Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 56
Текст из файла (страница 56)
Так как С= () Ф„, Ф„ПФ,„=О при лФт, а то в силу о-аддитивности меры отсюда следовало бы, что 1= Х р(Ф„). (17) Но конгруэнтные множества должны иметь одну и ту же меру, так что если ФР измеримо, то р(Ф„) = р(ФР). 265 Овшее понятие меры Отсюда видно, что равенство (17) невозможно, так как сумма ряда, стоящего в его правой части, равна О, если р(Фо) = О, и бесконечности, если 1ь(Фо):» О.
Итак, множество Ф, (а следовательно, и каждое Ф„) неизмеримо. $2. Общее понятие меры. Продолжение меры с полукольца на кольцо. Аддитивность н е»аядмтивность ') 1. Определение меры. Мы строили меру плоских множеств, отправляясь от меры (площади) прямоугольника и распространяя ее на более широкий класс множеств. Для наших построений существенно было вовсе не конкретное выражение площади прямоугольника, а лишь ее общие свойства. Именно, при продолжении плоской меры с прямоугольников на элементарные множества мы пользовались лишь тем, что площадь — зто неотрицательная аддитивная функция множества, и тем, что совокупность прямоугольников есть полукольцо. При построении лебегова продолжения плоской меры была, кроме того, важна ее ет-аддитивность. В силу только что сказанного, конструкции, изложенной в ч 1 применительно к плоским множествам, можно придать вполне общую абстрактную форму.
Тем самым ее применимость будет существенно расширена. Этому и посвящены ближайшие деа параграфа. Введем прежде всего следующее основное определение. 0 п р еде лен не 1. Функция множества 1ь(А) называется мерой, если: 1) область определения Жи функции 1ь(А) есть полукольцо множеств, 2) значения функции п(А) действительны и неотрицательны, 3) 1ь(А) аддитивна, т. е. для любого конечного разложения А=А,() ... 0 А„ множества А Бели на (попарно непересекающиеся) множества Аь ~ Яи выполнено равенство р (А) = Е р (А,).
а-~ Замечание. Из разложения 8=0() 8 вытекает, что 1ь(8)=2П(З), т. е. Й(0) =О. ') В этом параграфе и Лалыпе мы будем систематически пользоваться моиятиямн н фактамн, изложенными в $5 гл. 1. 266 1гл. у меРА, измеРимые Функции, интегРАл 2. Продолжение меры с полукольца на порожденное им кольцо. При построении меры плоских множеств: первым шагом было распространение меры с прямоугольников на элементарные множества, т. е.
на конечные суммы попарно непересекающихся прямоугольников. Сейчас мы рассмотрим абстрактный аналог этой конструкции. Сформулируем прежде всего следующее определение. Определение 2. Мера р называется продолжениел! меры т, если Я„с:.Ял и для каждого Асей имеет место равенство р (А) = т (А). Цель этого пункта состоит в доказательстве следующего предложения. Те о р ем а !. Для каждой меры т(А), заданной на некотором полукольце Ь~, существует одно и только одно продолжение т'(А), имеющее своей областью определения кольцо Я(Я ) (т.
е. минимальное кольцо над Я~). Дока з а тел ь ство. Для каждого множества А с= Я(тол!) существует разложение л А=Ц ВА (ВАЕНЯ~, ВАЯВ! —— Я при йФ1) (1) А=! (теорема 3 $ 5 гл. 1). Положим, по определению, т' (А) = Х т(ВА). А=! (2) Легко видеть, что величина т'(А), определенная равенством (2), не зависит от выбора разложения (1). Действительно, рассмотрим два разложения л Г А=))В = ()Сп В,епю~, С яЯ !=! /=! Так как все пересечения В!ЙС; принадлежат Ж, то в силу аддитивности меры т л л л т(В;) = ~ ~ т(В!ДС!) = ~, т(С!), что и требовалось доказать.
Неотрицательность и аддитивность функции т'(А), определяемой равенством (2), очевидны. Итак, существование продолжения т'меры т на кольцо Я(Ь ) доказано. Для доказательства его единственности заметим, что, по опл ределению продолжения, если А= Ц В, где ВА — непересекаю- А-! ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ МЕРЫ щпеся множества из ®, то для любого продолжения й! меры и! на кольцо И(б ) т (А)= )' т (Вл) = 2 т (Вл) =-т' (А), т. е, мера т совпадает с мерой и!', определенной равенством (2). Теорема доказана. По существу, мы повторили здесь, в абстрактных терминах, прием, которым мы в 5 1 продолжили меру с прямоугольников на элементарные множества.
Класс элементарных множеств как раз и представляет собой минимальное кольцо над полукольцом прямоугольников. Из аддитивности и неотрицательности меры вытекают следующие почти очевидные, яо важные свойства. Теорем а 2. Пусть т — мера, заданная на некотором кольце уу „и множества А, Лу, ..., А„принадлежат л1 . Тогда л 1. если О Аь~ А и А!ДА~= О при 1 ~1, то л=! ~~' и!(Ал) ««т(А); ь ! л 11. если () Ае э А, то ь=! л т(Ал) л т(А); и частности, если Ас А' и А, А' а= Я, то и!(А) «гп(А'). Действительно, если Аь ..., Ал попарно не пересекаются и содержатся в А, то в силу аддитивности меры л / л !уу= Х (А.!-у (А 0 А,). и" "у (А~ол)лу ' у " у ! !.
