Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа (1976) (1095468), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Из определения эквивалентности следует, что множества (х: [(х) < а) и (х: д (х) < а) могут отличаться друг от друга только на некоторое множество меры пуль, следовательно (поскольку мера предположена полной), если второе из них измеримо, то измеримо и первое. 3 а м е ч а н и е. В классическом анализе понятие эквивалентности функций ие играет существенной роли, так как там в основном рассматриваются непрерывные функции одного или нескольких переменных, а для них эквивалентность равносильна тождественности. Точнее, если две функции, [ и й, непрерывные па некотором сегменте Е, эквивалентны (относительно меры Дебега), то они совпадают.
Действительно, если 1(х,)Фд(хо) в какой-либо точке х,, то в силу непрерывности [ и й найдется окрестность точки хр, во всех точках которой 1(х) чь д(х). Мера такой окрестности положительна, поэтому непрерывные функции не могут быть эквивалентны, если они не совпадают. Для произвольных измеримых функций эквивалентность вовсе не означает совпадения. Например, функция на прямой, равная единице в рациональных точках и нулю в иррациональных, эквивалентна функции, тождественно равной нулю.
4. Сходимость почти всюду. Поскольку во многих случаях поведение измеримой функции на том или ином множестве меры нуль для нас несущественно, будет естественно ввести следующее обобщение обычного понятия поточечной сходнмости. Определение 3. Последовательность (1„(х)) функций, определенных на некотором пространстве Х с заданной на нем мерой, называется сходящейся почти всюду к функции [(х), если 1|ГЕ ) „(х) = 1 (х) (2) ь.+ для почти всех хен Х (т. е. множество тех точек х, в которых (2) не выполняется, имеет меру нуль).
П р им е р. Последовательность функций (,(х) = ( — х)" определенных на отрезке [О, 1), прн и-Р сФ сходится к функции [(х) — О почти всюду (а именно, всюду, кроме точки х =-1), Теорема 4 допускает следующее обобщение. Теорема 4'. Если последовательность измеримых функций 1„(х) сходится к функции 1(х) почти всюду на Х, то 1'(х) также измерима.
Д о к а з а тел ь ст в о. Пусть А — то множество, на котором Вгп [„(х) = ) (х). 6 "+ 287 ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКЦИИ По условию, р(Х', А) = О. Функция /(х) измерима на А, а так как на множестве меры нуль, очевидно, вообще всякая функция измерима, то /(х) измерима на Х',А, следовательно, она измерима и на множестве л. У п р а ж н е н и е, Пусть последовательность измеримых функций /„(х) сходится почти всюду к некоторой предельной функции /(х). доказать, что последовательность /,(к) сходится почти всюду к е(х) в том и только том случае, если е(х) эквивалентна /(х), б.
Теорема Егорова. В 1911 г. Д. Ф. Егоровым была доказана следующая важная теорема, устанавливающая связь между понятиями сходимости почти всюду и равномерной сходи- мости. Теорем а 6. Пусть Š— множество конечной меры и последовательность измеримых функций /„(х) сходится на Е почти всюду к /(х). Тогда для любого б ) О существует такое измеримое множество Е, ~ Е, что 1) р(Е )) р(Е) — б; 2) на множестве Еь последовательность /„(х) сходится к /(х) равномерно. Д о к а з а т е л ь с т в о.
Согласно теореме 4' функция /(х) измерима. Положим Е„= ) ) (х: ) /, (х) — / (х) ! < 1/пт). З~я Таким образом, Е'" при фиксированных пт и и означает множество всех тех точек х, для которых (/,(х) — /(х) (< 1/пт при всех (> и. Пусть Е =() Е„' ° Из определения множеств Е„"ясно, что прн фиксированном пт Е~ сЕз с...сЕ„с:... В силу того, что о-аддитивная мера непрерывна, для любого тп и любого б) О найдется такое по(пт), что (т(Е ч, Е„,~м~) < б/2~. Положим Ео= ) ) Е ьв> т=~ и покажем, что так построенное Еа удовлетворяет требованиям теоремы.
