яв множеств, называемых измеримыми, и функцию )А, меру Лебега, на этом классе. Наша ближайшая цель — установить следующие факты: 1, Совокупность 2йе измеримых множеств замкнута относительно операций взятия конечных или счетных сумм и пересечений (т.
е. представляет собой о-алгебру, см. определение в п. 4 э 5 гл. 1). 2.Функция )А о-аддитивна на 4))я. Нижеследующие теоремы представляют собой этапы доказательства этих утверждений. МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ ~ГЛ. Ч 288 Те о р ем а 4. Дополнение измеримого множества измеримо. Это сразу следует из равенства (Е'~ А) сх(Е; В) =Л сз В, которое проверяется непосредственно. Теорема 5, Сумма и пересечение конечного числа измеримых множеств суть измеримьче множества. Д оказ а тел ьст в о.
Достаточно, очевидно, провести доказательство для двух множеств. Пусть А1 и Аз — измеримые множества. Это значит, что для любого е ) О найдутся такие элементарные множества В, и Вм что р' (А1 сх В,) < е/2, р' (Лу сх В,) < е|2. Так как (А, () Л,) й (В, () Ву) с:. (Л, Л В,) () (Л, й Ве), то и' [(А, () Лз) Л (В, Ц Вт)] » ~и* (А, Ь В,) + р' (А, Ь Вз) < в, Но В1() Вз — элементарное множество, поэтому множество А~ () Лу измеримо. Измеримость пересечения двух измеримых множеств вытекает из теоремы 4 и соотношения А, П Лт = Е ', [(Е ~, А,) ()(Е ', Аг)]. (4) С л е д с т в и е.
Разность и симметрическая разность двух измеримых множеств измеримы. Это вытекает из теорем 4 и 5 и равенств А, ~, А, = А, П (Е; А,), А, с' Аз = (А, ', А,) () (А, ', А,). Теорема 6. Если Аь ..., А„— попарно непересекающиеся измеримые множества, то ~(,0А) Хр(А). (5) Доказательство л ем м ы. Так как Л с=. В () (А гх В), то в силу теоремы 3 ' и'(А)»» р'(В) + р" (А сз В). Для доказательства этой теоремы пам понадобится следующая лемма. Л е м м а. Для любых двух множеств А и В ] и' (А) — и' (В) [(» н'(А гл В).
меРА плОских множеств 259 Отсюда вытекает утверждение леммы в случае н'(А) ) р'(В). Если же 1А'(А) ( 1А'(В), то утверждение леммы вытекает из не- равенства (8т т' (В, () Вз) ~ (йе, В силу леммы из (6) и (7) вытекает, что ( т'(В,) — и'(А,) ! < е, ! т' (В,) — 1А* (А,) ! ( е. (9) (10) Так как на совокупности элементарных множеств мера адднтивна, то из (8) †(10) получаем т'(В) = т'(В,) + пг'(В,) — т'(В, П В,) ) р'(А,) + 1А"(А,) — 4е.
Заметив егце, что А,~~ В ~ (А, гз В,)()(А, сь Вг) имеем, наконец, 1А'(А) ' вт' (В) — 1А*(Л Ь В)~ )и' (В) — йе~ и'(А,)+ 1А*(Аг) — бе. Так как е ) 0 может быть выбрано произвольно малым, то 1А*(А) ) 1А"(Л,) + и"(А ). Поскольку противоположное неравенство р*(Л) ~ ~н'(Л,) + р'(А,) справедливо (в силу теоремы 3) всегда, окончательно получаем 1А" (А) = р'(А,) + р" (А,); так как Аь Лг и А измеримы, то здесь 1А' можно заменить на и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