ь-! Далее, для любых Аь Аа вне! имеем т(А! ААЛЕ) =гп(А!)+т(А,) — т(Л! () А,) -=!п(А,) + т(А,). По индукции отсюда получаем, что / л Х л и! ~ ( ) Аь) «~ ~~' !и (Аь). МЕРА ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ, ИНТЕГРАЛ 1ГЛ М Наконец, опять-таки в силу аддитивности меры из Ас=() А» А ! следует, что .(л)-.(Пл)-.(Ол, л)( (Ол). откуда в силу предыдущего неравенства н вытекает свойство П. Мы доказали свойства 1 и П для меры, заданной на кольце множеств.
Но если мера первоначально была задана на полукольце, то при продолжении ее на кольцо меры множеств, принадлежащих исходному полукольцу, не меняются. Поэтому свойства 1 н П справедливы н для мер на полукольцах. 3. н-аддитнвность. В различных вопросах анализа приходится рассматривать объединения не только конечного, но н счетного числа множеств. В связи с этим условие аддитивности, которое мы наложили на меры (определение 1), естественно заменить более сильным требованием н- а д д и т и в и о с т и. Определение 3.
Мера лп называется счетно-аддигивной, или о-аддитивной, если для любых множеств А, Аь Аь ... ..., А„, ..., принадлежащих ее области определения Ж н удовлетворяющих условиям А = Ц А„, А, П А! — — 0 при 1 чь 1', л=! имеет место равенство Гп (А) = ~~' Гл (А„). Плоская мера Лебега, построенная нами в $1, а-аддитнвна (теорема 8). Пример и-аддитивной меры совсем иной природы можно построить следующим образом, Пусть Х=(х„хь ...) — произвольное счетное множество и числа р~ ) 0 таковы, что Е, р.=1 Соответствующий класс измеримых множеств состоит из всех подмножеств множества Х. Для каждого А ~ Х положим Гп(А)= ~ р„.
л мл Легко проверить, что лГ(А) будет о-аддитивной мерой, причем ЛГ(Х)= 1. Этот пример естественно появляется в связи со многими вопросами теории героятностей. $21 ОБЩЕЕ ПОНЯТИЕ МЕ~ Ы Укажем пример меры аддитивной, но не о-аддитивной. Пусть Х вЂ” множество всех рациональных точек отрезка [О, 1], а Ж состоит из пересечений множества Х с произвольными интервалами (а, Ь), отрезками [а, Ь] или полуинтервалами (а, Ь], [с, Ь) из [О, 1]. Легко видеть, что Ж представляет собой полукольцо.
Для каждого такого множества А ь ен Я1 положим т(А ь)=Ь вЂ” а. Эта мера аддитивна, однако она не о-аддитивна, так как т(Х) = 1, и в то же время Х есть сумма счетного числа точек, каждая из которых имеет меру О. Меры„которые будут рассматриваться здесь и в следующем параграфе, мы будем предполагать о-аддитивными. Теорема 3.
Если мера т, определенная на некотором полукольце Я~, о-аддитивна, то и мера р, получающаяся ее прсдолвсением на кольцо Я(о ), о-аддитивна. Доказательство. Пусть А ЕЕ Я(Я ), В„ЕЕЯ(Э ), п=1, 2, ... А= ]] В„, причем В,ПВ,= Я при вФт. Тогда существуют такие множе- ства А; и В„, из Я, что А=ОА;, Вп=])Вю п=1,2, ..., причем множества в правых частях каждого из этих равенств попарно не пересекаются, а суммы по 1 и 1 конечны (теорема 3 3 5, гл.
1). Пусть С„п = В~ () А,. Легко видеть, что множества С„;; попарно не пересекаются, и притом А= ]) [)С„н, В„,=])с„н. л ~ г Поэтому в силу о-аддитивности меры т на Я ит .м т(А,)= Х Е т(С.Н). (3) гп(В„;) = ~ т (С„н), г а в силу определения меры р на Я(Ж ) р(А) = ~ т(А~), (5) / н(ВЛ) = Х т(Вю). (б) МЕРА. ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ. ИНТЕГРАЛ !ГЛ. Ч 270 Из (3) — (б) вытекает, что р (А) = ~ р (Вл). (Суммы по ! и по 1' л 1 здесь конечны, ряды по и сходятся.) Докажем теперь следующие основные свойства о-аддитивных мер, представляющие собой обобщения на счетные суммы свойств, сформулированных в теореме 2.
Поскольку, как мы установили, и-аддитивность меры сохраняется при продолжении меры на кольцо, можно с самото начала считать, что мера задана на некотором кольце Я. Теорема 4. Пусть мера о! о-аддитиена и множестоп А, Аь ..., А„,, принадлежат кольцу Я. Тогда 1о, Если () Айс: А и А,ПА!= О при ! ~/, то й-1 т(А») ~(т(А); й 1 11о (счетная лолуиддитиеность). Если () Ай эА, то й-! л» (А») ~ т(А). Доказательство. Если все Ай не пересекаются и содержатся в А, то, в силу свойства 1 (теорема 2), при любом а имеем л ~ Гп (А„) (!Л(А).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