язв МЕРА, ИЗМЕРИМЫЕ ФУНКПИИ, ИНТЕГРАЛ (ГЛ. У Докажем сначала, что на Ео последовательность ()((х)) схо- дится равномерно к функции Г(х). Это сразу вытекает из того, что если х ~ Ео, то для любого т ! г ! (х) — Г (х) ~ < Цт при ! > п, (т). Оценим теперь меру множества Е',Е,. Для этого заметим, что при всяком т имеем (((Е' Е ) = О. Действительно, если хо я ен Е',Е, то существуют сколь угодно большие значения при которых ! (! (хо) — 1 (хо)! >! Iт, т. е. последовательность () (х)) в точке х, не сходится к ((х). Так как, по условию, ((„(х)) сходится к )(х) почти всюду, то (А(Е '~ Е ) = О.
Отсюда следует, что р(Е',Е„,( ()=(А(Е ',Е ( )) <б/2 Поэтому Теорема доказана. 6. Схаднмость по мере. О п р е дел е н и е 4. Говорят, что последовательность измеримых функций г (х) сходится по мере к функции 7(х), если для любого а ) О 1(щ (А (х: ~ 1, (х) — ((х) ) >а) = О. Нижеследующие теоремы 7 и 8 устанавливают связь между понятиями сходимостн почти всюду н сходимости по мере. Как н в предыдущем пункте рассматриваемая мера предполагается конечной.
Тео р е ма 7. Если последовательность измеримых функций (Г„(х)) сходится почти всюду к некоторой функции ((х), то она сходится к той же самой предельной функции ((х) по мере. Доказательство. Из теоремы 4' следует„что предельная функция г(х) измерима. Пусть А — то множество (меры нуль), на котором )„(х) не стремятся к г(х). Пусть, далее, ЕА (а) = (х (! (А(х) — ( (х) ) «а), Ю О Е„(а) = () Е, (а), М = ( ) Е„(а).
ИЗМЕРИМЫЕ ФУИКЦИИ Ясно, что все зти множества измеримы. Так как (с, (а) ~ )ст(а):з ...„ то в силу свойства непрерывности меры )а(Я„(а))-+ (ь(М) при и-+ оо. Проверим теперь, что МсА. Действительно,'если хоййА, т. е. если 1'ш (л (хо) = ( (хо). л-ем то для данного в ) 0 найдется такое и, что (га(хо) — 7(хо)((в, пРи й ~и, т. е. хо бй )с (о) и, тем более, х, ее М. Но р(А)=0, и поэтому из (3) вытекает, что р(М)=0, и, следовательно, (3) )ь(!сл(в)) -ьО при и -ь оо; так как Е„(в) с )с (в), то теорема доказана.
Нетрудно убедиться, что из сходимости последовательности функций по мере, вообще говоря, не следует ее сходимость почти всюду. Действительно, определим для каждого натурального й на полуинтервале (О, 1) функции ~!а) ~!а! ~(м следующим образом: ( — ! 1)М (х) = 1 при — (х( —, й й* 0 при остальных значениях х. Занумеровав все эти функции подряд, мы получим последо- вательность, которая, как легко проверить, сходится по мере к нулю, но в то же время пе сходится ни в одной точке (дока- жите это!). Упражнение. Пусть последовательность измеримых функний Ц (х)) сходится по мере к некоторой предельной функции !(х]. Доказать, что после- доаательность (! (х)) будет сходиться по мере к функции е(х) а том н только и том случае, если н(х) эквивалентна 1(х), Хотя приведенный выше пример показывает, что теорема 7 не может быть обращена в полной мере, тем не менее справед- лива следующая теорема: Т е о р е м а 8.
Пусть последовательность измеримых функций (1„(х)» сходится по мере к 1(х). Тогда из этой последовательно- сти можно выбрать иодиоследовательность ()„а(х)), сходящуюся к 1(х) почти всюду, меРА, измееимыв етнкции, интас»»хл [гл. ч аво Доказательство. Пусть еь ео, ...
— некоторая последо- вательность положительных чисел, стремящихся к нулю, 1пп е„=О, о+в и пусть положительные числа»)ь»)о, ..., и„, ... таковы, что ряд тп + Чо + сходится. Построим последонательность индексов л« ... следующим образом: выберем и, так, чтобы р (х: ! ~„(х) — ( (х) 1) е,) <»), (такое л, обязательно существует); далее выберем ло ) л» так, чтобы р (х: ~ ~„(х) — ~ (х) !) е,) <»)о. Вообще, выберем пд ) ло» так, чтобы р (х: ! ~„» (х) — ( (х) ! ) е;) < по.
Покажем, что построенная последовательность сходится к )(х) почти всюду. Действительно, пусть Р» = Ц (х: ! (оо (х) — ( (х) ! » «е»), Я = П Ро Так как »о»:з %о:з )»о ~ ° °:з К ~ ° то в силу непрерывности меры р(й»»)-» р(Ц). С другой стороны, ясно, что р(Я»)< ~ »)», откуда рф»)-ь о! -ьО при (-ьсо, т.
е. рЯ) = О. Остается проверить, что во всех точках множества Е', Я имеет место сходимость ~„о (х) — ( (х). Пусть хоан Е" » . Тогда найдется такое йь что хофман. Это означает, что для всех А ) оо хо Ф (х: ! 1, (х) — ((х) ! ) е»), т. е. ! ~»о (хо) — 1(хо)! < е,. Так как, по условию, ео — О, то $пп ~;(хо)=Р(хо) Ф-»» Теорема доказана. 29) ИНТЕГРАЛ ЛЕБЕГА 7. Теорема Лузина. С-свойство. Определение измеримой функции, данное в самом начале этого параграфа, относится и функциям на произвольных множествах и в общем случае никак не связано с понятием непрерывной функции. Однако, если речь идет о функциях на отрезке, то имеет место сле.
дующая важная теорема, установленная в 1913 г. Н. Н. Лузиным Те о р ем а 9. Для тово чтобы функция Цх), заданная ка отрезке [а, Ь), была измерима, необходимо и достаточно, чтобы для любого е ~ О существовала такая иекрврыэкал ка [а, Ь) функция ~р(х), что )с (х: [(х) Ф ~р (х)) < в. Иначе говоря, измеримая функция может быть сделана непрерывной на [а, Ь) путем ее изменения на множестве сколь угодно малой меры. Про функцию на отрезке, которая может быть сделана непрерывной с помощью такой «малой деформации», говорят, что она обладает С-свойством (термин Н. Н„Лузина).
Как показывает теорема Лузина, для функций числового аргумента С-свойство можно положить в основу самого определения измеримости. Доказательство теоремы Лузина можно получить, воспользовавшись теоремой Егорова (проведите это доказательство)). У п р а ж н е н и е. Доказать, что если Я вЂ” измеримое множество на отрезке [а, Ь), то для любого е ) О найдутся такое открытое множество й ~ А и такое замкнутое множество р с А, что р(С«", А)( е и р(А'~,р) < е. $5. Интеграл Лебега Понятие интеграла Римана, известное из элементарного курса анализа, применимо лишь к таким функциям, которые или непрерывны или имеют «не слишком много» точек разрыва.
Для измеримых функций, которые могут быть разрывны всюду, где опи определены (или же вообще могут быть заданы на абстрактном множестве, так что дмя них понятие непрерывности просто пе имеет смысла), римановская конструкция интеграла становится непригодной, Вместе с тем для таких функций имеется весьма совершенное и гибкое понятие интеграла, введенное Лебегом. Основная идея построения интеграла Лебега состоит в том, что здесь, в отличие от интеграла Римана, тачки х группируются не по признаку их близости на оси х, а по признаку близости значений функции в этих точках.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
